北师大版选修44 2.2.3椭圆的参数方程2.2.4双曲线的参数方程 学案.doc

2.3椭圆的参数方程2.4双曲线的参数方程1.椭圆的参数方程(1)椭圆1的参数方程为(为参数)，参数的几何意义是以a为半径所作圆上一点和椭圆中心的连线与x轴正半轴的夹角.(2)中心在c(x0，y0)的椭圆的参数方程是(为参数).2.双曲线的参数方程中心在原点，焦点在x轴上的双曲线1的参数方程为(为参数)，规定的取值范围为0，2)且，.【思维导图】【知能要点】1.椭圆的参数方程.2.双曲线的参数方程.题型一椭圆的参数方程1.和圆的参数方程中的参数是半径om的旋转角不同，椭圆参数方程中的参数是椭圆上点m的离心角.2.椭圆1 (ab0)的参数方程为(为参数).【例1】 已知a、b分别是椭圆1的右顶点和上顶点，动点c在该椭圆上运动，求abc的重心g的轨迹的普通方程.解由动点c在该椭圆上运动，故据此可设点c的坐标为(6cos ，3sin )，点g的坐标为(x，y)，则由题意可知点a(6，0)，b(0，3).由重心坐标公式可知由此消去得到(y1)21即为所求.【反思感悟】 本题的解法体现了椭圆的参数方程对于解决相关问题的优越性.运用参数方程显得很简单，运算更简便.1.设f1、f2分别为椭圆c：1 (ab0)的左、右焦点.(1)若椭圆c上的点a到f1、f2距离之和等于4，写出椭圆c的方程和焦点坐标；(2)设p是(1)中椭圆上的动点，求线段f1p的中点的轨迹方程.解(1)由椭圆上点a到f1、f2的距离之和是4，得2a4，即a2.又点a在椭圆上，因此1，得b23，于是c2a2b21，所以椭圆c的方程为1，焦点坐标为f1(1，0)，f2(1，0).(2)设椭圆c上的动点p的坐标为(2cos ，sin )，线段f1p的中点坐标为(x，y)，则x，y，所以xcos ，sin .消去，得1，这就是线段f1p的中点的轨迹方程.题型二双曲线的参数方程与椭圆类似，双曲线的参数方程 (为参数)中的几何意义也是双曲线上一点m的离心角.【例2】 直线ab过双曲线1的中心o，与双曲线交于a，b两点，p是双曲线上的任意一点.求证：直线pa，pb的斜率的乘积为定值.证明如图所示，设p，a.ab过原点o，a，b的坐标关于原点对称，于是有b，从而：kpakpb为定值.【反思感悟】 本例的求解充分利用了双曲线的参数方程.一般地，当与二次曲线上的动点有关时，可将动点用参数形式表示，从而将x，y都表示为某角的函数，运用三角知识求解，可大大减少运算量，收到事半功倍的效果.2.如图所示，设m为双曲线1(a，b0)上任意一点，o为原点，过点m作双曲线两渐近线的平行线，分别与两渐近线交于a，b两点.探求平行四边形maob的面积，由此可以发现什么结论？解双曲线的渐近线方程为yx.不妨设m为双曲线右支上一点，其坐标为，则直线ma的方程为ybtan .将yx代入，解得点a的横坐标为xa.同理可得，点b的横坐标为xb.设aoxa，则tan .所以，maob的面积为smaob|oa|ob|sin 2sin 2sin 2tan .由此可见，平行四边形maob的面积恒为定值，与点m在双曲线上的位置无关.题型三参数方程的应用若曲线的参数方程 (t为参数)，由于，因此t的几何意义是曲线上的点(除顶点外)与曲线的顶点连线的斜率的倒数.【例3】 设飞机以匀速v150 m/s做水平飞行，若在飞行高度h588 m处投弹(假设炸弹的初速度等于飞机的速度).(1)求炸弹离开飞机后的轨迹方程；(2)试问飞机在离目标多远(水平距离)处投弹才能命中目标.分析这是物理学中的平抛运动，选择合理的参变量将炸弹(看作质点)的水平方向和竖直方向的运动表示出来.解(1)如图所示，a为投弹点，坐标为(0，588)，b为目标，坐标为(x0，0).记炸弹飞行的时间为t，在a点t0.设m(x，y)为飞行曲线上的任一点，它对应时刻t，炸弹初速度v0150 m/s，用物理学知识，分别计算水平、竖直方向的路程，得 (g9.8 m/s2)，即这是炸弹飞行曲线的参数方程.(2)炸弹飞行到地面目标b处的时间t0满足方程y0，即5884.9t20，解得t02.由此得x015023001 643 (m).即飞机在离目标约1 643 m(水平距离)处投弹才能击中目标.【反思感悟】 准确把握题意，分析物理学中运动过程，选择适当的坐标系及变量，将物理问题转化为数学问题.利用抛物线的参数方程解决.3.