2007年数学二考研试题和答案.doc

2007年研究生入学考试数学二试题一、选择题：110小题，每小题4分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内.（1）当时，与等价的无穷小量是 （A） （B） （C） （D） （2）函数在上的第一类间断点是 （ ） （A）0 （B）1 （C） （D）（3）如图，连续函数在区间上的图形分别是直径为1的上、下半圆周，在区间的图形分别是直径为2的下、上半圆周，设，则下列结论正确的是： （A） (B) （C） （D） （4）设函数在处连续，下列命题错误的是： （A）若存在，则 （B）若存在，则 . （B）若存在，则 （D）若存在，则. （5）曲线的渐近线的条数为（A）0. （B）1. （C）2. （D）3. （6）设函数在上具有二阶导数，且，令，则下列结论正确的是： (A) 若 ，则必收敛. (B) 若 ，则必发散 (C) 若 ，则必收敛. (D) 若 ，则必发散. （7）二元函数在点处可微的一个充要条件是（A）.（B）.（C）.（D）.（8）设函数连续，则二次积分等于（A） （B）（C） （D）（9）设向量组线性无关，则下列向量组线性相关的是线性相关，则(A) (B) (C) .(D) . （10）设矩阵，则与 (A) 合同且相似 （B）合同，但不相似. (C) 不合同，但相似. (D) 既不合同也不相似 二、填空题：1116小题，每小题4分，共24分. 把答案填在题中横线上.（11） _.（12）曲线上对应于的点处的法线斜率为_.（13）设函数，则_.（14） 二阶常系数非齐次微分方程的通解为_.（15） 设是二元可微函数，则 _.（16）设矩阵，则的秩为 . 三、解答题：1724小题，共86分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.（17） (本题满分10分)设是区间上单调、可导的函数，且满足，其中是的反函数，求.（18）（本题满分11分） 设是位于曲线下方、轴上方的无界区域. （）求区域绕轴旋转一周所成旋转体的体积； （）当为何值时，最小？并求此最小值.（19）（本题满分10分）求微分方程满足初始条件的特解（20）（本题满分11分）已知函数具有二阶导数，且，函数由方程所确定，设，求.（21） (本题满分11分)设函数在上连续，在内具有二阶导数且存在相等的最大值，证明：存在，使得.（22） (本题满分11分) 设二元函数，计算二重积分，其中.（23） (本题满分11分) 设线性方程组与方程有公共解，求的值及所有公共解.1.【分析】本题为等价无穷小的判定，利用定义或等价无穷小代换即可.【详解】当时， 故用排除法可得正确选项为（B）. 事实上， 或.所以应选（B）【评注】本题为关于无穷小量比较的基本题型，利用等价无穷小代换可简化计算. 类似例题见数学复习指南（理工类）第一篇【例1.54】 【例1.55】.2【分析】因为函数为初等函数，则先找出函数的无定义点，再根据左右极限判断间断点的类型.【详解】函数在均无意义， 而； ； . 所以为函数的第一类间断点，故应选（A）.【评注】本题为基础题型. 对初等函数来讲，无定义点即为间断点，然后再根据左右极限判断间断点的类型；对分段函数来讲，每一分段支中的无定义点为间断点，而分段点也可能为间断点，然后求左右极限进行判断. 类似例题见文登强化班笔记高等数学第1讲【例4】和【例5】，数学复习指南（理工类）第一篇【例1.491.51】3【分析】本题实质上是求分段函数的定积分.【详解】利用定积分的几何意义，可得 ， . 所以 ，故选（C）.【评注】本题属基本题型. 本题利用定积分的几何意义比较简便. 类似例题见文登强化班笔记高等数学第5讲【例17】和【例18】，数学复习指南（理工类）第一篇【例3.39】【例3.40】.4【分析】本题考查可导的极限定义及连续与可导的关系. 由于题设条件含有抽象函数，本题最简便的方法是用赋值法求解，即取符合题设条件的特殊函数去进行判断，然后选择正确选项.【详解】取，则，但在不可导，故选（D）. 事实上， 在(A),(B)两项中，因为分母的极限为0，所以分子的极限也必须为0，则可推得.在（C）中，存在，则，所以(C)项正确，故选(D)【评注】对于题设条件含抽象函数或备选项为抽象函数形式结果以及数值型结果的选择题，用赋值法求解往往能收到奇效. 