北师大版选修21 双曲线的简单性质 学案2.doc

3.2双曲线的简单性质学习目标重难点1掌握双曲线的范围、顶点、离心率、渐近线等几何性质2能够解决一些简单的双曲线问题.重点：双曲线的几何性质及各元素间的关系难点：双曲线的渐近线和离心率的有关问题.双曲线的简单性质设双曲线的标准方程为1(a0，b0)，其简单性质如下：(1)双曲线是以_为对称轴的_，也是以_为对称中心的_，这个对称中心称为双曲线的_(2)双曲线1(a0，b0)都在两条平行直线_的两侧，因此双曲线上点的横坐标满足_(3)双曲线与它的对称轴的交点_叫作双曲线的_显然_是双曲线两支上的点中距离最近的点两个顶点间的线段a1a2叫作双曲线的_，它的长度等于_设b1(0，b)，b2(0，b)为y轴上的两个点，我们把线段b1b2叫作双曲线的_，它的长度为_a为_， b为_(4)_叫作双曲线1(a0，b0)的离心率，因为ca0，所以e_1._决定双曲线的开口大小，越大，双曲线的开口就_(5)双曲线1(a0，b0)的渐近线方程为_预习交流(1)做一做：等轴双曲线(实轴长与虚轴长相等的双曲线)的离心率和渐近线方程分别是什么？(2)想一想：双曲线与椭圆的离心率有哪些异同？答案：(1)x轴和y轴轴对称图形原点中心对称图形中心(2)xa和xaxa或xa(3)a1(a,0)，a2(a,0)顶点顶点实轴2a虚轴2b实半轴长虚半轴长(4)e越大(5)yx预习交流：(1)提示：等轴双曲线是一种特殊的双曲线，离心率为e，渐近线方程为yx.(2)提示：双曲线的离心率算法与椭圆相同，都是e，但因ca，所以e1.又因为双曲线与椭圆的形状不同，所以离心率的几何意义不同，对于椭圆，它决定其“扁平”程度，而对于双曲线，它决定其“张口”大小在预习中，还有哪些问题需要你在听课时加以关注？请在下列表格中做个备忘吧！我的学困点我的学疑点1双曲线的简单性质的理解求双曲线16y29x2144的实半轴长、虚半轴长、焦点坐标、离心率和渐近线方程如果双曲线的实半轴长为2，焦距为6，那么该双曲线的离心率为()a. b. c. d2由双曲线的标准方程求双曲线的有关性质的程序是：先将双曲线方程化为标准形式1，再确定a，b的值(注意它们的分母分别为a2和b2，而不是a，b)，进而求出c，再对照双曲线的几何性质求出要求的量2由双曲线的性质求标准方程求过点p(3，)，离心率为e的双曲线的标准方程设f1，f2是双曲线的左、右焦点，p是双曲线上一点，若f1pf260，spf1f212，且离心率为2，求双曲线的标准方程已知a，b，c，e中的任何两个量就可求得其余的量，再知焦点所在的坐标轴，双曲线就确定了3有关双曲线的综合问题已知双曲线的中心在原点，焦点f1，f2在坐标轴上，离心率为，且过点(4，)(1)求此双曲线方程；(2)若点m(3，m)在双曲线上，求证mf1mf2；(3)求f1mf2的面积已知椭圆的方程为1(ab0)，焦距为2，若一双曲线与此椭圆有共同的焦点，且它的实轴比椭圆的长轴短8，双曲线的离心率与椭圆的离心率之比为51，求椭圆和双曲线方程双曲线1(a0，b0)中，c2a2b2，离心率为e；椭圆1(ab0)中，a2b2c2，离心率e.答案：活动与探究1：解：原方程可化为1，由此可知实半轴长为a3，虚半轴长为b4.c5，焦点坐标是(0，5)，(0,5)，离心率e，渐近线方程为yx.迁移与应用1：c解析：由题意知a2，c3，e.活动与探究2：解：(1)若双曲线的实轴在x轴上，设1(a0，b0)为所求双曲线的标准方程由e，得.由点p(3，)在双曲线上，得1.又a2b2c2，解由组成的方程组得：a21，b2，双曲线的标准方程为x21.(2)若双曲线的实轴在y轴上，设双曲线的标准方程为1(a0，b0)同理有，1，a2b2c2，解之得b2(不合题意，舍去)综上所述，所求双曲线的标准方程为x21.迁移与应用2：解：设双曲线的标准方程为1(a0，b0)，因为|f1f2|2c，而e2，故c2a.由双曲线的定义，得|pf1|pf2|2ac.由余弦定理，得(2c)2|pf1|2|pf2|22|pf1|pf2|cosf1pf2(|pf1|pf2|)22|pf1|pf2|(1cos 60)，即4c2c2|pf1|pf2|.又spf1f2|pf1|pf2|sin 6012，|pf1|pf2|48.3c248，c216，得a24，b212.故所求双曲线的标准方程为1.活动与探究3：(1)解：e，可设双曲线方程为x2y2.又双曲线过点(4，)，1610，6.双曲线方程为x2y26，即1.(2)证明：易知焦点坐标分别为f1(2，0)，f2(2，0)，kmf1，kmf2.kmf1kmf2.点m(3，m)在双曲线上，9m26，m23.故kmf1kmf21，mf1mf2.(3)解：f1mf2的边|f1f2|4，边f1f2上的高h|m|，sf1mf26.迁移与应用3：解：设a，b分别为双曲线的实半轴长、虚半轴长，依题意有：于是椭圆的短半轴长b，双曲线的虚半轴长b3.故椭圆、双曲线方程分别是1，x21.1已知双曲线1(a0，b0)的一条渐近线方程为yx，则双曲线的离心率为()a. b.c. d.2已知双曲线c：1的焦距为10，点p(2,1)在c的渐近线上，则c的方程为()a.1 b.1c.1 d.13已知双曲线1的右焦点与抛物线y212x的焦点重合，则该双曲线的焦点到其渐近线的距离等于()a. b4c3 d54在平面直角坐标系xoy中，若双曲线1的离心率为，则m的值为_5已知双曲线的离心率e，且与椭圆1有共同的焦点，求该双曲线的标准方程答案：1a解析：由已知得，又c2a2b2，e.2a解析：由2c10，得c5，点p(2,1)在直线yx上，1.又a2b225，a220，b25.故c的方程为1.3a解析：由双曲线的右焦点与抛物线y212x的焦点重合，知c3，c294b2，于是b25，b.因此该双曲线的渐近线的方程为yx，即x2y0.故该双曲线的焦点到其渐近线的距离为d.42解析：根据双曲线方程的结构形式可知，此双曲线的焦点在x轴上，且a2m，b2m24，故c2m2m4，于是e2()2，解得m2，