中考数学压轴题训练解答.doc

平行四边形存在问题1.（2010.遵义）如图，已知抛物线y=x2+bx+c (a0)的顶点坐标为Q（2，1），且与轴交于点C（0，3），与轴交于A、B两点（点A在点B的右侧），点P是该抛物线上一动点，从点C沿抛物线向点A运动（点P与A不重合），过点P作PD轴，交AC于点D(1)求该抛物线的函数关系式；(2)当ADP是直角三角形时，求点P的坐标；(3)在问题(2)的结论下，若点E在轴上，点F在抛物线上，问是否存在以A、P、E、F为顶点的平行四边形？若存在，求点F的坐标；若不存在，请说明理由解：（1）抛物线的顶点为Q（2，-1）设y=a(x2)21将C（0，3）代入上式，得3=a(02)21 a=1y=(x2)21， 即y=x24x+3（2）分两种情况：当点P1为直角顶点时,点P1与点B重合(如图) 令y=0, 得x24x+3=0解之得x1=1,x2=3点A在点B的右边, B(1,0), A(3,0)P1(1,0)当点A为APD2的直角顶点是(如图)OA=OC, AOC=90, OAD2=45当D2AP2=90时, OAP2=45, AO平分D2AP2又P2D2y轴, P2D2AO, P2、D2关于x轴对称.设直线AC的函数关系式为y=kx+b将A(3,0), C(0,3)代入上式得, y=x+3D2在y=x+3上, P2在y=x24x+3上,设D2(x,x+3), P2(x,x24x+3)(x+3)+(x24x+3)=0 x25x+6=0, x1=2,x2=3(舍)当x=2时, y=x24x+3=2242+3=1P2的坐标为P2(2,-1)(即为抛物线顶点)P点坐标为P1(1,0), P2(2,-1) (3) 由题(2)知,当点P的坐标为P1(1,0)时,不能构成平行四边形当点P的坐标为P2(2,-1)(即顶点Q)时,平移直线AP(如图)交x轴于点E,交抛物线于点F.当AP=FE时,四边形PAFE是平行四边形P(2,-1), 可令F(x,1)x24x+3=1解之得: x1=2, x2=2+.F点有两点,即F1(2,1), F2(2+,1) 2（2010河南）在平面直角坐标系中，已知抛物线经过A，B，C三点（1）求抛物线的解析式；（2）若点M为第三象限内抛物线上一动点，点M的横坐标为m，AMB的面积为S求S关于m的函数关系式，并求出S的最大值（3）若点P是抛物线上的动点，点Q是直线上的动点，判断有几个位置能够使得点P、Q、B、O为顶点的四边形为平行四边形，直接写出相应的点Q的坐标解：（1）设抛物线的解析式为，则有 解得 抛物线的解析式为（2）过点M作MD轴于点D，设M点的坐标为 则 （-40） （3）满足题意的Q点的坐标有四个，分别是：（-4，4），（4，-4）， 3.（2007年浙江省）如图，抛物线与x轴交A、B两点（A点在B点左侧），直线与抛物线交于A、C两点，其中C点的横坐标为2。（1）求A、B 两点的坐标及直线AC的函数表达式；（2）P是线段AC上的一个动点，过P点作y轴的平行线交抛物线于E点，求线段PE长度的最大值；（3）点G抛物线上的动点，在x轴上是否存在点F，使A、C、F、G这样的四个点为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，求出所有满足条件的F点坐标；如果不存在，请说明理由。解：（1）令y=0，解得或A（1，0）B（3，0）；将C点的横坐标x=2代入得y=3，C（2，3）直线AC的函数解析式是y=x1（2）设P点的横坐标为x（1x2）（注：x的范围不写不扣分）则P、E的坐标分别为：P（x，x1），E（P点在E点的上方，PE=（2分）当时，PE的最大值=（3）存在4个这样的点F，分别是4.（09福建莆田）已知，如图抛物线与y轴交于C点，与x轴交于A、B两点，A点在B点左侧。