完全类似例题见文登强化班笔记高等数学第2讲【例2】，文登07考研模拟试题数学二第一套（2）.5【分析】利用曲线的渐近线的求解公式求出水平渐近线，垂直渐近线和斜渐近线，然后判断.【详解】， 所以 是曲线的水平渐近线； ，所以是曲线的垂直渐近线； ， ，所以是曲线的斜渐近线. 故选（D）.【评注】本题为基本题型，应熟练掌握曲线的水平渐近线，垂直渐近线和斜渐近线的求法.注意当曲线存在水平渐近线时，斜渐近线不存在. 本题要注意当时的极限不同. 类似例题见文登强化班笔记高等数学第6讲第4节【例12】，数学复习指南（理工类）第一篇【例6.30】，【例6.31】.6【分析】本题依据函数的性质，判断数列. 由于含有抽象函数，利用赋值法举反例更易得出结果.【详解】选（D）. 取，而发散，则可排除（A）；取，而收敛，则可排除（B）；取，而发散，则可排除（C）； 故选（D）.事实上，若，则. 对任意，因为，所以， 对任意，. 故选（D）.【评注】对于含有抽象函数的问题，通过举符合题设条件的函数的反例可简化计算. 类似例题见文登强化班笔记高等数学第1讲【例24】，数学复习指南（理工类）第一篇【例1.22】.7.【分析】本题考查二元函数可微的充分条件. 利用可微的判定条件及可微与连续，偏导的关系.【详解】本题也可用排除法，（A）是函数在连续的定义；（B）是函数在处偏导数存在的条件；（D）说明一阶偏导数存在，但不能推导出两个一阶偏导函数在点(0,0) 处连续，所以（A）（B）（D）均不能保证在点处可微. 故应选（C）. 事实上， 由可得 ，即同理有从而 = .根据可微的判定条件可知函数在点处可微，故应选(C). 【评注】二元函数连续或偏导数存在均不能推出可微，只有当一阶偏导数连续时，才可微. 类似例题见文登强化班笔记高等数学第9讲【例3例5】，数学复习指南（理工类）第一篇【例8.11】.8,【分析】本题更换二次积分的积分次序，先根据二次积分确定积分区域，然后写出新的二次积分.【详解】由题设可知，则， 故应选（B）.【评注】本题为基础题型. 画图更易看出. 类似例题见文登强化班笔记高等数学第10讲【例5】，数学复习指南（理工类）第一篇【例10.6】，【例10.7】.9.【分析】本题考查由线性无关的向量组构造的另一向量组的线性相关性. 一般令，若，则线性相关；若，则线性无关. 但考虑到本题备选项的特征，可通过简单的线性运算得到正确选项.【详解】由可知应选（A）.或者因为，而， 所以线性相关，故选（A）.【评注】本题也可用赋值法求解，如取，以此求出（A），（B），（C），（D）中的向量并分别组成一个矩阵，然后利用矩阵的秩或行列式是否为零可立即得到正确选项. 完全类似例题见文登强化班笔记线性代数第3讲【例3】，数学复习指南（理工类）第二篇【例3.3】.10.【分析】本题考查矩阵的合同关系与相似关系及其之间的联系，只要求得的特征值，并考虑到实对称矩阵必可经正交变换使之相似于对角阵，便可得到答案. 【详解】 由可得， 所以的特征值为3,3,0；而的特征值为1,1,0. 所以与不相似，但是与的秩均为2，且正惯性指数都为2，所以与合同，故选（B）.【评注】若矩阵与相似，则与具有相同的行列式，相同的秩和相同的特征值. 所以通过计算与的特征值可立即排除（A）（C）. 完全类似例题见数学复习指南（理工类）第二篇【例5.17】.11【分析】本题为未定式极限的求解，利用洛必达法则即可.【详解】.【评注】本题利用了洛必达法则. 本题还可用泰勒级数展开计算. 因为 ， 所以 . 完全类似例题见文登强化班笔记高等数学第1讲【例17】，数学复习指南（理工类）第一篇【例1.31】.12.【分析】本题考查参数方程的导数及导数的几何意义.【详解】因为，所以曲线在对应于的点的切线斜率为，故曲线在对应于的点的法线斜率为.【评注】本题为基础题型. 类似例题见文登强化班笔记高等数学第2讲【例15】和【例16】，数学复习指南（理工类）第一篇【例2.8】.13.【分析】本题求函数的高阶导数，利用递推法或函数的麦克老林展开式.【详解】，则，故.【评注】本题为基础题型. 完全类似例题见文登强化班笔记高等数学第2讲【例21】，数学复习指南（理工类）第一篇【2.26】，【例2.27】.14.【分析】本题求解二阶常系数非齐次微分方程的通解，利用二阶常系数非齐次微分方程解的结构求解，即先求出对应齐次方程的通解，然后求出非齐次微分方程的一个特解，则其通解为 .【详解】对应齐次方程的特征方程为 ， 则对应齐次方程的通解为 . 