18相似三角形的应用.doc

年 级初三学 科数学编稿老师田一鹏课程标题相似三角形的应用一校林卉二校黄楠审核孙永涛一、考点突破 相似三角形的应用是初中数学的一个重要内容，与我们的日常生活有着紧密的联系，在历年各地的中考试题中，经常涉及相似三角形应用方面的问题。在选择题、填空题中常通过实际例子考查相似的性质和判定，所占分值不大；在解答题中，分值一般在10分左右，属于中档难度试题。在中考中主要考查：（1）利用相似三角形的判定和性质解决实际生活中的问题；（2）灵活解决相似三角形与其他知识的综合运用。二、重难点提示重点：运用三角形相似的知识计算不能直接测量的物体的长度和高度。难点：灵活运用三角形相似的知识解决实际问题（如何把实际问题抽象为数学问题）。一、知识脉络图二、专家点拨1. 相似三角形应用的相关概念（1）视点：观察者眼界的位置叫做视点；（2）视线：从视点出发经过观察点的射线叫做视线；（3）视角：两条视线的夹角叫做视角；（4）盲区：观察者看不到的区域叫做盲区。2. 相似三角形的应用（1）几何图形的证明和计算，主要包括线段的数量关系、求线段的长度、角度的数量关系等，解决这类问题首先应根据题目条件，寻找出相似三角形，再利用相似三角形的性质来解答。（2）生活中与相似三角形有关的实际问题，如：利用投影、平行线、标杆等构造相似三角形求解问题；计算不能直接测量的容器内部的宽度或直径；计算不能直接测量的物体的长度和高度；计算不能直接测量的河宽、湖宽问题。能力提升类例1 如图，AB两点分别位于一个池塘的两端，小明想用绳子测量AB间的距离，但绳子不够长，于是他想了一个办法：在地上任取一点C，使它可以直接到达AB两点，在AC的延长线上取一点D，使CDCA，在BC的延长线上取一点E，使CECB，测得DE的长为5米，则AB两点间的距离为（ ）A. 6米 B. 8米 C. 10米 D. 12米 一点通：根据相似形的判定定理判断出ABC和DEC相似，再根据三角形相似的性质解答即可。解：ABC和DEC中，且ACBDCE，ABCDEC，又DE5m，AB10m。故选C。点评：考查的是三角形相似的性质：两三角形相似，对应边成比例，此题为常见题型。例2 如图，用两根等长的钢条AC和BD交叉构成一个卡钳，可以用来测量工件内槽的宽度，设，且量得CDb，则内槽的宽AB等于（ ）A. mb B. C. D. 一点通：易知CDAB，可得CODAOB，再由它们的对应边成比例即可解答。解：，CODAOB，CODBOA，又CDb，ABbm。故选A。点评：此题是相似三角形在实际生活中的运用。只要根据题意求出CODAOB，再根据相似三角形的性质即可解答。综合运用类例3 如图是一个常见铁夹的侧面示意图，OA，OB表示铁夹的两个面，C是轴，CDOA于点D，已知DA15mm，DO24mm，DC10mm，我们知道铁夹的侧面是轴对称图形，请求出A、B两点间的距离。一点通：先根据题意画出图形，及根据轴对称的性质求出RtOCDRtOAE，再根据相似三角形的对应边成比例及勾股定理求出AB的长即可。解：作出示意图，连接AB，同时连接OC并延长交AB于E，因为铁夹是轴对称图形，故OE是对称轴，OEAB，AEBE，RtOCDRtOAE，而OC26，即 ，AE15，AB2AE30（mm）。答：AB两点间的距离为30mm。点评：本题以实际生活为背景，重在考查相似三角形的性质，解决此类问题的关键点是如何把实际问题转化为数学问题。例4 小明想利用太阳光测量楼高，他带着皮尺来到一栋楼下，发现对面墙上有这栋楼的影子，针对这种情况，他设计了一种测量方案，具体测量情况如下：如示意图，小明边移动边观察，发现站到点E处时，可以使自己落在墙上的影子与这栋楼落在墙上的影子重叠，且高度恰好相同。此时，测得小明落在墙上的影子高度CD1.2m，CE0.8m，CA30m（点A、E、C在同一直线上）。已知小明的身高EF是1.7m，请你帮小明求出楼高AB（结果精确到0.1m）。一点通：此题属于实际应用问题，解题的关键是将实际问题转化为数学问题进行解答；解题时要注意构造相似三角形，利用相似三角形的性质解题。解：过点D作DGAB，分别交AB、EF于点G、H，则EHAGCD1.2，DHCE0.8，DGCA30。EFAB，。由题意，知FHEFEH1.71.20.5。，解之，得BG18.75。ABBGAG18.751.219.9520.0。