青海省玉树县发生7.1级地震，灾区人民的安危牵动着全国人民的心，一批批救援物资源源不断地运往灾区.现在一架救援飞机在离灾区地面593 m高处以150 m/s的速度作水平飞行.为使投放救援物资准确落于灾区某指定的地点(不记空气阻力)，飞行员应如何确定投放时机呢？解如图所示，物资投出机舱后，设在时刻t的水平位移为x，垂直距离为y，则(g9.8 m/s2).令y0，得t11 s，代入x150 t，得x1 650 m.所以，飞行员在离救援点的水平距离约1 650米时开始投放物资，可使其准确落在指定位置.1.已知实数x，y满足1，求目标函数zx2y的最大值与最小值.解椭圆1的参数方程为(为参数).代入目标函数得z5cos 8sin cos(0)cos(0)(tan 0).所以目标函数zmin，zmax.2.点p在椭圆1上，求点p到直线3x4y24的最大距离和最小距离.解设p(4cos ，3sin )，则d.即d，当cos1时，dmax(2)；当cos1时，dmin(2).3.已知弹道曲线的参数方程为(g9.8 m/s2)(1)求炮弹从发射到落地所需的时间；(2)求炮弹在运动中达到的最大高度.解(1)令y20tsin gt20，即4.9t210t0.解得t0或t2.所以炮弹从发射到落地所需时间约为2秒.(2)由y10t4.9t2，得y4.94.9.所以当t时，ymax5.1.所以炮弹在运动中达到的最大高度为5.1米.4.已知双曲线方程为x2y21，m为双曲线上任意一点，m点到两条渐近线的距离分别为d1和d2，求证：d1与d2的乘积是常数.证明设d1为m点到渐近线yx的距离，d2为m点到渐近线yx的距离，因为m点在双曲线x2y21上，则可设m点坐标为.d1，d2，d1d2，故d1与d2的乘积是常数.p36思考交流参照求圆的参数方程(k为参数)的方法，给出椭圆另一种形式的参数方程(如图).答设椭圆的方程为1其中ab0，则点a的坐标为(a，0)，设ap的斜率为k.直线ap的方程为yk(xa)由可得直线ap与椭圆的交点的横坐标，x1a，x2.直线ap与椭圆交点的纵坐标为y10，y2即点p的坐标为.点p是椭圆任意的不同于a的点，(k为参数)，上面参数方程即为椭圆的另一种形式的参数方程.其中参数k表示直线ap的斜率.也由此可以看出，由于参数的选取不同，参数方程也不同.p37思考交流1.双曲线的参数方程中，参数的几何意义是什么？答参数的几何意义是以原点为圆心，a为半径的圆的半径的旋转角.2.试求双曲线1(a0，b0)的参数方程.答如图：分别以a，b为半径，原点为圆心作同心圆.设oaa，obb，a为圆上任一点.aox(参数)，b为圆与y轴的交点，过b作平行于x轴的直线交oa的延长线于b1点，在rtobb1中，bb1o，bb1.过a的切线交y轴于a1点，a1py轴，a1pb1p.设点p的坐标为(x，y)，在rtoaa1中，oa1a，oaa，oa1.xbb1，yoa1.(其中为参数)，1(a0，b0)的参数方程为(为参数).3.试求抛物线y22px(p0)的参数方程.(1)以抛物线上一点(x，y)与其顶点连线斜率的倒数t为参数.(2)以抛物线上任意一点(x，y)的纵坐标y0为参数.答(1)抛物线y22px，p为焦点到准线的距离.抛物线上任意一点m(x，y)，mox，则tan 代入y22px中ytan 2p.y.x.设t，则其中t为参数.几何意义是抛物线上任意一点与抛物线顶点的连线的斜率的倒数.故即为所求.(2)(y0为参数).几何意义是抛物线上任意点的纵坐标.【规律方法总结】1.椭圆和双曲线的参数方程中，参数的几何意义都是曲线上点m的离心角；抛物线参数方程中参数t的几何意义是抛物线上的点(除顶点外)和顶点连线斜率的倒数.2.利用圆锥曲线的参数方程，可以方便求解一些需要曲线上点的两个坐标独立表示的问题，如求最大值、最小值问题、轨迹问题等.3.圆锥曲线的参数方程可以有不同的形式，求曲线的参数方程可根据具体问题选取角度、长度、斜率、时间等作为参数.一、选择题1.下列参数方程(t为参数)与普通方程x2y0表示同一曲线的方程是()a. b.c. d.解析注意参数范围，可利用排除去.普通方程x2y0中的xr，y0.a中x|t|0，b中xcos t1，1，故排除a和b.而c中ycos2t，即x2y1，故排除c.答案d2.下列在曲线(为参数)上的点是()a. b.c.(2，) d.(1，)解析转化为普通方程：y21x (|y|)，把选项a、b、c、d代入验证得，选b.