立体几何专项训练.doc

立体几何专项训练1.如图，在四棱锥PABCD中，PD平面ABCD，ADCD，DB平分ADC，E为PC的中点，ADCD1，DB2.(1)证明PA平面BDE；(2)证明AC平面PBD；2.如图所示，直三棱柱ABCA1B1C1中，B1C1=A1C1，AC1A1B，M、N分别是A1B1、AB的中点.（1）求证：C1M平面A1ABB1；（2）求证：A1BAM；（3）求证：平面AMC1平面NB1C；.3.已知四棱锥P-ABCD，底面ABCD是、边长为的菱形，又，且PD=CD，点M、N分别是棱AD、PC的中点（1）证明：DN/平面PMB；（2）证明：平面PMB平面PAD；4.在四棱锥中，底面是菱形，平面，点、分别为、的中点，（I）证明：平面；（II）在线段上是否存在一点，使得平面；若存在，求出的长；若不存在，请说明理由。如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD底面ABCD，PD=DC，E是PC的中点，作EFPB交PB于点F（1）、证明：PA平面DEB；（2）、证明：PB平面EFD；（3）、设PD=1，求DF的长。1. 解：(1)证明：设ACBDH，连结EH.在ADC中，因为ADCD，且DB平分ADC，所以H为AC的中点又由题设，E为PC的中点，故EHPA.又EH平面BDE且PA平面BDE，所以PA平面BDE.(2)证明：因为PD平面ABCD，AC平面ABCD，所以PDAC.由(1)可得，DBAC.又PDDBD，故AC平面PBD.2. 又C1M平面A1B1C1，AA1MC1.又C1A1=C1B1，M为A1B1中点，C1MA1B1.又A1B1A1A=A1，C1M平面AA1B1B.方法二由直棱柱性质得：平面AA1B1B平面A1B1C1，交线为A1B1，又C1A1=C1B1，M为A1B1的中点，C1MA1B1于M.由面面垂直的性质定理可得C1M平面AA1B1B.（2）由（1）知C1M平面A1ABB1，C1A在侧面AA1B1B上的射影为MA.AC1A1B，MC1A1B，MC1AC1=C1，A1B平面AMC1，又AM平面AMC1，A1BAM（3）.由（1）知C1M平面AA1B1B，A1B平面AA1B1B，C1MA1B.又A1BAC1，而AC1C1M=C1，A1B平面AMC1.同理可证，A1B平面B1NC.平面AMC1平面B1NC.3. 因为M、N分别是棱AD、PC中点，所以QN/BC/MD，且QN=MD，于是DN/MQ.（2）又因为底面ABCD是、边长为的菱形，且M为AD中点，所以.又所以.4. （）因为为菱形，所以，又，所以，又为中点，所以，而平面，平面，所以，又，所以平面（6分）（II）存在取中点，连结，因为，分别为、中点，所以且，又在菱形中，所以，即是平行四边形，所以，又平面，平面，所以平面，即在上存在一点，使得平面，（10分）此时5. （1）连结AC交BD于O，由正方形ABCD得，O是AC的中点，又E是PC中点，EOPA，又PA平面DEB，OE平面DEB，PA平面DEB。（2）侧棱PD底面ABCD， PDBC，底面ABCD是正方形CDBC，又PDCD=D，BC平面PCD，DE平面PCD，BCDE，又由PD=DC，E是PC的中点得，DEPC，而PCBC=C，DE平面PCB，则DEPB，又EFPB，DEEF=E