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14 3.1 算符的运算规则第三章 力学量用算符表达 3.1 算符的运算规则一、 运算规则二、 算符的对易关系三、 坐标、动量的对易关系四、 角动量的对易关系五、 算符的函数 3.2 厄米算符一、 本征值为实数二、 本征函数正交三、 本征函数系构成完备集合四、 简并五、 量子力学的基本假定 3.3 共同本征函数系一、 不确定关系二、 两个力学量有共同本征函数系的条件三、 力学量完全集四、 的共同本征函数系第三章作业教材P132 133：3、7、11、12、16 3.1 算符的运算规则一、 运算规则、 任意态矢量，、 任意复常数。1、 线性算符2、 算符相等3、 单位算符4、 算符之和 满足交换律 满足结合律 5、 算符之积 依次作用于波函数。 满足结合律 一般不满足交换律 例如 因为 幂运算 例题1 证明任意算符与单位算符交换，即 对于任意态所以6、 逆算符 若由 能唯一地解出，则可定义 的逆算符 性质：因为7、 算符的复共轭 的复共轭：将的表达式中所有量换成其复共轭。例如 8、算符的厄米共轭和厄米算符（）的厄米共轭：或运算规则： （课下证明）（）厄米算符 若，则称为厄米算符。即，若或则称为厄米算符。厄米算符的例：，空间反射动量是厄米算符：对任意态和分部积分第一项为零，是利用了波函数平方可积条件。 由厄米算符的定义在任意状态上厄米算符的平均值均为实数。厄米算符可以用来表达力学量。 思考 两个厄米算符的和是厄米算符吗？两个厄米算符的积是厄米算符吗？例题2 证明动能在任意态 的平均值 最后一步用到了内积的性质。9、幺正算符（unitary operator） 若，则称为幺正算符。 若为幺正算符，则有例题3 证明空间反射算符既是厄米算符，也是幺正算符。（1）是厄米算符 算符厄米算符，表达体系的宇称。（2）是幺正算符 二、 算符的对易关系1、算符和的对易关系定义为 若，即，则称和对易（交换）。2、对易关系的计算 如果对于任意态有 则 例如因此，坐标和动量在该方向上的分量的对易关系：8、对易关系的运算规则例题4 计算对易关系 代入 ，得三、 坐标、动量的对易关系四、 角动量的对易关系 这里定义的角动量是轨道角动量它的三个分量为 角动量的平方为角动量三个分量之间的对易关系：举例证明 ： 算符之间的对易关系具有本质性的意义。实际上，上述三个分量之间的对易关系是一般的角动量算符的定义。 一个矢量算符，如果它的三个分量满足下述对易关系，则这个矢量算符就是角动量算符 只要从角动量的对易关系出发，就能确定它的本征值谱和本征态，而无论它是轨道角动量，还是自旋角动量（在7.2讨论）。 角动量算符的三个分量都和角动量的平方对易角动量包括4个算符：但互相对易的只有2个，一般选为：对于轨道角动量，这两个算符在球坐标系中的形式为 轨道角动量和坐标、动量之间的对易关系： 五、 算符的函数 给定函数且可作展开，则可定义算符的函数例如 定理：若算符的本征值问题的解为 ，
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