北师大版选修44 2.3参数方程化成普通方程 学案.docVIP

3参数方程化成普通方程1.代数法消去参数(1)这种方法是从参数方程中选出一个方程，解出参数，然后把参数的表达式代入另一个方程，消去参数，得到曲线的普通方程.我们通常把这种方法称为代入法.(2)通过代数方法，如乘、除、乘方等把参数方程中的方程适当地变形，然后把参数方程中的两个方程进行代数运算.消去参数.2.利用三角恒等式消去参数如果参数方程中的x，y都表示为参数的三角函数，那么可以考虑用三角函数公式中的恒等式消去参数，这是参数方程转化为普通方程的基本方法之一.【思维导图】【知能要点】1.代数法消去参数把参数方程化为普通方程.2.利用三角恒等式消去参数把参数方程化为普通方程.题型一代数法消去参数这种方法的基本方法是由参数方程中的一个方程，解出参数，然后代入另一个参数方程中得普通方程，这种方法思路简单，可能运算量大.其次就是把参数方程适当地变形，然后把两参数方程进行代数运算消去参数，这种方法运算量小，但往往需要提前进行适当的变形.【例1】 把参数方程化为普通方程.(1)(2)解(1)由x1t得t2x2代入y5t中得y5(2x2)，即：xy50就是它的普通方程.(2)得x2y2r2.x2y2r2就是它的普通方程.【反思感悟】 用代数法消去参数有时用一个参数方程解析出参数太复杂，如第(2)小题，这时为了减少运算量，就要对参数方程的两个式子进行适当变形.即两边取平方.然后相加消去参数.1.将下列参数方程化成普通方程.(1)(2)(3)解(1)由x，得t.代入y化简得y(x1).(2)由x2yt1得tx2y1，代入yt2t1化简得x24xy4y2x3y10.(3)将ypt的两边平方得y2p2t22p2p2p2，以xpt2代入上式，得y2p(x2p).题型二利用三角恒等式消去参数利用这种方法消去参数必须是x，y都表示成参数的三角函数，然后利用三角函数的恒等变形式消去参数，这种方法大部分都要对两个参数方程先进行适当的变形，然后进行代数运算消去参数，化为普通方程.【例2】 将下列曲线的参数方程化为普通方程，并指明曲线的类型.(1)(为参数，a，b为常数，且ab0)；(2)(为参数，a，b为正常数)；(3)(t为参数，p为正常数).解(1)由cos2sin21得1这是一个长轴长为2a，短轴长为2b，中心在原点的椭圆.(2)由已知，tan ，由于tan21，有1这是一条双曲线.(3)由已知t代入x2pt2中得2px，即y22px，这是一条抛物线.【反思感悟】 用三角恒等式法把参数方程转化为普通方程时，要特别注意保证等价性.2.化下列参数方程为普通方程，并作出曲线的草图.(1)(为参数)；(2)(t为参数).解(1)由y2(sin cos )21sin 212x得y22x1，sin 2，x.sin cos ，y.故所求普通方程为y22，图形为抛物线的一部分.(2)由x2y21及x0，xy0知，所求轨迹为两部分圆弧x2y21(0x1，0y1或1x0，1y0).1.若曲线(为参数)，则点(x，y)的轨迹是()a.直线x2y20b.以(2，0)为端点的射线c.圆(x1)2y21d.以(2，0)和(0，1)为端点的线段解析x1cos 2112sin222y，故普通方程为x2y20，但即0y1，0x2，故为一条线段.答案d2.参数方程(为参数)表示的曲线是()a.直线 b.圆 c.线段 d.射线解析xcos2，ysin2，x0，1，y0，1，y1cos21x，xy1，是一条线段，故选c.答案c3.将参数方程(t为参数)化为普通方程为_.解析yt2t22t22x22(x0).答案yx22(x0)4.在平面直角坐标系xoy中，直线l的参数方程为(参数tr)，圆c的参数方程为(参数0，2)，则圆c的圆心坐标为_，圆心到直线l的距离为_.解析消参数得圆方程为x2(y2)24，得圆心坐标为(0，2).消参数后直线方程为xy6，那么圆心到直线的距离为2.答案(0，2)2p42练习已知参数方程(a，b，均不为0，02)分别取：(1)t为参数，(2)为参数，(3)为参数.则下列结论中成立的是()a.