两角和与差的余弦(教师).doc

第三章 三角恒等变换【学习导航】1 本章利用向量的数量积推导出两角差的余弦公式，并由此公式导出两角和与差的正弦、余弦、正切公式；二倍角的正弦、余弦、正切公式等，以及运用这些公式进行简单的恒等变换。2 三角恒等变换位于三角函数与数学变换的结合点上。三角恒等变换公式反映了角的相加、相减、二倍角运算引起三角函数值变化的规律，是研究三角函数性质及其应用的一种工具。学习和应用三角恒等变换，有利于发展推理能力和运算能力。3、三角恒等变换具有几何和物理的应用背景。以向量为桥梁将三角恒等变换的算式与直观的几何图形相互沟通和转化，有助于学习和应用三角恒等变换，还能提高学习数学的兴趣，体会数学是一个有机联系的整体，二不是各不相关的内容的堆积。cos（-）=coscos+sinsincos（+）=coscos-sinsinsin（+）=sincos+cossinsin（-）=sincos-cossintan（+）= tan（-）= sin2=2sincoscos2=cos2- sin2=2cos2-1=1-2 sin2tan2=知识网络 学习要求1. 了解用向量的数量积推导出两角差的余弦公式的过程，进一步体会向量方法的作用；2. 理解以两角差的余弦公式导出两角和与差的正弦、余弦、正切公式，二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系；3. 运用上述公式进行简单的恒等变换，推导半角公式，积化和差、和差化积公式作为基本训练，进一步提高运用转化的观点去处理问题的自觉性，体会一般与特殊的思想，换元的思想，方程的思想等数学思想在三角恒等变换中的应用。3.1.1两角和与差的余弦【学习导航】1 掌握推导两角差的余弦公式的多种方法，充分认识到两角差的余弦公式是本单元所有公式的基础。2 掌握的诱导公式。学习要求1、理解向量法推导两角和与差的余弦公式，并能初步运用解决具体问题；2、应用公式，求三角函数值.3培养探索和创新的能力和意识.【自学评价】1探究反例：问题：的关系？解决思路：探讨三角函数问题的最基本的工具是直角坐标系中的单位圆及单位圆中的三角函数线2探究：在坐标系中a、b角构造a+b角3探究：作单位圆，构造全等三角形4探究：写出4个点的坐标，5计算，=6探究 由=导出公式展开并整理得所以 可记为 7探究 特征熟悉公式的结构和特点； 此公式对任意a、b都适用公式记号8探究 cos(a-b)的公式以-b代b得：公式记号【精典范例】例1 计算 cos105 cos15 coscos-sinsin解：cos105=cos(60+45)=cos60cos45-sin60sin45=cos15 =cos(60-45)=cos60cos45+sin60sin45=coscos-sinsin= cos(+)=cos=0 例2已知sina=，cosb=求cos(a-b)的值解：sina=0，cosb=0 a可能在一、二象限，b在一、四象限若a、b均在第一象限，则cosa=，sinb= cos(a-b)=若a在第一象限，b在四象限，则cosa=，sinb=- cos(a-b)=若a在第二象限，b在一象限，则cosa=-，sinb= cos(a-b)=若a在第二象限，b在四象限，则cosa=-，sinb=- cos(a-b)=例3已知cos(2-)=-,sin (-2)=,且,0,求cos(+)的值。 分析：已知条件中的角与所求角虽然不同，但它们之间有内在联系，即(2-)-(-2)=+由、角的取值范围，分别求出2-、-2角的正弦和余弦值，再利用公式即可求解。 解：, 2-,- -2, 由cos(2-)=-得，sin (2-)=; 由sin (-2)=得，cos(-2)=。 cos(+)=cos(2-)-(-2)=cos(2-)cos(-2)+sin (2-)sin (-2)=- +=。 例4不查表，求下列各式的值.（1）（2）（3）思维点拔：在三角变换中，首先应考虑角的变换如何变换角？一定要根据题目的条件与结论来变，简单地说就是“据果变形”，创造出使用三角公式的条件，以达到求值、化简和证明的目的常用的变换角的方法有：=(+)-,+2=(+)+, ,【追踪训练】：1sina-sinb=-，cosa-cosb=，a(0, ),b(0, ),求cos(a-b)的值。解: sina-sinb=-，cosa-cosb=，a(0, ),b(0, ),， 2-2 cos(a-b)= cos(a-b)=2求cos75的值 解：cos75=cos(45+30)=cos45cos30-sin45sin30=3计算：cos65cos115-cos25sin115解：原式= cos65cos115-sin65sin115=cos(65+115)=cos180=-14 计算：-cos70cos20+sin110sin20原式=-cos70cos20+sin70sin20=-cos(70+20)=05已知锐角a,b满足cosa= cos(a+b)=求cosb解：cosa= sina=又cos(a+b)=0 a+b为钝角 sin(a+b)=cosb=cos(a+b)-a=cos(a+b)cosa+sin(a+b)sina = （角变换技巧）6已知cos(a-b)=,求(sina+sinb)2+(cosa+cosb)2的值解: (sina+sinb)2+(cosa+cosb)2=2+2 cos(a-b)=2+=【选修延伸】例5已知，是第三象限角，求的值.解：因为，由此得又因为是第三象限角，所以所以点评：注意角、的象限，也就是符号问题.例6设，且，求的值。解：因为所以所以，所以故【追踪训练】：1满