相似三角形综合练习.doc

一、综合题1、如图：抛物线与轴交于A、B两点，点A的坐标是（1，0），与轴交于点C（1）求抛物线的对称轴和点B的坐标；（2）过点C作CP对称轴于点P，连接BC交对称轴于点D，连接AC、BP，且BPD=BCP，求抛物线的解析式。解：2、如图所示，已知抛物线y=x2-1与x轴交于A、B两点，与y轴交于点c (1)求A、B、C三点的坐标(2)过点A作APCB交抛物线于点P，求四边形ACBP的面积(3)在x轴上方的抛物线上是否存在一点M，过M作MGx轴于点G，使以A、M、G三点为顶点的三角形与PCA相似若存在，请求出M点的坐标；否则，请说明理由；3、如图，抛物线yx2x12与x轴交于A、C两点，与y轴交于B点（1）求AOB的外接圆的面积；（2）若动点P从点A出发，以每秒2个单位沿射线AC方向运动；同时，点Q从点B出发，以每秒1个单位沿射线BA方向运动，当点P到达点C处时，两点同时停止运动。问当t为何值时，以A、P、Q为顶点的三角形与OAB相似？（3）若M为线段AB上一个动点，过点M作MN平行于y轴交抛物线于点N是否存在这样的点M，使得四边形OMNB恰为平行四边形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由当点M运动到何处时，四边形CBNA的面积最大？求出此时点M的坐标及四边形CBAN面积的最大值4、已知：如图，把矩形OCBA放置于直角坐标系中，OC=3,BC=2,取AB的中点M，连结MC，把MBC沿x轴的负方向平移OC的长度后得到DAO.(1)直接写出点D的坐标；(2)已知点B与点D在经过原点的抛物线上，点P在第一象限内的该抛物线上移动，过点P作PQx轴于点Q，连结OP.若以O、P、Q为顶点的三角形与DAO相似，试求出点P的坐标；试问在抛物线的对称轴上是否存在一点T，使得的值最大.若存在，求出T点坐标；若不存在，请说明理由.6、在平面直角坐标系中，抛物线与轴的两个交点分别为A（-1，0）、B（3，0），过顶点C作CHx轴于点H.（1）直接填写：= ，b= ，顶点C的坐标为 ；（2）在轴上是否存在点D，使得BCD是以BC为斜边的直角三角形？若存在，求出点D的坐标；若不存在，说明理由；（3）若点P为x轴上方的抛物线上一动点（点P与顶点C不重合），PQBC于点Q，当PCQ与BCH相似时，求点P的坐标. 7、在平面直角坐标系中，抛物线的解析式是，点的坐标是，平行四边形的顶点在抛物线上，与轴交于点，已知点在抛物线上，点在轴上. （1）写出点的坐标； （2）当四边形是以为腰的梯形时. 求关于的函数解析式和自变量的取值范围； 当梯形的两底的长度之比为时，求的值.8、在平面直角坐标系中已知O坐标原点点A(30)，B(0，4)以点A为旋转中心，把ABO顺时针旋转，得ACD记旋转转角为ABO为(I) 如图，当旋转后点D恰好落在AB边上时求点D的坐标；() 如图，当旋转后满足BC轴时求与之间的数量关系；() 当旋转后满足AOD=时求直线CD的解析式(直接写出结果即可)， 9、如图，在44的正方形网格中，ABC和DEF的顶点都在边长为1的小正方形的顶点上(1)填空：ABC=_，BC=_；(2)判断ABC与DEF是否相似，并证明你的结论10、如图，已知ABC=90，AB=BC直线l与以BC为直径的圆O相切于点C点F是圆O上异于B、C的动点，直线BF与l相交于点E，过点F作AF的垂线交直线BC与点D（1）如果BE=15，CE=9，求EF的长；（2）证明：CDFBAF；CD=CE；11、如图，已知正方形ABCD中，BE平分且交CD边与点E，将绕点C顺时针旋转到的位置，并延长BE交DF于点G（1）求证:;（2）若EGBG=4，求BE的长。12、如图，的直径为10cm，弦为6cm，的平分线交于，交于求弦的长及的值13、在中，cm ，cm ，动点以1cm/s 的速度从点出发到点止，动点以2cm/s 的速度从点出发到点止，且两点同时运动，当以点、为顶点的三角形与相似时，求运动的时间 .14、如图，中，弦相交于的中点，连接并延长至点，连接BC、（1）求证：；（2）当时，求的值15、如图，在中，点、分别在边、上，且，设， . 求与的函数关系式； 17、如图，四边形是一张放在平面直角坐标系中的矩形纸片，点在轴上，点在轴上，将边折叠，使点落在边的点处已知折叠，且（1）判断与是否相似？请说明理由；（2）求直线与轴交点的坐标；（3）是否存在过点的直线，使直线、直线与轴所围成的三角形和直线、直线与轴所围成的三角形相似？