北师大版选修11 导数的概念及其几何意义 学案1.doc

2导数的概念及其几何意义学习目标重点难点1.能掌握由平均变化率、瞬时变化率引出函数在某点处的导数的概念的过程；2能说出函数在某点处的导数的定义，能用符号表示导数，并能正确利用定义求函数在某点处的导数值；3通过函数图像能直观地理解导数的几何意义，会求函数在某点处的切线的斜率及方程1.重点：能正确理解并应用函数在某点处的导数的概念及其几何意义；2难点：能利用导数的定义熟练求解函数在某点处的导数值，体会导数思想及其内涵.1函数在一点处的导数设函数yf(x)，当自变量x从x0变到x1时，函数值从f(x0)变到f(x1)，则函数值y关于x的平均变化率是，当x1趋于x0，即x趋于0时，如果平均变化率趋于一个_，那么这个值就是函数yf(x)在x0点的瞬时变化率在数学中，称瞬时变化率为函数yf(x)在x0点的_，通常用符号_表示，记作：_.预习交流1利用导数求切线方程与以前利用方程组的解求切线方程的方法有何关系？2导数的几何意义函数yf(x)在x0处的导数，是曲线yf(x)在点(x0，f(x0)处的_，这是导数的几何意义预习交流2下列说法中正确的是_若f(x0)不存在，则曲线yf(x)在点(x0，f(x0)处没有切线；若曲线yf(x)在点(x0，f(x0)处有切线，则f(x0)必存在；若f(x0)不存在，则曲线yf(x)在点(x0，f(x0)处的切线斜率不存在答案：1固定的值导数f(x0)f(x0) 预习交流1：提示：利用导数求切线方程是求切线方程的另一种更简便的方法，以前的方法仍可使用，但值得注意的是曲线的切线是割线的一个极限位置，是曲线局部的性质，而切线与曲线未必只有一个公共点，并且与曲线只有一个公共点的直线也不一定是曲线的切线，故以前的方法要慎用2切线的斜率预习交流2：解析：因为函数f(x)在一点xx0处的导数f(x0)的几何意义是在这一点处切线的斜率，f(x0)不存在，并不能说明在这一点处不存在切线，而是说明在这一点处的切线斜率不存在，即若在这一点处的切线斜率不存在，曲线在该点处也可能有切线在预习中还有哪些问题需要你在听课时加以关注？请在下列表格中做个备忘吧！我的学困点我的学疑点一、导数的概念的应用求函数y3x2在点x1处的导数思路分析：问题只给出了一个孤立的点，而非变化范围，所以要先构造点附近的一个变化范围，以便求解平均变化率，从而利用定义求函数在此点处的导数1设f(x)ax4，若f(1)2，则a()a0b2c3d42求函数yx2axb在点x0处的导数求函数yf(x)在xx0处的导数的步骤为：对x0给出改变量x，得到相应的函数值的改变量y；确定函数在x0处的平均变化率；利用“无限逼近”思想，即x趋于0时，求得导数二、导数的实际意义的应用已知球的体积v是半径r的函数：v(r)r3，若函数在r4处的导数是v(4)64，试解释其实际意义思路分析：利用运动变化的观点分析函数中变量之间的关系，可知随着半径r的增大，体积v也随之增大，所以题中的导数的实际意义可以理解为球体的膨胀率1若汽车行驶的里程s与时间t构成函数ss(t)，行驶的速度v与时间t构成函数vv(t)，且在t0时的导数值分别为s(t0)，v(t0)，则其表达的意义是汽车在t0的()a平均速度，瞬时速度b瞬时速度，加速度c平均速度，加速度d加速度，瞬时速度2建造一栋面积为x m2的房屋需要成本y万元，y是x的函数，yf(x)0.3，求f(100)，并解释它的实际意义导数可以描述事物的瞬时变化率，如效率、增长率等，在应用于实际问题时，要结合实际背景，利用运动变化的观点恰当分析该点处的导数值的意义三、导数的几何意义的应用求曲线f(x)在点p处的切线方程思路分析：利用常规方法较难解决，则可以利用导数先求得切线斜率，再求切线方程1若点a(1,2)是函数yf(x)图像上一点，且f(1)1，则图像在点a处的切线方程为_2求曲线f(x)x3x在x2处的切线方程只有在曲线方程可看成函数解析式时才能利用导数来求切线方程，否则不能利用导数求解求曲线yf(x)在点p(x0，f(x0)处的切线的步骤为：利用导数求得曲线yf(x)在点p(x0，f(x0)处的切线的斜率是f(x0)；利用点斜式写出直线方程yy0f(x0)(xx0)答案：活动与探究1：解：当x从1变到1x时，函数值y从3变到3(1x)2，函数值y关于x的平均变化率为：63x，当x趋于0时，平均变化率趋于6，所以f(1)6.迁移与应用：1b解析：f(1) a，a2.2解：当x从0变到x时，函数值y从b变到(x)2axb，函数值y关于x的平均变化率为：xa，当x趋于0，即x趋于0时，平均变化率趋于a，所以f(0)a.活动与探究2：解：v(4)64表示球的体积在r4时，其瞬时变化率即“膨胀率”为64，也就是说保持这一膨胀率，半径每增加1个单位，球体的体积就增加64个单位迁移与应用：1b解析：路程关于时刻的导数值为该时刻处的瞬时速度，而速度关于时刻的导数值为该时刻处的加速度2解：，当x趋于0时，平均变化率趋于0.105万元/m2，即f(100)0.105.f(100)0.105表示当建筑面积为100 m2时，成本增加的速度为1 050元/m2，也就是说当建筑面积为100 m2时，每增加1 m2的建筑面积，成本就要增加1 050元活动与探究3：解：y(2)，.令x趋于零，可知函数在x4处的导数为f(4)，即函数在点p处切线的斜率为，因此切线的方程为y(x4)，即5x16y80.迁移与应用：1xy30解析：由导数的几何意义知，函数图像在点a处切线的斜率为1，由点斜式写出方程即可2解：(x)26x13，令x趋于零，可知函数f(x)x3x在x2处的导数为f(2)13，即函数在点(2,10)处切线的斜率为13，因此切线的方程为y1013(x2)，即y13x16.1自变量x从x1变到x2时，函数值的增量与相应自变量的增量之比是()a在区间x1，x2上的平均变化率b在x1处的变化率c在x2处的变化量d在区间x1，x2上的导数2函数f(x)在xx0处的导数可表示为()af(x0) bf(x0)f(x0x)f(x0)cf(x0)f(x0x)f(x0)df(x0)3已知函数yf(x)的图像如图，则f(xa)与f(xb)的大小关系是() af(xa)f(xb)bf(xa)f(xb)cf(xa)f(xb)d不能确定4一杯80 的热红茶置于20 的房间内，它的温度会逐渐下降，温度t(单位：)与时间t(单位：min)间的关系由函数tf(t)给出请问：f(3)4的实际意义是_5设函数yf(x)，f(x0)0，则曲线yf(x)在点(x0，f(x0)处切线的倾斜角的范围是_答案：1a解析：易错选为b.注意在某一点处的变化率才是瞬时变化率2a解析：b中f(x0x)f(x0)表示函数值的变化量