北师大版选修23 1. 5.2 二项式系数的性质 学案 (1).doc

5.2二项式系数的性质1了解杨辉三角2掌握二项式系数的性质(重点)3会用赋值法求系数和(难点)基础初探教材整理二项式系数的性质阅读教材p26p27“练习”以上部分，完成下列问题1杨辉三角的特点(1)在同一行中每行两端都是1，与这两个1等距离的项的系数_(2)在相邻的两行中，除1以外的每一个数都等于它“肩上”的两个数的_，即c_.【答案】(1)相等(2)和cc2二项式系数的性质对称性在(ab)n展开式中，与首末两端“_”的两个二项式系数相等，即c_增减性与最大值增减性：当k时，二项式系数是逐渐减小的最大值：当n为偶数时，中间一项的二项式系数最大；当n为奇数时，中间两项的二项式系数相等，且同时取得最大值各二项式系数的和(1)cccc_.(2)cccccc_【答案】等距离c(1)2n(2)2n11已知(ab)n展开式中只有第5项的二项式系数最大，则n等于()a11b10 c9d8【解析】只有第5项的二项式系数最大，15，n8.【答案】d2如图151，在由二项式系数所构成的杨辉三角形中，第_行中从左至右第14个与第15个数的比为23.图151【解析】由已知，即，化简得，解得n34.【答案】34质疑手记预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1：解惑：疑问2：解惑：疑问3：解惑：小组合作型与“杨辉三角”有关的问题如图152，在“杨辉三角”中斜线ab的上方，从1开始箭头所示的数组成一个锯齿形数列：1,2,3,3,6,4,10,5，.记其前n项和为sn，求s19的值图152【精彩点拨】由图知，数列中的首项是c，第2项是c，第3项是c，第4项是c，第17项是c，第18项是c，第19项是c.【自主解答】s19(cc)(cc)(cc)(cc)c(cccc)(cccc)(23410)c220274.“杨辉三角”问题解决的一般方法观察分析；试验猜想；结论证明，要得到杨辉三角中蕴含的诸多规律，取决于我们的观察能力，观察能力有：横看、竖看、斜看、连续看、隔行看，从多角度观察如表所示：再练一题1如图153所示，满足如下条件：第n行首尾两数均为n；表中的递推关系类似“杨辉三角”则第10行的第2个数是_，第n行的第2个数是_图153【解析】由图表可知第10行的第2个数为：(1239)146，第n行的第2个数为：123(n1)11.【答案】46求展开式的系数和设(12x)2 017a0a1xa2x2a2 017x2 017(xr)(1)求a0a1a2a2 017的值；(2)求a1a3a5a2 017的值；(3)求|a0|a1|a2|a2 017|的值【精彩点拨】先观察所求式子与展开式各项的特点，利用赋值法求解【自主解答】(1)令x1，得a0a1a2a2 017(1)2 0171.(2)令x1，得a0a1a2a2 01732 017.得2(a1a3a2 017)132 017，a1a3a5a2 017.(3)tr1c(2x)r(1)rc (2x)r，a2k10(kn)，a2k0(kn)|a0|a1|a2|a3|a2 017|a0a1a2a3a2 01732 017.1解决二项式系数和问题思维流程2“赋值法”是解决二项展开式中项的系数常用的方法，根据题目要求，灵活赋给字母不同值一般地，要使展开式中项的关系变为系数的关系，令x0可得常数项，令x1可得所有项系数之和，令x1可得偶次项系数之和与奇次项系数之和的差再练一题2已知(2x1)10a0a1xa2x2a9x9a10x10，则a2a3a9a10的值为()a20b0c1d20【解析】令x1，得a0a1a2a9a101，再令x0，得a01，所以a1a2a9a100，又易知a1c21(1)920，所以a2a3a9a1020.【答案】d探究共研型二项式系数性质的应用探究1根据杨辉三角的特点，在杨辉三角同一行中与两个1等距离的项的系数相等，你可以得到二项式系数的什么性质？【提示】对称性，因为cc，也可以从f(r)c的图象中得到探究2计算，并说明你得到的结论【提示】.当k1，说明二项式系数逐渐增大；同理，当k时，二项式系数逐渐减小探究3二项式系数何时取得最大值？【提示】当n是偶数时，中间的一项取得最大值；当n是奇数时，中间的两项相等，且同时取得最大值已知f(x)(3x2)n展开式中各项的系数和比各项的二项式系数和大992.(1)求展开式中二项式系数最大的项；(2)求展开式中系数最大的项【精彩点拨】求二项式系数最大的项，利用性质知展开式中中间项(或中间两项)是二项式系数最大的项；求展开式中系数最大的项，必须将x，y的系数均考虑进去，包括“”“”号【自主解答】令x1，则二项式各项系数的和为f(1)(13)n4n，又展开式中各项的二项式系数之和为2n.由题意知，4n2n992.(2n)22n9920，(2n31)(2n32)0，2n31(舍去)或2n32，n5.(1)由于n5为奇数，所以展开式中二项式系数最大的项为中间两项，它们分别是t3c()3(3x2)290x6，t4c()2(3x2)3270.(2)展开式的通项公式为tr1c3r假设tr1项系数最大，则有r，rn，r4.展开式中系数最大的项为t5c (3x2)4405.1求二项式系数最大的项，根据二项式系数的性质，当n为奇数时，中间两项的二项式系数最大；当n为偶数时，中间一项的二项式系数最大2求展开式中系数最大项与求二项式系数最大项是不同的，需根据各项系数的正、负变化情况，一般采用列不等式组，解不等式的方法求得再练一题3已知(a21)n展开式中的各项系数之和等于5的展开式的常数项，而(a21)n的展开式的系数最大的项等于54，求a的值【解】由5，得tr1c5rr5rc，令tr1为常数项，则205r0，所以r4，常数项t5c16.又(a21)n展开式中的各项系数之和等于2n，由此得到2n16，n4.所以(a21)4展开式中系数最大项是中间项t3ca454，所以a.构建体系1(1x)2n1的展开式中，二项式系数最大的项所在项数是()an，n1bn1，ncn1，n2dn2，n3【解析】该展开式共2n2项，中间两项为第n1项与第n2项，所以第n1项与第n2项为二项式系数最大的项【答案】c2已知c2c22c2nc729，则ccc的值等于()a64b32c63d31【解析】c2c2nc(12)n3n729，n6，ccc32.【答案】b3若(x3y)n的展开式中各项系数的和等于(7ab)10的展开式中二项式系数的和，则n的值为_【解析】(7ab)10的展开式中二项式系数的和为ccc210，令(x3y)n中xy1，则由题设知，4n210，即22n210，解得n5.【答案】54已知(ax)5a0a1xa2x2a5x5，若a280，则a0a1a2a5_. 【导学号：62690023】【解析】(ax)5展开式的通项为tk1(1)kca5kxk，令k2，得a2(1)2ca380，解得a2，即(2x)5a0a1xa2x2a5x5，令x1，得a0a1a2a51.【答案】15在8的展开式中，(1)求系数的绝对值最大的项；(2)求二项式系数最大的项；(3)求系数最大的项；(4)求系数最小的项【解】tr1c()8rr(1)rc2r.(1)设第r1项系数的绝对值最大则解得5r6.故系数绝对值最大的项是第6项和第7项(2)二项式系数最大的项为中间项，即