楼高AB约为20.0米。点评：本题只要是把实际问题抽象到相似三角形中，利用相似三角形的相似比，列出方程，通过解方程求解即可，体现了方程的思想。思维拓展类例5 某仓库为了保持库内的温度和湿度，四周墙上均装有如图所示的自动通风设施。该设施的下部ABCD是矩形，其中AB4米，BC2米；上部CDG是等边三角形，固定点E为AB的中点。EMN是由电脑控制其形状变化的三角通风窗（阴影部分均不通风），MN是可以沿设施边框上下滑动且始终保持和AB平行的伸缩横杆。（1）当MN和AB之间的距离为1.6米时，求此时EMN的面积；（2）设MN与AB之间的距离为x米时，试将EMN的面积S（米2）表示成关于x（米）的函数。一点通：（1）要看图解答问题。得出当MN和AB之间的距离为1.6米时，MN应位于DC下方，且此时EMN中MN边上的高为1.6米，可得出三角形EMN的面积。（2）本题要分情况解答（0x2；2x2）。当0x2时，可直接得出三角形的面积函数，当2x2时，连接EG，交CD于点F，交MN于点H，先求FG，再证MNGDCG，继而得出三角形的面积函数。解：（1）由题意，当MN和AB之间的距离为1.6米时，MN应位于DC下方，且此时EMN中MN边上的高为1.6米。SEMN41.63.2（平方米）。即EMN的面积为3.2平方米。（2）如图1所示，当MN在矩形区域滑动，即0x2时，EMN的面积S4x2x；如图2所示，当MN在三角形区域滑动，即时，如图，连接EG，交CD于点F，交MN于点H，E为AB中点，F为CD中点，GFCD，且FG。又MNCD，MNGDCG。，即MN=故EMN的面积Sx2（1）x；综合可得：S点评：此题是相似三角形与二次函数的综合运用，要学会利用图形，数形结合解答问题。例6 问题背景：在某次活动课中，甲、乙、丙三个学习小组于同一时刻在阳光下对校园中一些物体进行了测量。下面是他们通过测量得到的一些信息。如图1：甲组：测得一根直立于平地，长为80cm的竹竿的影长为60cm；如图2：乙组：测得学校旗杆的影长为900cm；如图3：丙组：测得校园景灯（视灯罩为球体，灯杆为圆柱体，其粗细忽略不计）的高度为350cm，影长为300cm。解决问题：（1）请根据甲、乙两组得到的信息计算出学校旗杆的高度？（2）如图3，设太阳光线MH与O相切于点M，请根据甲、丙两组得到的信息，求景灯灯罩的半径？一点通：（1）根据同一时刻物高与影长成正比即可求出旗杆的高度；（2）先根据同一时刻物高与影长成正比求出NG的长，再连接OM，由切线的性质可知OMNH，进而可得出NMONGH，再根据其对应边成比例列出比例式，然后用半径表示出ON，进行计算即可求出OM的长。解：（1）同一时刻物高与影长成正比，即，解得DE1200cm；（2）同一时刻物高与影长成正比，即，解得NG400cm，在RtNGH中，NH 500cm，设O的半径为r，连接OM，MH与O相切于点M，OMNH，NMONGH90，又ONMGNH，NMONGH，即，又NONKKO（NGKG）KO400350r50r，500r300（50r），解得r75cm。点评：本题考查了把实际问题抽象到相似三角形中，利用相似三角形的相似比，列出方程，通过解方程求解，体现了转化的思想。此题的文字叙述比较多，解题时要认真分析题意。1. 利用相似三角形的有关知识解决实际问题的核心是构造相似三角形，在构造三角形中被测线段必是其中的一边。 2. 构造三角形的方法多种多样，只需把握住所构造的三角形除被测线段外，其余的对应边易测量这一原则即可。3. 利用物体的高与影长成比例进行测量时，不要忽略在同一时刻这一条件。问题：如图，铁道口的栏杆AB的短臂长1.25米，长臂长为16.5米，当短臂端点A下降0.85米时，长臂端点B升高多少？ 错解：连接AA、BB。 AOAO，BOBO，。 又12，AAOBBO。 。 AO1.25，BO16.5，AA0.85，。 BB11.22（米）。 错误原因：短臂A下降0.85米，指的不是端点A移动的距离AA，而是指点A垂直下降的距离AC0.85米，同理B端升高的距离是指BD的长。 正解： ACAB，BDAB，ACOBDO90。 又12，OCAODB。 。 AOAO1.25，BOBO16.5，AC0.85。 BD11.22（米）答：长臂端点B升高11.22米。（答题时间：50分钟）一、选择题1. 