北师大版选修41 1.3 圆与四边形 课件（24张）.ppt

3圆与四边形 基础梳理1 圆内接四边形的性质定理圆内接四边形的对角 推论 圆内接四边形的外角等于它的内角的 2 圆内接四边形的判定定理 1 定理 如果一个四边形的对角 那么这个四边形的四个顶点共圆 互补 对角 互补 2 符号语言表述 在四边形abcd中 如果 b d 或 a c 180 那么四边形abcd内接于圆 3 判定定理的推论如果四边形的一个外角等于它的内角的 那么这个四边形的四个顶点共圆 180 对角 预习测评1 如图 o为圆心 pab是一条直线 x y a 2zb 90 zc 180 zd 180 2z答案 c 要点阐释1 判定四点共圆的方法 1 如果四个点与一定点距离相等 那么这四个点共圆 2 如果一个四边形的对角互补 那么这个四边形的四个顶点共圆 3 如果一个四边形的一个外角等于它的内角的对角 那么这个四边形的四个顶点共圆 4 如果两个直角三角形有公共的斜边 那么这两个三角形的四个顶点共圆 因为四个顶点与斜边中点距离相等 2 圆内接四边形判定定理的推论的证明已知 如图 四边形abcd 延长ab到e ebc cda 求证 a b c d四点共圆 证明 因为 ebc cda 且 ebc abc 180 所以 cda abc 180 由圆内接四边形的判定定理知a b c d四点共圆 3 圆内接四边形判定定理的证明 推导出与圆内接四边形性质定理相矛盾的结果 体现了反证法证明几何命题的基本思路 反证法是证明问题的有效方法 那么与正面证明相比较 反证法有什么特点 它证明问题的步骤是怎样的 它有什么优点 反证法是一种间接证法 它是先提出一个与命题的结论相反的假设 然后从这个假设出发 经过正确的推理 导出矛盾 从而否定相反的假设 达到肯定原命题正确的一种方法 反设是反证法的基础 为了正确地作出反设 掌握一些常用的互为否定的表达形式是有必要的 例如 是 不是 存在 不存在 平行于 不平行于 垂直于 不垂直于 等于 不等于 大 小 于 不大 小 于 都是 不都是 至少有一个 一个也没有 至少有n个 至多有 n 1 个 至多有一个 至少有两个 唯一 至少有两个 归谬是反证法的关键 导出矛盾的过程没有固定的模式 但必须从反设出发 否则推导将成为无源之水 无本之木 推理必须严谨 导出的矛盾有如下几种类型 与已知条件矛盾 与已知的公理 定义 定理 公式矛盾 与反设矛盾 自相矛盾 反证法可以分为归谬反证法 结论的反面只有一种 与穷举反证法 结论的反面不止一种 用反证法证明一个命题的步骤 大体上分为 1 反设 2 归谬 3 结论 对于一些从正面难以说明的问题 反证法往往有着出奇制胜的作用 典例剖析类型一证明四点共圆 例1 如果四边形一边上的两个顶点的视角相等 那么四边形的四个顶点共圆 已知 如图 四边形abcd中 1 2 求证 a b c d四点共圆 证明 由a b c d三点可以确定一个圆 设该圆为 o 1 如果点c在 o的外部 如下图 连接bc 与圆相交于点e 1 aeb 1 2 2 aeb 而 aeb 2 矛盾 故点c不可能在圆外 2 如果点c在 o的内部 如图 延长bc与圆相交于点e 连接ae 则 1 aeb 而 1 2 2 aeb 与 2 aeb矛盾 点c不可能在圆内 点c只能在圆上 点评 反证法就是假设结论不成立 然后经过推理论证找出矛盾的一种过程 本题同时又体现了分类讨论的数学思想 1 在锐角三角形abc中 ad是bc边上的高 de ab df ac e f是垂足 求证 e b c f四点共圆 证明 如图 连接ef de ab df ac a e d f四点共圆 1 2 1 c 2 c 90 bef c 180 b e f c四点共圆 类型二利用圆内接四边形和相似三角形证明线段相等或角相等 例2 如图 两圆 o1 o2相交于a b o1的弦bc交 o2于e点 o2的弦bd交 o1于f点 证明 1 若 dba cba 则df ce 2 若df ce 则 dba cba 证明 1 连接ae af ac ad 则 3 4 5 6 又 1 2 ad ae ace afd 故ce df 2 由 1 知 3 4 5 6 又 df ce ace afd ad ae 1 2 点评 构造全等或相似三角形 以达到证明线段相等 角相等或线段成比例等目的 2 如图 两圆相交于a b 过a作两直线分别交两圆于c d和e f 若 eab dab 求证 cd ef 证明 如图 连接ec be bd bc bf 因为四边形abec为圆内接四边形 所以 2 ceb 又因为 1 ecb 且 1 2 而 2 ceb 所以 ceb ecb 所以bc be 在 cbd与 ebf中 c e d f bc be 所以 cbd ebf 所以cd ef 点评 本例中辅助线de的添作构成了两个三角形的相似 从而证明线段的等积式成立