如果存在，请直接写出其解析式并画出相应的直线；如果不存在，请说明理由18、如图，已知O为原点，点A的坐标为（4，3），A的半径为2.过A作直线l平行于x轴，点P在直线l上运动.（1）当点P在O上时，请你直接写出它的坐标；（2）设点P的横坐标为12，试判断直线OP与A的位置关系，并说明理由.19、如图，AB是O的直径，BC是O的切线， D是O上一点，且ADOC（1）求证：ADBOBC（2）若AB=2，BC=，求AD的长（结果保留根号）20、如图1，在等腰直角ABC中，BAC=90，AB=AC=2，点E是BC边上一点，DEF=45且角的两边分别与边AB，射线CA交于点P，Q.（1）如图2，若点E为BC中点，将DEF绕着点E逆时针旋转，DE与边AB交于点P，EF与CA的延长线交于点Q.设BP为x，CQ为y，试求y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；（2）如图3，点E在边BC上沿B到C的方向运动（不与B，C重合），且DE始终经过点A,EF与边AC交于Q点探究：在DEF运动过程中，AEQ能否构成等腰三角形，若能，求出BE的长；若不能，请说明理由21、如图，BD是O的直径， A、C是O上的两点，且AB=AC，AD与BC的延长线交于点E.（1）求证：ABDAEB；（2）若AD=1，DE=3，求BD的长. 22、如图，一次函数y=2x+t的图象与x轴，y轴分别交于点C，D.（1）求点C，点D的坐标；（2）已知点P是二次函数y=x2+3x图象在y轴右侧部分上的一个动点， 若以点C，点D为直角顶点的PCD与OCD相似。求t的值及对应的点P的坐标.23、如图，BD为O的直径，AB=AC，AD交BC于点E，AE=2，ED=4，(1)求证：ABEADB；(2)求AB的长；(3)延长DB到F，使得BF=BO，连接FA，试判断直线FA与O的位置关系，并说明理由 24、如图，在ABC中，DEBC，且AE=3cm，EC=5cm，DE=6cm，则BC等于( )A10cm B16cm C12cm D25、一个钢筋三角架三 长分别为20cm,50cm,60cm,现要再做一个与其相似的钢筋三角架,而只有长为30cm和50cm的两根钢筋,要求以其中的一根为一边,从另一根截下两段(允许有余料)作为另两边,则不同的截法有 ( )A.一种 B.两种 C.三种 D.四种26、如图，梯形ABCD中，ADBC，对角线AC、BD相交于O点，若12，则:( )A B C D 27、如图，P是RtABC的斜边BC上异于B、C的一点，过点P做直线截ABC，使截得的三角形与ABC相似，满足这样条件的直线共有（ ）A、 1条 B、 2条 C、 3条 D、 4条28、如图，ADBC，D900，AD2，BC5，DC8.若在边DC上有点P，使PAD与PBC相似，则这样的点P有（）A1个 B 2个 C3个 D4个29、如图，在ABC中，C=900，D是AC上一点，DEAB于点E，若AC=8，BC=6，DE=3，则AD的长为（ ）A3 B4 C5 D630、如图，BAC与CBE的平分线相交于点P，BE=BC，PB与CE交于点H，PGAD交BC于F，交AB于G，下列结论：GA=GP；BP垂直平分CE；FP=FC；其中正确的判断有A.只有 B.只有 C.只有 D.31、如图，已知ABC中，ABC=45，BD=4，CD=2，H是高AD和BE的交点，则线段AH的长度为A1 B2 C1.5 D2.532、如图，已知D、E分别是的AB、 AC边上的点，且 那么等于（ ）（A） : （B） : （C） : （D） : 33、在ABC中，AB=12，AC=10，BC=9，AD是BC边上的高.将ABC按如图所示的方式折叠，使点A与点D重合，折痕为EF，则DEF的周长为（ ）A9.5 B10.5 C11 D15.534、如图，在正方形网格上有五个三角形，其中与ABC相似(不包括ABC本身)有(A)1个 (B)2个 (C)3个 (D)4个35、如图，在中，点为的中点， ，垂足为点，则等于 (A) (B) (C) (D) 评卷人得分四、填空题（每空？ 分，共？ 分）36、如图，点A1，A2，A3，A4在射线OA上，点B1，B2，B3在射线OB上，且A1B1A2B2A3B3，A2B1A3B2A4B3，若A2B1B2、A3B2B3的面积分别为2和8，则阴影部分的面积和 。37、如图所示，点D、E分别是AB、AC的中点，点F、G分别为BD、CE的中点，若FG =6，则DE+BC=_,BC= .38、已知线段a=3,b=27,则线段a,b的比例中项是 39、如图3，分别为正方形的边，上的点，且，则图中阴影部分的面积与正方形的面积之比为 ；评卷人得分五、实验,探究题（每空？ 