(1)，(2)，(3)均是直线b.只有(2)是直线c.(1)，(2)是直线，(3)是圆d.(2)是直线，(1)，(3)是圆锥曲线解析(1)t为参数，t代入ybtsin 中得，ybsin .整理得：bxaybcos asin 0，其中a、b、为常数，故为直线.(2)为参数消去参数，tan ，整理得，ytan xattan bt为直线.(3)为参数用三角恒等式消去参数.得(xat)2(ybt)22为以(at，bt)为圆心，为半径的圆.由以上解答，应选c.答案c【规律方法总结】由参数方程化为普通方程时，有两种基本方法.代数法和三角恒等法.这两种方法中都有可能先对参数方程进行变形然后经过代数运算进行消去参数，但在变形中特别注意取等价性，有时要进行必要的讨论，有时要利用三角函数写出x，y的取值范围.一、选择题1.参数方程(r为参数)表示的曲线为()a.直线 b.圆c.椭圆 d.双曲线解析消去参数tan ，即ytan x为直线. 答案a2.直线yaxb通过第一、二、四象限，则圆(为参数)的圆心位于 ()a.第一象限 b.第二象限c.第三象限 d.第四象限解析由题意知，a0，b0，又由于圆心坐标为(a，b)，故在第二象限.选b.答案b3.曲线的参数方程是(t是参数，t0)，它的普通方程是()a.(x1)2(y1)1 b.yc.y1 d.y解析x1，1x，t，代入y1t2得，y1.答案b4.由方程x2y24tx2ty5t240(t为参数)所表示的一组圆的圆心轨迹是()a.一个定点 b.一个椭圆c.一条抛物线 d.一条直线解析将方程x2y24tx2ty5t240化为标准方程为(x2t)2(yt)24，圆心坐标为(2t，t)，故圆心轨迹为消去参数t为x2y，为直线，故选d. 答案d二、填空题5.将参数方程(为参数)化为普通方程是_.解析参数方程平方相加，得(x1)2y24.答案(x1)2y246.若x2y24，则xy的最大值是_.解析x2y24的参数方程为(为参数)，xy2cos 2sin 2cos，最大值为2.答案27.设直线l1的参数方程为(t为参数)，直线l2的方程为y3x4，则l1与l2间的距离为_.解析l1的参数方程化为普通方程为y3x2，则l1与l2平行再利用两平行线间的距离公式可求得d.答案8.若点(x，y)在圆(为参数)上，则x2y23x的最小值是_.解析x2y23x(32cos )2(2sin 4)23(32cos )912cos 4cos24sin216sin 1696cos 3818cos 16sin 382cos().其中cos .最小值为382.答案382三、解答题9.在平面直角坐标系xoy中，设p(x，y)是椭圆y21上的一个动点，求sxy的最大值.解因椭圆y21的参数方程为(为参数)，故可设动点p的坐标为(cos ，sin )，其中02，因此，sxycos sin 22sin，所以，当时，s取最大值2.10.求方程4x2y216的参数方程：(1)设y4sin ，为参数；(2)以过点a(0，4)的直线的斜率k为参数.解(1)把y4sin 代入方程，得到4x216sin216，于是4x21616sin216cos2，x2cos .由于参数的任意性，可取x2cos ，因此4x2y216的参数方程是(为参数).(2)设m(x，y)是方程4x2y216上异于a点的任一点.则k(x0)，将ykx4代入方程，得x(4k2)x8k0.(k0)，另有一点所求的参数方程为(k0)和习题23第42页a组1.解(1)2xy70，直线.(2)1，椭圆.(3)1，双曲线.(4)原参数方程变形为所以4.所以4xy20，直线.(5)x，抛物线.2.圆的普通方程为x2y225，半径为5.3.椭圆的普通方程为1，焦距为2.4.椭圆的普通方程为1，c，左焦点(1，0).5.双曲线的普通方程为1，中心坐标(2，1).6.双曲线的普通方程为1，所以a3，b，渐近线的斜率为，两条渐近线的夹角为60.7.抛物线的普通方程为x22(y1)，准线方程为y.8.解根据一元二次方程根与系数的关系得sin cos ，sin cos ，点(a，