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第四章 矩阵力学基础(II)表象理论龙时磊 200431020006姜雷 2004310200104.5设粒子处在宽度为的无限深方势阱中,求在能量表象中粒子的坐标和动量的矩阵表示。解:一维无限深方势阱的For归一化波函数是:该波函数是能量本征函数，任何力学量的矩阵元是:此公式用于坐标矩阵： (1)此式不适用于对角矩阵元.当m=n时，得对角矩阵元： 动量矩阵元(非对角的) For 1) The energy eigen wave functions for this one-dimensional infinite potential well satisfy the Scroedinger equation or expressed in the coordinate representation with and the boundary conditions The solutions arewith the eigenenergies Note that ; . 4.6证明两个厄米矩阵能用同一个么正变换对角化的充要条件是它们彼此对易。证明:对易关系充分性的证明:设.又设是一个足以使对角化的么正算符,则 再求的变换矩阵元由于此式左方不论为何值都为零，右方可利用矩阵积的元素的展开法则: 利用式于，则可以写成不为零的项是：（因为矩阵元是数，可以对易）即： 此式成立的条件是：时， 时，故是对角矩阵的元素，是对角矩阵，而是能同时将对角化的么正变换算符。对易关系必要性的证明：设能同时将对角化，则有： 试对进行变换，有：写成展开式，再将代入：后面不论取或其它值，这个矩阵元永远是零，这说明矩阵,的一切元素是零，这必需是.4.7已知在的共同表象中,算符和的矩阵分别为:; 求它们的本征值和归一化的本征函数,最后将矩阵和对角化.解:的久期方程为的本征值为的本征方程其中设为的本征函数共同表象中的矩阵当时，有 由归一化条件取 ，对应于的本征值0.当时，有 由归一化条件取 ，归一化的对应于的本征值当时，有 由归一化条件取 ，归一化的对应于的本征值由以上结果可知，从的共同表象变到表象的变换矩阵为 对角化的矩阵为 按照与
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