分，共？ 分）40、已知直线分别交轴、轴于A，B两点，线段OA上有一动点P由原点O向点A运动，速度为每秒1个单位长度，过点P作轴的垂线交直线AB于点C，设运动时间为秒线段OA上另有一动点Q由点A向点O运动，它与点P以相同速度同时出发，当点P到达点A时两点同时停止运动（如图）（1）直接写出1秒时C，Q两点的坐标；（2）若以Q，C，A为顶点的三角形与AOB相似，求的值参考答案一、综合题1、解：（1）对称轴是，点A（1，0）且点A、B关于x=2对称，点B（3，0）； （2）点A（1，0），B（3，0），AB=2，CP对称轴于P，CPAB，对称轴是x=2，ABCP且AB=CP，四边形ABPC是平行四边形，设点C（0，x）（x0），在RtAOC中，AC= ，BP=，在RtBOC中，BC= ， ，BD= ，BPD=PCB 且PBD=CBP，BPDBCP，BP2=BDBC，即=，点C在y轴的负半轴上，点C（0，），y=ax2-4ax- 3，过点（1，0），a-4a- 3=0，解得：a=解析式是： 2、解：(1)令y=0，得x2-1=0 解得x=1 令x=0，得y=-1 A(-1，0) B(1，0) C(0，-1) (2)OA=OB=OC=1 BAC=ACO=BCO=45 APCB，PAB=45 过点P作PEx轴于E，则APE为等腰直角三角形 令OE=a，则PE=a+1 P(a，a+1) 点P在抛物线y=x2-1上 a+1=a#2-1 解得a1=2，a2=-1(不合题意，舍去) PE=3 四边形ACBP的面积S=ABOC+ABPE=21+23=4(3)假设存在 PAB=BAC=45 PAAC MGx轴于点G，MGA=PAC=90 在RtAOC中，OA=OC=1 AC= 在RtPAE中，AE=PE=3 AP= 设M点的横坐标为m，则M(m，m2-1) 点M在y轴左侧时，则m-1 (i)当AMGPCA时，有 AG=-m-1，MG=m2-1 即 解得m1=-1(舍去) m2=(舍去) (ii)当MAGPCA时有 即 解得：m=-1(舍去) m2=-2M(-2，3) 点M在y轴右侧时，则m1 (i)当AMGPCA时有 AG=m+1，MG=m2-1 解得m1=-1(舍去) m2= (ii)当MAGPCA时有 即 解得：m1=-1(舍去) m2=4 M(4，15) 存在点M，使以A、M、G三点为顶点的三角形与PCA相似 M点的坐标为(-2，3)，(，)， (4，15)3、（1）由题意得：A（9，0），B（0，12） OA9，OB12，AB15 S()2 （2）AP2t，AQ15t，易求AC=12，0t6 若APQAOB，则t 若AQPAOB，则t6（舍去，不舍扣1分） 当t时，以A、P、Q为顶点的三角形与OAB相似（3）直线AB的函数关系式为yx12 设点M的横坐标为x，则M（x，x12），N（x，x2x12） 若四边形OMNB为平行四边形，则MNOB12(x12)(x2x12)12即x29x2700，此方程无实数根，不存在这样的点M，使得四边形OMNB恰为平行四边形 S四边形CBNA= SACB+ SABN=72+ SABNSAOB54，SOBN6x ，SOAN92x212x54SABNSOBNSOANSAOB6x(2x212x54)542x218x2(x)2当x时，SABN 最大值 此时M（，6） S四边形CBNA最大= 4、解：(1)依题意得：(2) ，.抛物线经过原点，设抛物线的解析式为又抛物线经过点与点 解得：抛物线的解析式为.点在抛物线上，设点.1)若，则， 解得：(舍去)或，点.2)若，则， ，解得：(舍去)或，点存在点，使得的值最大.抛物线的对称轴为直线，设抛物线与轴的另一个交点为，则点.点、点关于直线对称，要使得的值最大，即是使得的值最大，根据三角形两边之差小于第三边可知，当、三点在同一直线上时，的值最大.设过、两点的直线解析式为， 解得：直线的解析式为当时，.存在一点使得最大.5、解：（1）根据题意，得CO=AB=BCtanACB=4，A（0，3），C（4，0）.设直线AC的解析式为：y=kx+3，代入C点坐标，得：4k+3=0，k=.直线AC：y=x+3. （2）分别作DFAO，DHCO，垂足分别为F，H，则有ADFDCHACO.AD：DC：AC=AF：DH：AO=FD：HC：OC，而AD=3t（其中0t），OC=AB=4，AC=5，FD=，AF=，DH=，HC=.D（，）.CE= t, OE=OC-CE=4- t. E（4-t，0）. （3）当DODE时，DOH=EDH .tanDOH=tanEDH， 即DH=，OH=FD=，EH=CHCE=，（）2=（） .