北师大版选修23 1. 5 第一课时 二项式定理 学案.doc

5二项式定理第一课时二项式定理 (ab)2a22abb2；(ab)3a33a2b3ab2b3；(ab)4a44a3b6a2b24ab3b4；(ab)5a55a4b10a3b210a2b35ab4b5.根据上述规律归纳出(ab)n(nn，n2)的展开式，并思考下列问题问题1：(ab)n展开式中共有多少项？提示：n1项问题2：(ab)n展开式中系数有什么特点？提示：依次为组合数c，c，c，c.问题3：(ab)n展开式中每项的次数有什么特点？项的排列有什么规律？提示：每一项的次数和是一样的，都是n次，并且是按a的降幂排列，b的升幂排列二项式定理二项式定理(ab)ncancan1bcanrbrcbn叫作二项式定理二项展开式公式右边的式子叫作(ab)n的二项展开式二项式系数各项的系数c(r0,1,2，n)叫作二项式系数二项展开式的通项式中canrbr叫作二项展开式的通项在二项式定理中，若a1，bx，则(1x)n1cxcx2cxrxn.(1)(ab)n的展开式中共有n1项，字母a的幂指数按降幂排列，字母b的幂指数按升幂排列，每一项的次数和为n.(2)通项公式tr1canrbr是第r1项而不是r项 二项式定理的正用、逆用例1(1)求4的展开式；(2)化简(x1)55(x1)410(x1)310(x1)25(x1)思路点拨(1)直接运用公式将其展开，也可先变形，后展开；(2)根据所给式子的形式，考虑逆用二项式定理精解详析(1)法一：4c(3)4c(3)3c(3)22c(3)3c481x2108x54.法二：4(81x4108x354x212x1)81x2108x54.(2)原式c(x1)5c(x1)4c(x1)3c(x1)2c(x1)c(x1)01(x1)151x51.一点通求形式简单的二项展开式时可直接由二项式定理展开，展开时注意二项展开式的特点：前一个字母是降幂，后一个字母是升幂形如(ab)n的展开式中会出现正负间隔的情况112c4c8c16c(2)nc的值为()a1b1c(1)n d3n解析：12c4c8c16c(2)nc1(2)n(12)n(1)n.答案：c2求3的展开式解：36(x21)6c(x2)6c(x2)5c(x2)4c(x2)3c(x2)2cx2c(x126x1015x820x615x46x21)x66x415x220.求二项展开式的特定项例2已知在n的展开式中，第6项为常数项(1)求n；(2)求展开式中所有的有理项思路点拨首先利用通项公式可求得幂指数n，进而利用通项公式可求得所有的有理项精解详析(1)二项展开式的通项为c()nrr(3)rcx.第6项为常数项，当r5时，0，解得n10.(2)根据通项公式，由题意，得令k(kz)，则102r3k，即r5k.rz，k应为偶数，k2,0，2，r2,5,8.第3项、第6项与第9项为有理项，它们分别为405x2，61 236,295 245x2.一点通(1)求二项展开式中的某些特定项时，通常先利用通项公式由题意求出r，再求所需的某项；有时需要先求出n，计算时要注意n和r的取值范围以及它们之间的大小关系(2)处理常数项问题的关键是抓住变量的指数为0，有理项问题的关键是变量的指数为整数3(湖南高考)5的展开式中x2y3的系数是()a20 b5c5 d20解析：由二项展开式的通项可得，第四项t4c2(2y)320x2y3，故x2y3的系数为20，选a.答案：a4(江西高考)5展开式中的常数项为()a80 b80c40 d40解析：tr1c(x2)5rrc(2)rx105r，令105r0，得r2，故常数项为c(2)240.答案：c5求()9展开式中的有理项解：tr1c(x)9r(x)r(1)rcx，令z，即4z，且r0,1,2，9.r3或r9.当r3时，4，t4(1)3cx484x4；当r9时，3，t10(1)9cx3x3.()9的展开式中的有理项是第4项：84x4，第10项：x3.二项式系数与项的系数例3(8分)已知二项式10.(1)求展开式中第4项的二项式系数；(2)求展开式中第4项的系数思路点拨利用二项式的通项求第4项的二项式系数及系数精解详析10的二项展开式的通项是tk1c(3)10kk(k0,1，10)(4分)(1)第4项的二项式系数为c120.(6分)(2)第4项的系数为c37377 760.(8分)一点通要注意区分某项的二项式系数与系数的区别，前者只与二项式的指数及第几项有关，与二项式无关，它是一个组合数c；后者与二项式、二项式的指数及项中字母的系数均有关6(新课标全国卷)已知(1x)(1x)5的展开式中x2的系数为5，则()a4 b.3c2 d1解析：展开式中含x2的系数为cac5，解得a1，故选d.答案：d7(浙江高考)在(1x)6(1y)4的展开式中，记xmyn项的系数为f(m，n)，则f(3,0)f(2,1)f(1,2)f(0,3)()a45 b60c120 d210解析：由题意知f(3,0)cc，f(2,1)cc，f(1，2)cc，f(0,3)cc，因此f(3,0)f(2,1)f(1，2)f(0,3)120，选c.答案：c8求二项式6的展开式中第6项的二项式系数和第6项的系数解：二项式6的展开式中第6项为c2512x，第6项的二项式系数为c6，第6项的系数为12.求展开式的一些特殊项，通常都是由题意列方程求出r，再求所需的某项；有时需先求n，计算时要注意n和r的取值范围及它们之间的大小关系 1(x2y)7的展开式中的第4项为()a280x4y3b280x4y3c35x4y3 d35x4y3解析：(x2y)7的展开式中的第4项为t4cx4(2y)3(2)3cx4y3280x4y3.答案：a2在(x)10的展开式中，x6的系数是()a27c b27cc9c d9c解析：tk1cx10k()k，令10k6，知k4，t5cx6()4，即x6的系数为9c.答案：d3(大纲全国卷)(1x)8(1y)4的展开式中x2y2的系数是()a56 b84c112 d168解析：在(1x)8展开式中含x2的项为cx228x2，(1y)4展开式中含y2的项为cy26y2，所以x2y2的系数为286168，故选d.答案：d4已知n的展开式中的常数项是第7项，则正整数n的值为()a7 b8c9 d10解析：n的展开式的通项tr1c2nrx3n4r，由r6时，3n4r0.得n8.答案：b5(安徽高考)若8的展开式中x4的系数为7，则实数a_.解析：二项式8展开式的通项为tr1carx8r，令8r4，可得r3，故ca37，易得a.答案：6(浙江高考)设二项式5的展开式中常数项为a，则a_.解析：tr1(1)rcx，令155r0，得r3，故常数项a(1)3c10.答案：107.n展开式第9项与第10项二项式系数相等，求x的一次项系数解：由题意知，cc.n17.tr1cx2rxc2rx.1.解得r9.tr1cx429x3，即t10c29x.其一次项系数为c29.8在8的展开式中，求：(1)第5项的二项式系数及第5项的系数；(2)倒数第3项解：法一：利用二项式的展开式解决(1)8(2x2)8c(2x2)7c(2x2)62c(2x2)53c(2x2)44c(2x2)35c(2x2)26c(2x2)7c8，则第5项的二项式系数为c70，第5项的