苏教版选修44 参数方程与普通方程的互化 学案.doc

4.4.2参数方程与普通方程的互化学习目标重点难点1能记住参数方程的概念，能够根据条件引进适当的参数，写出参数方程2会将参数方程化普通方程的两种方法：代数法和三角恒等式法3选取适当的参数，能将普通方程化为参数方程.重点：参数方程与普通方程的互化难点：参数方程化为普通方程.1参数方程的概念一般地，在取定的坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标(x，y)都是某个变数t的函数并且对于t取的每一个允许值，由方程组所确定的点p(x，y)都在这条曲线上，那么方程组就叫作这条曲线的参数方程，联系x，y之间关系的变数t叫作参变数，简称参数相对于参数方程，我们把直接用坐标(x，y)表示的曲线方程f(x，y)0叫作曲线的普通方程预习交流1曲线的参数方程的特点是什么？提示：曲线的普通方程直接地反映了一条曲线上的点的横、纵坐标之间的联系，而参数方程是通过参数反映坐标变量x，y间的间接联系在具体问题中，参数可能有相应的几何意义，也可能没有什么明显的几何意义曲线的参数方程常常是方程组的形式，任意给定一个参数的允许取值就可得到曲线上的一个对应点，反过来对于曲线上任一点也必然对应着其中的参数的相应的允许取值在具体问题中，如果要求相应曲线的参数方程，首先就要注意参数的选取一般来说，选择参数时应注意考虑以下两点：一是曲线上每一点的坐标(x，y)都能由参数取某一值唯一地确定出来；二是参数与x，y之间的相互关系比较明显，容易列出方程参数的选取应根据具体条件来考虑，可以是时间，也可以是线段的长度、方位角、旋转角，动直线的斜率、倾斜角、截距，动点的坐标等有时为了便于列出方程，也可以选两个以上的参数，再设法消去其中的参数得到普通方程，或剩下一个参数得到参数方程但这样做往往增加了变形与计算的麻烦，所以参数的个数一般应尽量少2代数法消去参数与三角恒等法消去参数(1)代入法从参数方程中选出一个方程，解出参数，然后把参数的表达式代入另一个方程，消去参数，得到曲线的普通方程我们通常把这种方法称为代入法(2)代数运算法通过代数方法，如乘、除、乘方等把参数方程中的方程适当地变形，然后把参数方程中的两个方程进行代数运算，消去参数(3)如果参数方程中的x，y都表示为参数的三角函数，那么可以考虑用三角函数公式中的恒等式消去参数常用的三角恒等式有：sin2cos21，tan21，(sin cos )22sin cos 1等预习交流2将参数方程化为普通方程时，消去参数的常用方法是什么？提示：代入法先由一个方程求出参数的表达式(用直角坐标变量表示)，再代入另一个方程利用代数或三角函数中的恒等式消去参数例如对于参数方程如果t是常数，是参数，那么可以利用公式sin2cos21消参；如果是常数，t是参数，那么适当变形后可以利用(mn)2(mn)24mn消参一、求曲线的参数方程如图，已知点p是圆x2y216上的一个动点，点a是x轴上的一个定点，坐标为(12,0)，当点p在圆上运动时，求线段pa的中点m的轨迹思路分析：写出圆的参数方程，利用中点坐标公式得到点m的参数方程，从而求出其轨迹解：设点m的坐标为(x，y)，圆x2y216的参数方程为可设点p坐标为(4cos ，4sin )由中点坐标公式得，点m的轨迹方程为点m的轨迹是以(6,0)为圆心，2为半径的圆一架救援飞机以100 m/s的速度做水平直线飞行，在离灾区指定目标的水平距离还有1 000 m时投放救灾物资(不计空气阻力，g9.8 m/s2)，问此时飞机的飞行高度约是多少？(精确到1 m)解：在时刻t时飞机在水平方向的位移量x100t.离地面高度y0gt2，即令1 000100t，得t10，代入得y9.8100490.所以，此时飞机飞行高度约是490 m.解答本题时，应先写出圆的参数方程，然后利用中点坐标公式求解，对轨迹的判断也要特别注意二、参数方程化为普通方程将下列参数方程化为普通方程：(1)(t为参数)；(2)(为参数)思路分析：利用参数作为桥梁，进行适当变形解：(1)xt，x2t22.把yt2代入得x2y2.又xt，当t0时，xt2；当t0时，xt2.x2或x2.普通方程为x2y2(x2或x2)(2)可化为两式平方相加，得221.即普通方程为(x2)2y29.1将参数方程(t为参数)化为普通方程为_答案：2xy40(x0)解析：将x代入y24得y2x4.又x0，普通方程为2xy40(x0)2将参数方程(为参数)化为普通方程为_答案：y12x2(1x1)解析：ycos212sin2.将xsin 代入得y12x2.又xsin 1,1，普通方程为y12x2(1x1)参数方程化为普通方程常用到三角恒等式，例如：sin2cos21，tan21等三、普通方程化为参数方程已知圆方程x2y22x6y90，将它化为参数方程思路分析：先把圆的方程化成标准形式再转化解：把x2y22x6y90化为标准方程为(x1)2(y3)21.参数方程为(为参数)椭圆方程为1，写出它的参数方程解：设cos ，sin ，则(为参数)，即为所求参数方程把普通方程化为参数方程时，要注意选择适当的参数，参数选取不同，参数方程就不同在转化过程中一定要注意不要改变x，y的取值范围1若点m(x，y)在曲线(为参数)上，则x2y2的最大值与它的最小值的差为_答案：12解析：x2y2(13cos )2(13sin )2116sin，x2y2的最大值为116，最小值为116.最大值与最小值的差为116(116)12.2把方程(为参数)化为普通方程为_答案：yx22(x)解析：将xsin cos 两边平方，然后与ysin 21相减，得yx22.又xsin cos sin，x.3边长为a的等边abc的两个端点a，b分别在x轴，y轴正半轴上移动，顶点c和原点o分别在直线ab两侧，记cax，则顶点c的轨迹的参数方程是_答案：(为参数)解析：如图，过c作cdx轴于d，设点c的坐标为(x，y)，则由得即为顶点c的轨迹的参数方程4将(t为参数)化