点B的坐标为(1，0),OC=30B(1)、抛物线的解析式；(2)、点D是线段AC下方抛物线上的动点，求四边形ABCD面积的最大值：(3)、点E在x轴上，点P在抛物线上。是否存在以A、C、E、P为顶点且以AC为一边的平行四边形?若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由解：（1）对称轴又OC=3OB=3，C（0，3）方法一：把B(1,0)、C(0，3)代入得： 解得：方法二：B（1，0），A(-4，0)可令 把C(0，-3)代入得：（2）方法一：过点D作DMy轴分别交线段AC和x轴于点M、N。 A(-4，0)，C(0，-3)设直线AC的解析式为代入求得：令， 当时，DM有最大值3此时四边形ABCD面积有最大值。方法二：过点D作DQy轴于Q，过点C作x轴交抛物线于，从图象中可判断当嗲D在下方的抛物线上运动时，四边形ABCD才有最大值。则= 令 则当时，四边形ABCD面积有最大值。（3）如图所示，讨论：过点C作x轴交抛物线于点，过点作AC交x轴于点，此时四边形为平行四边形，C(0，-3)令得：。平移直线AC交x轴于点E，交x轴上方的抛物线于点P，当AC=PE时，四边形ACEP为平行四边形，C(0，-3)可令，由得：解得或，此时存在点和 综上所述存在3个点符合题意，坐标分别是，5(2008广东深圳)如图9，在平面直角坐标系中，二次函数的图象的顶点为D点，与y轴交于C点，与x轴交于A、B两点， A点在原点的左侧，B点的坐标为（3，0），OBOC ，tanACO（1）求这个二次函数的表达式（2）经过C、D两点的直线，与x轴交于点E，在该抛物线上是否存在这样的点F，使以点A、C、E、F为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出点F的坐标；若不存在，请说明理由（3）如图10，若点G（2，y）是该抛物线上一点，点P是直线AG下方的抛物线上一动点，当点P运动到什么位置时，APG的面积最大？求出此时P点的坐标和APG的最大面积. 解：（1）方法一：由已知得：C（0，3），A（1，0） 将A、B、C三点的坐标代入得解得： 所以这个二次函数的表达式为： 方法二：由已知得：C（0，3），A（1，0） 设该表达式为： 将C点的坐标代入得： 所以这个二次函数的表达式为： （2）方法一：存在，F点的坐标为（2，3） 理由：易得D（1，4），所以直线CD的解析式为：E点的坐标为（3，0）由A、C、E、F四点的坐标得：AECF2，AECF以A、C、E、F为顶点的四边形为平行四边形存在点F，坐标为（2，3） 方法二：易得D（1，4），所以直线CD的解析式为：E点的坐标为（3，0） 以A、C、E、F为顶点的四边形为平行四边形F点的坐标为（2，3）或（2，3）或（4，3） 代入抛物线的表达式检验，只有（2，3）符合存在点F，坐标为（2，3） （3）过点P作y轴的平行线与AG交于点Q，易得G（2，3），直线AG为 设P（x，），则Q（x，x1），PQ 当时，APG的面积最大此时P点的坐标为， 6.（2010陕西）如图，在平面直角坐标系中，抛物线A（-1,0），B（3,0）C（0，-1）三点。（1）求该抛物线的表达式；（2）点Q在y轴上，点P在抛物线上，要使Q、P、A、B为顶点的四边形是平行四边形求所有满足条件点P的坐标.【分析】（1）已知三个点求抛物线的解析式可以设为一般式求解。（2）分两种情况解决AB为边，则利用PQAB且PQAB，从而可知P的横坐标是4或者-4，然后代人二次函数解析式，求出点P坐标；如果AB为对角线，只要线段PQ与线段AB互相平分即可又知点Q在Y轴上，且线段AB中点的横坐标为1点P的横坐标为2，这时符合条件的P只有一个记为P3，将x2代人二次函数解析式即可求出.