答案b3.若点p(3，m)在以点f为焦点的抛物线 (t为参数)上，则|pf|等于()a.2 b.3 c.4 d.5解析抛物线为y24x，准线为x1，|pf|为p(3，m)到准线x1的距离，即为4.答案c4.已知椭圆的参数方程(t为参数)，点m在椭圆上，对应参数t，点o为原点，则直线om的倾斜角为()a. b.c. d.解析m点的坐标为(2，2)，k，tan ，.答案a二、填空题5.曲线与x轴交点的坐标是_.解析将曲线的参数方程化为普通方程：(x2)29(y1)，令y0，得x1或x5.答案(1，0)，(5，0)6.双曲线(为参数)的渐近线方程是_.解析将参数方程化为普通方程是y21，a1，b3，渐近线的斜率k，双曲线的中心为(3，0)，渐近线方程为y(x3).答案y(x3)7.二次曲线 (是参数)的左焦点的坐标是_.解析题中二次曲线的普通方程为1左焦点为(4，0).答案(4，0)8.过双曲线x2y24的右焦点f作倾斜角为105的直线，交双曲线于p，q两点，则|fp|fq|的值为_.解析因双曲线的标准方程为1，ab2.c2.故右焦点为f(2，0).可设过f(2，0)，倾斜角为105的直线的参数方程为(t为参数).代入双曲线方程x2y24，整理得t2(22)t40，|fp|fq|t1t2|.答案三、解答题9.已知圆o1：x2(y2)21上一点p与双曲线x2y21上一点q，求p，q两点距离的最小值.解圆心o1坐标为(0，2)，q点坐标为，|qo1|2(tan 2)2tan24tan 42tan24tan 5.设ttan ，|qo1|22t24t52(t1)233，|qo1|min，pq两点间的距离的最小值为1.10.已知曲线c：1，直线l：(t为参数).(1)写出曲线c的参数方程，直线l的普通方程；(2)过曲线c上任意一点p作与l夹角为30的直线，交l于点a，求|pa|的最大值与最小值.解(1)曲线c的参数方程为(为参数).直线l的普通方程为2xy60.(2)曲线c上任意一点p(2cos ，3sin )到l的距离为d|4cos 3sin 6|，则|pa|5sin()6|，其中为锐角，且tan .当sin()1时，|pa|取得最大值，最大值为.当sin()1时，|pa|取得最小值，最小值为.11.已知椭圆y21上任一点m(除短轴端点外)与短轴两端点b1，b2的连线分别交x轴于p，q两点，求证：|op|oq|为定值.证明设m(2cos ，sin )，为参数，b1(0，1)，b2(0，1).则mb1的方程：y1x，令y0，则x，即|op|.mb2的方程：y1x，|oq|.|op|oq|4.即|op|oq|4为定值.12.已知抛物线y22px(p0)，过动点m(a，0)且斜率为1的直线l与该抛物线交于不同的两点a，b，|ab|2p.(1)求a的取值范围；(2)若线段ab的垂直平分线交x轴于点n，求nab面积的最大值.解设直线l的方程为yxa代入y22px中，得：x22(ap)xa20.(1)设a，b两点的坐标为(x1，y1)、(x2，y2)，则x1x22(ap)，x1x2a2.|ab|2p，2(8ap4p2)4p2，解得a.(2)a，b的中点坐标为，即为(ap，p)，斜率为1，垂直平分线方程为yp(xap)xap.y0时，xa2p，点n的坐标为(a2p，0)，点n(a2p，0)到直线ab的距离为p，则snabpp2p2p，当a最大时，snab取最大值，故a时，s取最大值为p2.习题22(第28页)a组1.解(1)a作为参数时，方程表示直线；作为参数时，方程表示圆.(2)x，y分别表示曲线上任意一点的横、纵坐标；x0，y0分别表示曲线上某一定点的横、纵坐标；若a作为参数，则它表示直线上定点m0(x0，y0)与直线上任意一点m(x，y)构成的有向线段的数量，此时是直线的倾斜角；若作为参数，则它表示圆的半径与x轴正方向所夹的角，此时a表示圆的半径.2.3.解直线方程(t为参数)可以变形为所以|2t|，2t.所以所求点的坐标为(3，4)或(1，2).4.解将直线l1的参数方程代入l2：xy20，得t.所以点q的坐标为(1，1)，所以|pq|.5.解(1)(t为参数).(2)将代入xy20，得t106.由t的几何意义知，两直线的交点到点m的距离为|t|106.(3)将代入x2y216，得t2(51)t100.所以t1t2(51)，t1t210.由t的几何意义知，直线与圆的两个交点到点m的距