Article635062435211970269第六章拓展.doc

奥鹏远程教育中心助学服务部 北航高等数学(上)第六章定积分的应用 拓展资源 一、定积分的几何应用应用1： 平面图形的面积 (1) 直角坐标下平面图形的面积1 设函数在区间上连续， ，求由曲线及直线所围成的图形的面积 用微元法分析： 在区间上任取一个区间设此小区间上的面积为则近似于高为，底为 的小矩形的面积，从而得到面积微元 以 为被积表达式，在区间 作定积分，就是所求的图形的面积 在这个公式中，无论曲线在轴的上方或下方都成立，只要求在曲线的下方.类似地2 设函数 在区间 上连续， 则由曲线， 及直线 所围成的图形的面积为 例 1 求由曲线 所围成的图形的面积 解先求出两曲线的交点 积分区间为 面积微元为,则所求图形的面积为例 2 求抛物线与直线所围成的图形的面积 解求解 得抛物线与直线的交点 取 为积分变量，则所求面积为：总结： 一般的说,当曲边梯形的曲边由参数方程给出时，且， 又与 在或上连续，则曲边梯形的面积为 (2) 极坐标下平面图形的面积 设曲线的极坐标方程在区间上连续，且 求由此曲线与射线所围成的曲边扇形的面积 用微元法分析： 在区间上任取一个小区间设此小区间上曲边扇形的面积为，则近似于半径为 中心角为的圆扇形面积，从而得到面积微元 以为被积表达式，在区间作定积分，即为曲边扇形的面积例 3 求心形线所围成的面积 解 当从变到时，的图形为上半部分，心形线所围图形的面积为极轴上方那部分的两倍，即 应用2：体积 (1) 旋转体的体积1 由连续曲线 直线及轴所围成的曲边梯形绕 轴旋转一周而成的旋转体，求其体积 用微元法分析： 在区间上任取一个小区间设与此小区间相对应的那部分旋转体的体积为，则 近似与以为底半径，高为扁圆柱体的体积，从而得到体积微元 以为被积表达式,在区间作定积分，就是所求旋转体的体积 由连续曲线 直线及 轴所围成的曲边梯形绕 轴旋转一周而成的旋转体的体积为 例 4 计算由椭圆 绕 x 轴旋转一周所成的旋转体(旋转椭球体)的体积.解旋转体可看作上半椭圆与轴围成的图形绕轴旋转而成的旋转体. 取为积分变量，它的变化区间体积微元旋转体的体积为 例 5 求圆与抛物线围成的图形绕 轴旋转一周所围成的旋转体体积.解求解 交点为取 为积分变量，变化区间在上，体积微元是在上，体积微元是所求的体积为(2) 平行截面面积为已知的立体的体积 1 设有一立体介于过点且垂直于轴的两平面之间,(*)以表示过点且垂直于轴的平面截它所得的截面面积，又知为的连续函数，求此立体的体用微元法分析： 在区间上任取一个小区间设与此小区间相对应的部分立体的体积为则近似于以为底半径,高为柱体的体积，得到体积微元为 以为被积表达式，在区间作定积分，所求立体的体积类似地，2 设有一立体介于过点且垂直轴的两平面之间以表示过点且垂直于轴的平面截它所得的截面面积，又知为的连续函数，则此立体的体积为应用3：平面曲线的弧长1 设平面曲线弧的直角坐标方程为 其中在区间上具有一阶连续导数，求这曲线弧弧长用微元法分析： 在区间 上任取一小区间 ，设与此小区间相对应的曲线弧 的弧长为，则近似于该曲线在点 处的切线相应的线段长 ，有即弧长微元为于是曲线弧 AB 弧长为 2 设平面曲线弧 由参数方程 给出，其中 在区间 上具有一阶连续导数，在区间 上，对应的弧长微元 所以平面曲线弧 的弧长为 例 6 求曲线 在 从 到 之间的一段弧长. 解 取为积分变量,它的变化区间 在其上任取一小区间 则弧长微元为 二、定积分的物理应用在6.1的引例中已经讲过，如果质点沿轴在变力的作用下由点移到点 变力所做的功 三、定积分在经济中的应用设是经济量的函数（如需求函数，生产函数，成本函数，总收益函数等），则导数称为的边际函数或变化率. 在经济管理中，可以利用积分法，根据边际函数求出总函数（即原函数）或总函数在区间上的改变量（1）若已知某产品总产量的变化率为 则从时间到该产品的总产量 （2）设某产品总产量，若已知该