解：（1）设该抛物线的表达式为y=ax+bx+c根据题意，得a+b+c=0 a=9a+3b+c=0 解之，得 b=c=-1 c=-1 所求抛物线的表达式为y=x-x-1 （2）AB为边时，只要PQAB且PQ=AB=4即可。 又知点Q在y轴上，点P的横坐标为4或-4，这时符合条件的点P有两个，分别记为P1,P2 .而当x=4时，y=；当x=-4时，y=7，此时P1（4，）P2（-4,7）当AB为对角线时，只要线段PQ与线段AB互相平分即可又知点Q在Y轴上，且线段AB中点的横坐标为1点P的横坐标为2，这时符合条件的P只有一个记为P3而且当x=2时y=-1 ，此时P3（2，-1）综上，满足条件的P为P1（4，）P2（-4,7）P3（2，-1）等腰三角形、直角三角形、梯形存在问题1.（2010重庆潼南）如图， 已知抛物线与y轴相交于C，与x轴相交于A、B，点A的坐标为（2，0），点C的坐标为（0，1）（1）求抛物线的解析式；（2）点E是线段AC上一动点，过点E作DEx轴于点D，连结DC，当DCE的面积最大时，求点D的坐标；（3）在直线BC上是否存在一点P，使ACP为等腰三角形，若存在，求点P的坐标，若不存在，说明理由（1）二次函数的图像经过点A（2，0）、C(0，1)，解得： b， c1二次函数的解析式为 （2）设点D的坐标为（m，0） （0m2） ODm AD2m由ADEAOC得， DECDE的面积m当m1时，CDE的面积最大点D的坐标为（1，0）（3）存在由(1)知：二次函数的解析式为设y0则 解得：x12 x21点B的坐标为（1，0）， C（0，1）设直线BC的解析式为：ykxb 解得：k1 b1直线BC的解析式为: yx1在RtAOC中，AOC900 ， OA2 ， OC1由勾股定理得：AC点B(1，0) 、 点C（0，1），OBOC ，BCO450 当以点C为顶点且PCAC时，设P(k， k1)，过点P作PHy轴于HHCPBCO450CHPHk 在RtPCH中k2k2 解得k1， k2P1（，）， P2（，）以A为顶点，即ACAP设P(k， k1)，过点P作PGx轴于GAG2k， GPk1在RtAPG中 AG2PG2AP2（2k)2(k1)25解得：k11，k20(舍) P3(1， 2) 以P为顶点，PCAP设P(k， k1)，过点P作PQy轴于点Q，PLx轴于点LL(k，0) QPC为等腰直角三角形 PQCQk由勾股定理知CPPAkALk2， PLk1在RtPLA中(k)2(k2)2(k1)2解得：kP4(，)综上所述： 存在四个点：P1（，），P2（，）， P3(1， 2)，P4(，)。2.（2010四川乐山）如图(131)，抛物线yx2+bx+c与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C(0，2)，连接AC，若tanOAC2(1)求抛物线对应的二次函数的解析式；(2)在抛物线的对称轴l上是否存在点P，使APC90，若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；(3)如图(132)所示，连接BC，M是线段BC上(不与B、C重合)的一个动点，过点M作直线ll，交抛物线于点N，连接CN、BN，设点M的横坐标为t当t为何值时，BCN的面积最大？最大面积为多少？ 解：过点C作对称轴l的垂线,垂足为D,如图所示,（1）抛物线y=x2bxc过点C(0，2) c=2又tanOAC=2, OA=1,即A(1,0)又点A在抛物线y=x2bx2上 0=12b12,b=3抛物线对应的二次函数的解析式为y=x23x2（2）存在x=AE=OE-OA=-1=,APC=90,tanPAE= tanCPD,即，解得PE=或PE=，点P的坐标为（，）或（，）（备注：可以用勾股定理或相似解答）（3）如图，易得直线BC的解析式为：y=-x2，点M是直线l和线段BC的交点，M点的坐标为（t，-t+2）(0t2)MN=-t+2-(t23t2)=- t22tSBCM= SMNC+SMNB=MNt+MN(2-t)=MN(t+2-t)=MN=- t22t(0t2),SBCN=- t22t=-(t-1)2+1当t=1时，SBCN的最大值为13.