北师大版选修11 4.1.1导数与函数的单调性 课件（32张）.pptx

第四章导数应用 1函数的单调性与极值 1 1导数与函数的单调性 1 函数的单调性与导数的关系 1 在区间 a b 内函数的导数与单调性有如下关系 2 在区间 a b 内函数的单调性与导数有如下关系 名师点拨对函数的单调性与其导数正负的关系的两点说明 1 若在某区间上有有限个点使f x 0 在其余的点恒有f x 0 则f x 仍为增函数 减函数的情形完全类似 2 f x 为增函数的充要条件是对任意的x a b 都有f x 0 且在 a b 内的任一非空子区间上f x 不恒为0 做一做1 f x 在 a b 内可导 若f x 0 得x 2 令y 0 得x 2 所以y x2 4x a的递增区间为 2 递减区间为 2 答案 2 2 思考辨析判断下列说法是否正确 正确的在后面的括号内打 错误的打 1 函数f x 在定义域上都有f x 0 则函数f x 在定义域上是增加的 2 函数在某一点的导数的绝对值越大 函数在该点处的切线越 陡峭 3 利用导函数判断函数的单调性时不能忽略定义域 答案 1 2 3 探究一 探究二 探究三 思维辨析 例1 函数f x 的图像如图所示 则导函数y f x 的图像可能是 探究一 探究二 探究三 思维辨析 解析 从原函数y f x 的图像可以看出 其在区间 0 上是减少的 f x 0 在区间 x1 x2 上是减少的 f x 0 结合选项可知 只有d项满足 答案 d反思感悟1 利用导数符号判断单调性的方法 利用导数判断函数的单调性比利用函数单调性的定义简单得多 只需判断导数在该区间内的正负即可 2 通过图像研究函数单调性的方法 1 观察原函数的图像重在找出 上升 下降 产生变化的点 分析函数值的变化趋势 2 观察导函数的图像重在找出导函数图像与x轴的交点 分析导数的正负 探究一 探究二 探究三 思维辨析 变式训练1设f x 是函数f x 的导函数 y f x 的图像如图所示 则y f x 的图像最有可能的是 探究一 探究二 探究三 思维辨析 解析 由f x 的图像知 当x 0 2 时 f x 0 x 0 2 时 f x 0 则函数f x 在区间 0 与 2 上是增加的 在区间 0 2 上是减少的 对照选项知应选c 答案 c 探究一 探究二 探究三 思维辨析 例2 求下列函数的单调区间 1 f x x3 3x 1 分析直接求导数 然后解关于导数的不等式 解 1 函数f x 的定义域为r f x 3x2 3 令f x 0 则3x2 3 0 即3 x 1 x 1 0 解得x 1或x 1 函数f x 的递增区间为 1 和 1 令f x 0 则3 x 1 x 1 0 解得 1 x 1 函数f x 的递减区间为 1 1 探究一 探究二 探究三 思维辨析 探究一 探究二 探究三 思维辨析 反思感悟 1 利用导数求函数f x 的单调区间的一般步骤为 确定函数f x 的定义域 求导数f x 在函数f x 的定义域内解不等式f x 0和f x 0 根据 的结果确定函数f x 的单调区间 2 如果一个函数具有相同单调性的单调区间不止一个 那么这些单调区间不能用 连接 而只能用 逗号 或 和 字隔开 探究一 探究二 探究三 思维辨析 变式训练2已知函数f x x3 ax2 bx a b r 的图像过点p 1 2 且在点p处的切线斜率为8 1 求a b的值 2 求函数f x 的单调区间 探究一 探究二 探究三 思维辨析 解 1 函数f x 的图像过点p 1 2 f 1 2 a b 1 又函数图像在点p处的切线斜率为8 f 1 8 又f x 3x2 2ax b 2a b 5 解由 组成的方程组 可得a 4 b 3 2 由 1 得f x 3x2 8x 3 3x 1 x 3 探究一 探究二 探究三 思维辨析 解 法一 直接法 f x x2 ax a 1 令f x 0 得x 1或x a 1 当a 1 1 即a 2时 函数f x 在 1 上是增加的 不符合题意 当a 1 1 即a 2时 f x 在 1 和 a 1 上是增加的 在 1 a 1 上是减少的 由题意知 1 4 1 a 1 且 6 a 1 所以4 a 1 6 即5 a 