设原方程的特解为 ，代入原方程可得 ， 所以原方程的特解为， 故原方程的通解为 ，其中为任意常数.【评注】本题为基础题型. 完全类似例题见文登强化班笔记高等数学第7讲【例11】，数学复习指南（理工类）第一篇【例5.13】.15【分析】本题为二元复合函数求偏导，直接利用公式即可.【详解】利用求导公式可得， 所以.【评注】二元复合函数求偏导时，最好设出中间变量，注意计算的正确性. 完全类似例题见文登强化班笔记高等数学第9讲【例8】, 【例9】，数学复习指南（理工类）第一篇【例8.16】,【例8.17】,【例8.18】.16【分析】先将求出，然后利用定义判断其秩.【详解】.【评注】本题考查矩阵的运算和秩，为基础题型. 矩阵相关运算公式见数学复习指南（理工类）第二篇第二章第1节中的知识点精讲.17【分析】对含变上限积分的函数方程，一般先对x求导，再积分即可.【详解】 两边对求导得 ，（）两边积分得. （1）将代入题中方程可得 .因为是区间上单调、可导的函数，则的值域为，单调非负，所以. 代入（1）式可得，故.【评注】利用变限积分的可导性是解函数方程的方法之一.完全类似例题见文登强化班笔记高等数学第8讲【例6】，数学复习指南（理工类）第一篇【例12.8例12.10】. 18.【分析】V(a)的可通过广义积分进行计算，再按一般方法求V(a) 的最值即可【详解】（）.（）令，得. 当时，单调增加； 当时，单调减少. 所以在取得极大值，即为最大值，且最大值为.【评注】本题为定积分几何应用的典型问题，需记忆相关公式，如平面图形的面积，绕坐标轴的旋转体的体积公式等.类似例题见文登强化班笔记高等数学第6讲【例3例5】，数学复习指南（理工类）第一篇【例6.35】，【例6.37】.19.【分析】本题为不含的可降阶方程，令，然后求解方程.【详解】本题不含，则设，于是，原方程变为 ， 则 ，解之得，将代入左式得 ， 于是 ，结合得， 故 .【评注】本题为基础题型. 完全类似例题见文登强化班笔记高等数学第7讲【例8】，数学复习指南（理工类）第一篇【例5.12】.20.【分析】本题实质上是二元复合函数的求导，注意需用隐函数求导法确定.【详解】令，则. 两边对求导得 ，又，可得 在两边对求导得 . 所以 . . 【评注】也可利用两边对求导得 可得. 完全类似例题见文登强化班笔记高等数学第9讲【例9】和【例13】，数学复习指南（理工类）第一篇【例8.25】.21【分析】由所证结论可联想到构造辅助函数，然后根据题设条件利用罗尔定理证明.【详解】令，则在上连续，在内具有二阶导数且.（1）若在内同一点取得最大值，则， 于是由罗尔定理可得，存在，使得. 再利用罗尔定理，可得 存在，使得，即.（2）若在内不同点取得最大值，则，于是 ， 于是由零值定理可得，存在，使得 于是由罗尔定理可得，存在，使得. 再利用罗尔定理，可得 ，存在，使得，即.【评注】对命题为的证明，一般利用以下两种方法：方法一：验证为的最值或极值点，利用极值存在的必要条件或费尔马定理可得证； 方法二：验证在包含于其内的区间上满足罗尔定理条件. 类似例题见文登强化班笔记高等数学第4讲【例7】，数学复习指南（理工类）第一篇【例4.8】，【例4.9】.22.【分析】由于积分区域关于轴均对称，所以利用二重积分的对称性结论简化所求积分.【详解】因为被积函数关于均为偶函数，且积分区域关于轴均对称，所以 ，其中为在第一象限内的部分. 而 . 所以 .【评注】被积函数包含时, 可考虑用极坐标，解答如下：. 类似例题见文登强化班笔记高等数学第10讲【例1】，数学复习指南（理工类）第一篇【例10.1例10.5】.23【分析】将方程组和方程合并，然后利用非齐次线性方程有解的判定条件求得.【详解】将方程组和方程合并，后可得线性方程组其系数矩阵.显然，当时无公共解.当时，可求得公共解为 ,为任意常数；当时，可求得公共解为 .【评注】本题为基础题型，考查非齐次线性方程组解的判定和结构. 完全类似例题见文登强化班笔记线性代数第4讲【例8】，数学复习指南（理工类）第二篇【例4.12】，【例4.15】.（24） (本题满分11分)设三阶对称矩阵的特征向量值，是的属于的一个特征向量，记，其中为3阶单位矩阵. （I）验证是矩阵的特征向量，并求的全部特征值与特征向量；（II）求矩阵. 【分析】本题考查实对称矩阵特征值和特征向量的概念和性质. 【详解】（I）， 则是矩阵的属于2的特征向量. 同理可得 ，. 所以的全部特征值为2，1，1 设的属于