（2010龙岩，24，13分）在平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别为（10，0），（2，4）.（1）若点C是点B关于x轴的对称点，求经过O、C、A三点的抛物线的解析式；（2）若P为抛物线上异于C的点，且OAP是直角三角形，请直接写出点P的坐标；（3）若抛物线顶点为D，对称轴交x轴于点M，探究：抛物线对称轴上是否存在异于D的点Q，使AQD是等腰三角形，若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由.解：（1）B（2,4），C（2，-4）.设过O、C、A三点的抛物线解析式为y=ax（x-10），将C（2，-4）代人，得a=,所以，抛物线解析式为y=x2-x.（2）存在P（8，-4）.（3）存在点Q使的DQA为等腰三角形.由（1）抛物线解析式为y=x2-x.可求得顶点D的坐标（5，-）.则|AD|=.若|QA|=|DA|，则由对称性知满足条件的Q点坐标为（5，），记为Q1（5，）；若|QD|=|DA|，则结合图形，可求得满足条件的Q点坐标为(5，)，(5，)记为Q2(5,),Q3(5,)；若|QD|=|QA|，则设Q（5,y），由解得y=，所以满足条件的Q点坐标为（5，），记为Q4(5,) 所以，满足条件的点Q有 Q1(5，)，Q2(5，)，Q3(5，)，Q4(5,)4.（2010福建三明）如图，抛物线经过点A（12，0）、B（4，0）、C（0，12）。顶点为M，过点A的直线ykx4交y轴于点N。（1）求该抛物线的函数关系式和对称轴；（5分）（2）试判断AMN的形状，并说明理由；（5分）AONDMyExl（第23题图）（3）将AN所在的直线l向上平移。平移后的直线l与x轴和y轴分别交于点D、E（如图）。当直线l平移时（包括l与直线AN重合），在抛物线对称轴上是否存在点P，使得PDE是以DE为直角边的等腰直角三角形？若存在，直接写出所有满足条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由。（4分）xAONCBMy（第23题图）A（1）设抛物线的函数关系式为yax2bxc.抛物线过点C（0，12），c12. AONMyx图231FB又它过点A（12，0）和点B（4，0），解得抛物线的函数关系式为yx22x12.抛物线的对称轴为x4. （2）解法一：在ykx4中，当x0时，y4.ykx4与y轴的交点N（0，4）. yx22x12（x4）216，顶点M（4，16）. AM2（124）2162320，AN212242160.MN242（164）2160.AN2MN2160160320AM2.ANMN. AMN是等腰直角三角形. 解法二：过点M作MFy轴于点F，则有xADONMPQKEylMF4，NF16412，OA12，ON4.MFON，NFOA. 又AONMFN90，AONNFM. MNFNAO，ANMN.NAOANO90，MNA90.AMN是等腰直角三角形.（3）存在.点P的坐标分别为（4，16），（4，8），（4，3），（4，6）14分参考解答如下：ykx4过点A（12，0）.k直线l与yx4平行，设直线l的解析式为yxb.则它与x轴的交点D（3b，0），与y轴交点E（0，b）.OD3OE.设对称轴与x轴的交点为K（）以点E为直角顶点如图231.根据题意，点M（4，16）符合要求；过P作PQy轴.当PDE为等腰直角三角形时，有RtODERtQEP.OEPQ4，QEOD. 在RtODE中，OD3OE，OD12，QE12.OQ8.