7 故实数a的取值范围为 5 7 探究一 探究二 探究三 思维辨析 法二 数形结合法 如图所示 f x x 1 x a 1 在 1 4 内f x 0 在 6 内f x 0 且f x 0有一个根为1 另一个根在 4 6 上 故实数a的取值范围为 5 7 探究一 探究二 探究三 思维辨析 法三 转化为不等式的恒成立问题 f x x2 ax a 1 因为f x 在 1 4 上是减少的 所以f x 0在 1 4 上恒成立 即a x 1 x2 1在 1 4 上恒成立 所以a x 1 因为27 所以当a 7时 f x 0在 6 上恒成立 综上知5 a 7 故实数a的取值范围为 5 7 探究一 探究二 探究三 思维辨析 反思感悟恒成立问题的重要思路 1 m f x 恒成立 m f x max 2 m f x 恒成立 m f x min 探究一 探究二 探究三 思维辨析 x2 0 2x3 a 0 a 2x3在x 2 上恒成立 a 2x3 min x 2 y 2x3是单调递增的 2x3 min 16 a 16 a的取值范围是 16 探究一 探究二 探究三 思维辨析 因错误理解导数与函数的单调性的关系而致误 典例 已知函数f x x3 ax 1 1 若f x 在实数集r上是增函数 求实数a的取值范围 2 是否存在实数a 使f x 在 1 1 上是减少的 若存在 求出a的取值范围 若不存在 说明理由 易错分析易错误地认为f x 0 或f x 0 是f x 在某区间上递增 或递减 的充要条件 正确的理解应该是充分条件而非充要条件 探究一 探究二 探究三 思维辨析 解 1 由已知 得f x 3x2 a f x 在r上是增函数 f x 3x2 a 0在r上恒成立 即a 3x2对x r恒成立 3x2 0 只需a 0 a的取值范围是 0 2 存在实数a满足题意 由f x 3x2 a 0在 1 1 上恒成立 得a 3x2在 1 1 上恒成立 1 x 1 3x2 3 只需a 3 故存在实数a 3 使f x 在 1 1 上是减少的 探究一 探究二 探究三 思维辨析 纠错心得平时学习时一定要对每一个基础知识理解透彻 利用导数研究函数的单调性应注意f x 0 或f x 0 仅是f x 在某个区间上递增 或递减 的充分条件 在 a b 内可导的函数f x 在 a b 上递增 或递减 的充要条件应是f x 0 或f x 0 在 a b 上恒成立 且f x 在 a b 的任意子区间内都不恒等于0 因此 在已知函数f x 在区间 a b 上是增加的 或减少的 求参数的取值范围时 应用f x 0 或f x 0 在区间 a b 上恒成立 解出参数的取值范围 然后检验参数的取值能否使f x 恒等于0 若能恒等于0 则参数的这个值应舍去 探究一 探究二 探究三 思维辨析 变式训练已知函数f x 2ax x3 x 0 1 a 0 若f x 在 0 1 上是增加的 求a的取值范围 12345 1 如图是函数f x 的导函数f x 的图像 则下列判断正确的是 a 函数f x 在区间 3 0 上是减少的b 函数f x 在区间 3 2 上是减少的c 函数f x 在区间 0 2 上是减少的d 函数f x 在区间 3 2 上是单调函数解析 由导函数的图像易判断在区间 3 0 上f x 0 所以f x 在 3 0 上是减少的 故选a 答案 a 12345 2 函数y 3 x2 ex的递增区间是 a 0 b 0 c 3 和 1 d 3 1 解析 y 2xex 3 x2 ex ex x2 2x 3 由y 0 x2 2x 3 0 3 x 1 函数y 3 x2 ex的递增区间是 3 1 故选d 答案 d 12345 3 设函数f x x2 9lnx在区间 a 1 a 1 上是减少的 则实数a的取值范围是 a 1 a 2b a 4c a 2d 0 a 3答案 a 12345 4 若函数f x x3 x2 mx 1是r上的增函数 则m的取值范围是 解析 f x 3x2 2x m 0在x r上恒成立 12345 5 设函数 曲线y f x 在点 0 f 0 处的切线方程为y 1 1 求b c的值 2 若a 0 求函数f x 的单调区间 3 设函数g x f x 2x