即：19t234t+15=0 .t1=1， t2= .当t=1时， D（）， E（3，0）.设抛物线解析式为y=ax2+bx， 代入D、E坐标 解得 a=，b= .y= . 当t=时，同理可得 y= .以上、解出一种即可.6、解：（1）a=-1,b=2，顶点C的坐标为（1，4）（2）假设在y轴上存在满足条件的点D, 过点C作CEy轴于点E.由CDB=90得CED DOB，CE:DE=OD:OB.设D（0，c），则.7、解：（1）OABC是平行四边形，ABOC，且AB = OC = 4.A，B在抛物线上，y轴是抛物线的对称轴， A，B的横坐标分别是2和 2.代入y =+1得， A(2, 2 )，B( 2，2)，M (0，2). 2分（2） 过点Q作QH x轴，设垂足为H，则HQ = y ，HP = xt ，由HQPOMC，得：, 即：t = x 2y. Q(x,y) 在y = +1上， t = + x 2. 当点P与点C重合时，梯形不存在，此时，t = 4，解得x = 1；当Q与B或A重合时，四边形CMQP为平行四边形，此时，x = 2.x的取值范围是x 1, 且x 2的所有实数. 6分 分两种情况讨论：1）当CM PQ时，则点P在线段OC上， CMPQ，CM = 2PQ ，点M纵坐标为点Q纵坐标的2倍，即2 = 2(+1)，解得x = 0 .t =+ 0 2 = 2 . 7分 2）当CM PQ时，则点P在OC的延长线上， CMPQ，CM = PQ，点Q纵坐标为点M纵坐标的2倍，即+1=22，解得：x = . 当x = 时，得t =2 = 8 ； 8分当x =时， 得t =8. 9分8、(I)点A(3，0)B(0，4)得0A=3，OB=4 在RtABO中由勾股定理得AB=5， 根据题意，有DA=OA=3如图过点D作DMx轴于点M，则MDOBADMABO。有，得 又OM=OA-AM，得OM=点D的坐标为（）() 如图由己知，得CAB=，AC=AB，ABC=ACB在ABC中，由ABC+ACB+CAB=180，得=1802ABC，又BCx轴，得OBC=90，有ABC=90ABO=90=2（） 直线CD的解析式为，或二、简答题9、(1)ABC=135，BC=； (2)能判断ABC与DEF相似(或ABCDEF) 可求ABC=DEF=135， 又AB=2，BC=，DE=，EF=2， ， ABCDEF10、解：（1）直线l与以BC为直径的圆O相切于点C，BCE=90，又BC为直径，BFC=CFE=90。CFE=BCE。FEC=CEB，CEFBEC。BE=15，CE=9，即：，解得：EF=。（2）证明：FCD+FBC=90，ABF+FBC=90，ABF=FCD。同理：AFB=CFD。CDFBAF。CDFBAF，。又CEFBCF，。又AB=BC，CE=CD。11、（1）略 （2）BE=412、解：连结是直径，在中，（cm）平分，在中，（cm）方法一过作于在中，在中 ，（cm） ， 方法二过作于，于，是垂足，则四边形是正方形设，由三角形的面积公式，得，即，解得 由，得，即，解得， （cm） 13、解：当动点、同时运动时间为时， 则有， ，. (1)当时， 有 ，即， （2）当 时 有 ，即 当点、同时运动和时，以点、为顶点的三角形与相 似 14、（1）证明：是的中位线， 又 （2）解：由（1）知， 又 15、解: - 16、解：联结AC AD=BD ACD=ABD=BADADP=ADCADCPDA 设PD=x，AD=4，PC6则有：16=x(x+6) 解得x=2或x= -8（舍去-8）-4分CD=2+6=8 CD的长为8 17、（1）与相似理由如下：由折叠知，又，（2），设，则由勾股定理得由（1），得，在中，解得，点的坐标为，点的坐标为，设直线的解析式为，解得，则点的坐标为（3）满足条件的直线有2条：，如图2：准确画出两条直线18、（1）由于A的坐标为（4，3），A的半径为2，所以依题意易求得点P的坐标是（2，3）或（6，3）；（2）如图，作ACOP，C为垂足.因为ACPOBP90，11，即ACPOBP，所以.在RtOB中，OP，又AP1248，所以，即AC241.94.因为1.942，OP与A相交.19、1）ADB=ABC=90DAB=C0B （2）AD=20、解：（1） BAC=90，AB=AC=2， B=C，又, DEB=EQC. BPECEQ 设BP为x，CQ为y， 自变量