点P的坐标为（4，8）（）以点D为直角顶点.同理在图232中得到P（4，6）.在图233中可得P（4，3）.综上所得：满足条件的P的坐标为（4，16），（4，8），（4，3），（4，6）.AONDMyExl图232PKAONDMyExl图233PK5.湛江市2009已知矩形纸片的长为4，宽为3，以长所在的直线为轴，为坐标原点建立平面直角坐标系；点是边上的动点（与点不重合），现将沿翻折得到，再在边上选取适当的点将沿翻折，得到，使得直线重合（1）若点落在边上，如图，求点的坐标，并求过此三点的抛物线的函数关系式；（2）若点落在矩形纸片的内部，如图，设当为何值时，取得最大值？CyEBFDAPxO图ABDFECOPxy图第28题图（3）在（1）的情况下，过点三点的抛物线上是否存在点使是以为直角边的直角三角形？若不存在，说明理由；若存在，求出点的坐标解：（1）由题意知，均为等腰直角三角形，可得2分CyEBFDAPxO图ABDFECOPxy图第28题图设过此三点的抛物线为则过三点的抛物线的函数关系式为（2）由已知平分平分且重合，则又即当时，有最大值（3）假设存在，分两种情况讨论：当时，由题意可知，且点在抛物线上，故点与点重合，所求的点为（0，3）yxABECQOPDF（Q）第28题图当时，过点作平行于的直线，假设直线交抛物线于另一点点，直线的方程为，将直线向上平移2个单位与直线重合，直线的方程为由得或又点故该抛物线上存在两点满足条件2.（2009年漳州）如图1，已知：抛物线与轴交于两点，与轴交于点，经过两点的直线是，连结（1）两点坐标分别为（_，_）、（_，_），抛物线的函数关系式为_；（2）判断的形状，并说明理由；（3）若内部能否截出面积最大的矩形（顶点在各边上）？若能，求出在边上的矩形顶点的坐标；若不能，请说明理由 抛物线的顶点坐标是CAOBxyCAOBxy图1图2(备用)（1）（4，0），（2）是直角三角形证明：令，则解法一：是直角三角形解法二：，即是直角三角形GAOBxy图1DEFHC（3）能当矩形两个顶点在上时，如图1，交于，解法一：设，则，=当时，最大，解法二：设，则当时，最大，当矩形一个顶点在上时，与重合，如图2，CAOBxy图2DGG，解法一：设，=当时，最大，解法二：设，=当时，最大，综上所述：当矩形两个顶点在上时，坐标分别为，（2，0）；当矩形一个顶点在上时，坐标为4.（2009年莆田）已知，如图1，过点作平行于轴的直线，抛物线上的两点的横坐标分别为1和4，直线交轴于点，过点分别作直线的垂线，垂足分别为点、，连接（1）求点的坐标；（2）求证：；（3）点是抛物线对称轴右侧图象上的一动点，过点作交轴于点，是否存在点使得与相似？若存在，请求出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由EDCAFBxOyl（图2）GHMEDCAFBxOyl（图1）（1）解:方法一，如图1，当时, 当时, 设直线的解析式为则解得直线的解析式为 当时,方法二:求两点坐标同方法一,如图2,作,垂足分别为、,交轴于点,则四边形和四边形均为矩形,设 解得(2)证明：方法一：在中，在中，由（1）得方法二：由 （1）知同理：同理：即（3）存在.解：如图3，作轴，垂足为点又设，则当时，解得当时，EDCOFxy图3MPlQ5. （2009江西）如图，抛物线与轴相交于、两点（点在点的左侧），与轴相交于点，顶点为.（1）直接写出、三点的坐标和抛物线的对称轴； （2）连接，与抛物线的对称轴交于点，点为线段上的一个动点，过点作交抛物线于点，设点的横坐标为；用含的代数式表示线段的长，并求出当为何值时，四边形为平行四边形？xyDCAOB（第24题）设的面积为，求与的函数关系式.解：（1）A（-1，0），B（3，0），C（0，3）抛物线的对称轴是：x=1（2）设直线BC的函数关系式为：y=kx