小明在一次军事夏令营活动中，进行打靶训练，在用枪瞄准目标点B时，要使眼睛O、准星A、目标B在同一条直线上，如图所示，在射击时，小明有轻微的抖动，致使准星A偏离到A，若OA0.2米，OB40米，AA0.0015米，则小明射击到的点B偏离目标点B的长度BB为 （ ）A. 3米B. 0.3米C. 0.03米D. 0.2米2. 如图，小东用长为3.2m的竹竿做测量工具测量学校旗杆的高度，移动竹竿，使竹竿、旗杆顶端的影子恰好落在地面的同一点。此时，竹竿与这一点相距8m、与旗杆相距22m，则旗杆的高为（ ）A. 12m B. 10mC. 8mD. 7m3. 美是一种感觉，当人体下半身长与身高的比值越接近0.618时，越给人一种美感。如图，某女士身高165cm，下半身长x与身高l的比值是0.60，为尽可能达到好的效果，她应穿的高跟鞋的高度大约为A. 4cmB. 6cmC. 8cmD. 10cm4. 如图，丁轩同学在晚上由路灯走向路灯，当他走到点时，发现身后他影子的顶部刚好接触到路灯的底部，当他向前再步行20m到达点时，发现身前他影子的顶部刚好接触到路灯的底部，已知丁轩同学的身高是1.5m，两个路灯的高度都是9m，则两路灯之间的距离是A. 24m B. 25mC. 28m D. 30m5. 如图，王华在地面上放置一个平面镜E来测量铁塔AB的高度，镜子与铁塔的距离EB20米，镜子与王华的距离ED2米时，王华刚好从镜子中看到铁塔顶点A，已知王华的眼睛距地面的高度CD1.5米，则铁塔AB的高度是（ ）A. 15米 B. 米 C. 16米 D. 16.5米二、填空题1. 如图所示，某班上体育课，甲、乙两名同学分别站在C、D的位置时，乙的影子恰好在甲的影子里边，已知甲身高1.8米，乙身高1.5米，甲的影长是6米，则甲、乙同学相距 米。2. 为了测量校园内一棵不可攀的树的高度，学校数学应用实践小组做了如下的探索：根据光的反射定律，利用一面镜子和皮尺，设计如图所示的测量方案：把镜子放在离树（AB）8.7m的点E处，然后观测者沿着直线BE后退到点D，这时恰好在镜子里看到树梢顶点A，再用皮尺量得DE2.7m，观测者目高CD1.6m，则树高AB约是 （精确到0.1m）。3. 如图，电灯P在横杆AB的正上方，AB在灯光下的影子为CD，ABCD，AB1.5m，CD4.5m，点P到CD的距离为2.7m，则AB与CD间的距离是 m。4. 三角尺在灯泡O的照射下在墙上形成影子（如图所示）。现测得OA20cm，OA50cm，这把三角尺的周长与它在墙上形成的影子的周长的比是 。5. 如图所示为农村一古老的捣碎器，已知支撑柱AB的高为0.3米，踏板DE的长为1.6米，支撑点A到踏脚D的距离为0.6米，现在踏脚着地，则捣头点E离地 米。三、解答题1. 阳光通过窗口照射到室内，在地面上留下2.7m宽的亮区（如图所示），已知亮区到窗口下的墙脚距离EC8.7m，窗口高AB1.8m，求窗口底边离地面的高BC。2. 某社区拟筹资金2000元，计划在一块上、下底分别是10米、20米的梯形空地上种植花木（如图所示），他们想在AMD和BMC地带种植单价为10元/米2的太阳花，当AMD地带种满花后，已经花了500元，请你预算一下，若继续在BMC地带种植同样的太阳花，资金是否够用？并说明理由。3. 如图，一天早上，小张正向着教学楼AB走去，他发现教学楼后面有一水塔DC，可过了一会抬头一看：“怎么看不到水塔了”，心里很是纳闷。经过了解，教学楼、水塔的高分别为20m和30m，它们之间的距离为30m，小张身高为1.6m。小张要想看到水塔，他与教学楼的距离至少应有多少米？一、选择题1. B 2. A 提示：要求旗杆高度BC，易证AEDABC，根据对应线段成比例，列出式子即可求出。3. C 4. D 5. A 提示：利用镜面对称，注意寻找相似三角形，根据比例式求出AB。二、填空题1. 1 提示：根据甲的身高与影长构成的三角形与乙的身高和影长构成的三角形相似，列出比例式解答。 2. 5.2m 提示：如图容易知道CDBD，ABBE，即CDEABE90。由光的反射原理可知CEDAEB，这样可以得到CEDAEB，然后利用对应边成比例就可以求出AB。3. 1.8 提示：根据ABCD，易得，PABPCD，根据相似三角形对应高之比等于对应边之比，列出方程求解即可。4. 2：5 提示：由题意知三角尺与其影子相似，它们周长的比就等于