武汉大学计算方法考题2份.doc

自测题一（时间120分钟）1、 已知方程 有一个正根及一个负根，（1） 估计出含根的区间；（2） 分别讨论用迭代格式 求这两个根时的收敛性；（3） 如果上述迭代不收敛，请写出一个你认为收敛的迭代格式。2、 用杜利特尔（Doolittle）分解算法求解方程 ，并利用的分解式求行列式.其中 3、 设常数，方程组 （1） 分别写出Jacobi迭代格式及 Gauss-Seidel迭代格式；（2） 试求的取值范围，使得Jacobi迭代格式是收敛的。4、 设 （系数是未知常数，且）。已知的一组值：xi1 2 3yi 1 -1 2 （1）求二次拉格朗日插值多项式及余项。 （2）问能否计算出 的准确数值？并说明理由。如果能够，请计算出结果。5、已知数据 xi 1 2 3 4 yi 2 1 0 1 求形如 的拟合曲线。6、 给定的一组值 xi1.01.21.41.61.82.02.22.42.6f(xi)120-1-3-1132分别用复化梯形公式和复化辛卜生公式计算 7、用改进的欧拉法（也称预估-校正法）求解方程（取步长）： （取4位有效数字计算）8、设在上二阶导数连续。将 2n等分，分点为，步长（1）证明求积公式的截断误差为，（2）利用（1）中的求积公式及误差结论，导出求积分的复化求积公式及其误差。自测题二（120分钟）一、填空1、 为计算积分 ,设计了算法：，设的绝对误差为，则的绝对误差为 ，该算法是否数值稳定？ 。 2、设，则差商 ， 3、设，求= ，= 4、求方程根的牛顿迭代格式为： ，取初值 时迭代一定是收敛的。二、已知 的一组值：xi0 1 4yi 0 1 2 求拉格朗日插值多项式及牛顿插值多项式，并写出拉格朗日插值余项。三、已知的一组值 xi2.02.22.42.62.83.03.2f(xi)1.441.271.141.050.970.910.86分别用复化梯形公式和复化辛卜生公式计算 四、确定常数，使求积公式的代数精度尽可能高，并问是否是Gauss型公式。五、用杜利特尔（Doolittle）分解算法求解方程 ，其中 六、设方程组 ，其中， 分别写出Jacob及Gauss-Seidel迭代格式，并证明这两种迭代格式同时收敛或同时发散。七、已知数据 i0 1 2xi0 1 3yi1 2 3设，求常数a ，b , 使得 八、用改进的欧拉法（也称预估-校正法）求解方程（取步长）： （取5位有效数字计算）九、设是方程的根，充分光滑可导,， 。试确定待定函数，使迭代格式 求方程的根时至少3阶局部收敛。自测题一答案1、含根区间：-2，-1， 1，2； 求负根时，因为，所以迭代收敛。求正根时迭代不收敛；求正根时，用迭代格式：或用牛顿法收敛： 2、分解为 ， 行列式.3、Jacobi迭代格式略；G-S迭代格式如下：Jacobi迭代矩阵为 ， 3个特征值分别为0，谱半径=1, 所以当时，Jacobi迭代收敛。4、二次插值及余项： 虽然不能完全确定，但是3次多项式，而辛卜生求积公式代数精度为3次，故用辛卜生求积公式可求出积分的准确数值：5、， 法方程为： ， a=32/89=0.36, b=-32/896、复化梯形T=0.5 复化辛卜生S=0.7333=11/157、 ， ， ， ， ， 8、（1）用泰勒公式得 所以，截断误差为，（2）复化公式为复化截断误差自测题二答案一、（1），不稳定； （2）5， 2； （3）12， 56； （4） ，.二、， ，三、n=6等分，h=0.2 T= S=四、 ， 3次代数精度；不是高斯型公式。五、 六、Jacob迭代： G-S迭代： 迭代矩阵