苏教版选修44 球坐标系与柱坐标系 学案.doc

4.1.3球坐标系与柱坐标系学习目标重点难点1知道在球坐标系、柱坐标系中刻画空间点的位置的方法2学会球坐标、柱坐标与空间直角坐标的互化，并能解决简单的实际问题.重点：球坐标系、柱坐标系的概念及不同坐标之间的互化难点：利用两种坐标系解决简单的实际问题.1球坐标系设m(x，y，z)为空间一点，点m可用这样三个有次序的数r，来确定，其中r为原点o到点m间的距离，为有向线段与z轴正方向所夹的角，为从z轴正半轴看，x轴正半轴按逆时针方向旋转到有向线段的角，这里p为点m在xoy平面上的投影(如图)这样的三个数r，构成的有序数组(r，)叫作点m的球坐标，这里r，的变化范围为0r，0，02.特别地，r常数，表示的是以原点为球心的球面；常数，表示的是以原点为顶点，z轴为轴的圆锥面；常数，表示的是过z轴的半平面点m的直角坐标与球坐标的关系为2柱坐标系在平面极坐标系的基础上，通过极点o，再增加一条与极坐标系所在平面垂直的z轴，这样就建立了柱坐标系(如图)设m(x，y，z)为空间一点，并设点m在xoy平面上的投影点p的极坐标为(r，)，则这样的三个数r，z构成的有序数组(r，z)就叫作点m的柱坐标，这里规定r，z的变化范围为0r，02，z.特别地，r常数，表示的是以z轴为轴的圆柱面；常数，表示的是过z轴的半平面；z常数，表示的是与xoy平面平行的平面显然，点m的直角坐标与柱坐标的关系为预习交流1在研究空间图形的几何特征时，应该怎样建立坐标系？提示：我们已经学习了数轴、平面直角坐标系、平面极坐标系、空间直角坐标系、柱坐标系、球坐标系等坐标系是联系形与数的桥梁，利用坐标系可以实现几何问题与代数问题的相互转化不同的坐标系有不同的特点，在实际应用时，我们就可以根据问题的特点选择适当的坐标系，借助坐标系方便、简捷地研究问题当图形中有互相垂直且相交于一点的三条直线时，可以利用这三条直线直接建系有些图形虽然没有互相垂直且相交于一点的三条直线，但是图形中有一定的对称关系(如：正三棱锥、正四棱锥、正六棱锥等)，我们可以利用图形的对称性建立空间坐标系来解题有些图形没有互相垂直且相交于一点的三条直线，但是有两个互相垂直的平面，我们可以利用面面垂直的性质定理，作出互相垂直且相交于一点的三条直线，建立空间坐标系2空间直角坐标系、柱坐标系都是刻画点的位置的方法，它们有什么联系和区别？提示：在直角坐标系中，我们需要三个长度x，y，z；而在柱坐标系中，我们需要长度，还需要角度，它是从长度、方向来描述一个点的位置，需要r，z.空间直角坐标：设点m为空间一已知点我们过点m作三个平面分别垂直于x轴、y轴、z轴，它们与x轴、y轴、z轴的交点依次为p，q，r，这三点在x轴、y轴、z轴的坐标依次为x，y，z.于是空间的一点m就唯一地确定了一个有序数组(x，y，z)这个组数(x，y，z)就叫作点m的坐标，并依次称x，y和z为点m的横坐标、纵坐标和竖坐标(如图所示)坐标为(x，y，z)的点m通常记为m(x，y，z)这样，通过空间直角坐标系，我们就建立了空间的点m和有序数组(x，y，z)之间的一一对应关系如果点m在yoz平面上，则x0；同样，zox平面上的点，y0；xoy平面上的点，z0.如果点m在x轴上，则yz0；如果点m在y轴上，则xz0；如果点m在z轴上，则xy0.如果m是原点，则xyz0等这两种三维坐标互相不同，互相有联系，互相能够转化，都是刻画空间一点的位置，只是描述的角度不同一、球坐标与直角坐标互化设点m的直角坐标为(1,1，)，求它的球坐标思路分析：利用变换公式求解，其中r，cos ，tan .解：r2.rcos z，cos .由0，.又tan 1，点m的球坐标为.已知点m的球坐标为，求它的直角坐标解：设点m的直角坐标为(x，y，z)，则有点m的直角坐标为(1,1，)由直角坐标化为球坐标时，可设点的球坐标为(r，)，利用变换公式求出r，即可；也可以利用r2x2y2z2，tan ，cos 来求要特别注意由直角坐标求球坐标时，要先弄清楚和所在的范围二、柱坐标与直角坐标互化设点m的直角坐标为(1,1,1)，求它在柱坐标系中的坐标思路分析：利用求出，即可解：设点m的柱坐标为(，z)，则有易知，在第一象限，点m的柱坐标为.点m的柱坐标为，求它的直角坐标解：设点m的直角坐标为(x，y，z)，则有点m的直角坐标为(，1,7)由直角坐标系中的直角坐标求柱坐标，可设点的柱坐标为(，z)，代入变换公式求，也可利用2x2y2求，利用tan 求，在求的时候特别注意该点所在的象限，从而确定的值；同理，可由柱坐标转化为直角坐标三、求空间一点的坐标一个圆形体育馆，自正东方向起，按逆时针方向等分为十六个扇形区域，顺次记为一区，二区，十六区，我们设圆形体育场第一排与体育馆中心的距离为200 m，每相邻两排的间距为1 m，每层看台的高度为0.7 m，现在需要确定第九区第四排正中的位置a，请建立适当的坐标系，把点a的坐标求出来解：以圆形体育馆中心o为极点，选取以o为端点且过正东入口的射线ox为极轴，在地面上建立极坐标系，则点a与体育场中轴线oz的距离为203 m，极轴ox按逆时针方向旋转，就是oa在地平面上的射影，a距地面的高度为2.8 m，因此点a的柱坐标为.建立适当的柱坐标系，表示棱长为3的正四面体的各个顶点的坐标解：以正四面体的一个顶点b为原点o，选取以o为端点且与bd垂直的射线ox为x轴，bd所在射线为y轴，过o点，与面bcd垂直的射线为z轴，建立柱坐标系过a作aa垂直于平面bcd，垂足为a，则|ba|，|aa|，abx，则a，b(0,0,0)，c，d.求空间中一点的柱坐标，与求平面极坐标类似，需要确定极径、极角，只是比平面极坐标多了一个量，即点在空间中的高度1点p的柱坐标为，则其直角坐标为_答案：(8,8，5)解析：16，z5，xcos 8，ysin 8，z5，点p的直角坐标是(8,8，5)2点b的直角坐标为(1，4)，则它的柱坐标是_答案：解析：x1rcos ，yrsin ，tan .02，x0，r2，z4，点b的柱坐标为.3已知点m的球坐标为，则它的直角坐标为_，它的柱坐标是_答案：(2,2,2)解析：设点m的直角坐标为(x，y，z)，则x4sincos2，y4sinsin2，z4cos2.所以点m的直角坐标为(2,2,2)设点m的柱坐标为(r，z)，则r2，tan 1，所以.又z2，所以点m的柱坐标为.4将点m(1，1，)化成球坐标为_答案：解析：设点m的球坐标为(r，)，则r2，tan ，由0，知，又tan 1,02，x0，.m(1，1，)的球坐标为.5用两个平行平面去