(冯大磊)浅谈中学数学中的最值问题.doc

附件1： 论文编号： （由教研室统一按市、县编码编号） 贵州省教育科学院 贵州省教育学会2014年教育教学科研论文、教学（活动）设计征集评选登记表（征文封面）学科类别（不要以编号代替）:中学数学论文题目浅谈数列求和及应用作者姓名冯大磊学校名称思南县第六中学课题组成员姓名学校地址 铜仁 市（州、地） 思南 县（区、市、特区） 思唐 乡（镇） 联系电话固定电话： 移动电话文内容摘要（200字左右） 在中学数学里，尤其是高中数学，最值问题已经融入到数学的各个知识板块，并且频繁出现，从近几年的高考来看，都有最值问题的出现，分值也是很高。高考主要是考查学生的逻辑思维能力，运算能力，分析问题和解决问题的能力，而最值问题方面，往往把这几点体现的非常到位。很多学生遇到这类问题就束手无策，或者形成不了比较完整透彻的知识体系。本文从函数、不等式、解析几何等知识板块，分类进行讨论，着重的剖析高中最值问题，并加以实例辅助理解最值问题的难点。 个人诚信承诺（在括号内打“”）：1.所写论文为本人原创，并非从网上直接下载或抄袭他人（ ）2.所写案例真实，源于本人亲历的课堂（ ）说明：一、学科类别：1.中学语文 2.中学数学 3.中学英语 4.中学物理5.中学化学 6.中学生物 7.中学政治 8.中学历史 9.中学地理 10.小学语文 11.小学数学 12.小学思品 13.小学英语 14.小学科学 15.中小学音乐 16.中小学体育与健康 17.中小学美术 18.中小学信息技术、通用技术 19.中小学综合实践活动 20. 学前教育 21.综合（凡不是纯学科性的论文都归在这一类，如：如何做好班主任工作、如何提高学生的心理素质等）。二、论文题目不要太长。教学设计或教学案例直接点明是什么课的设计或案例，如：祝福教学设计、分数的除法教学案例（不要把某某版第某册第某课作为题目的组成部分）。目 录摘要 2Abstract 21 函数 3 1.1 特殊函数之一元二次函数31.1.1 定义域为R的一元二次函数31.1.2 有定义域限制的一元二次函数3 1.2 特殊函数之三角函数41.2.1 关于或（）型41.2.2 关于型51.2.3 关于或二次型函数的最值问题 5 1.3 一般函数之导数法61.3.1 构造函数，通过导数证明恒成立问题71.3.2 分类讨论，确定函数的最值71.3.3 建立函数模型，用导数解有关最值的实际应用题82 不等式 9 2.1 线性规划-求目标函数的最值 9 2.2 均值不等式（基本不等式）求最值93 几何与最值11 3.1 知识准备 11 3.2 与圆有关的最值问题 11 3.3 圆锥曲线的有关最值 123.3.1 抛物线 123.3.2 椭圆等圆锥曲线中两条线段的和的最值 123.3.3 圆锥曲线基本量的最值与范围 133.3.4 面积的最值 13 3.4 参数方程 14参考文献15浅谈中学数学中的最值问题冯大磊摘 要：在中学数学里，尤其是高中数学，最值问题已经融入到数学的各个知识板块，并且频繁出现，从近几年的高考来看，都有最值问题的出现，分值也是很高。高考主要是考查学生的逻辑思维能力，运算能力，分析问题和解决问题的能力，而最值问题方面，往往把这几点体现的非常到位。很多学生遇到这类问题就束手无策，或者形成不了比较完整透彻的知识体系。本文从函数、不等式、解析几何等知识板块，分类进行讨论，着重的剖析高中最值问题，并加以实例辅助理解最值问题的难点。关键词：中学数学 最值 函数 不等式 解析几何The Extreme value problem in the Middle School MathematicsDelei FengAbstract: In the middle school mathematics, especially the high school mathematics, Extreme value problem has blend in mathematical knowledge of various plates frequently.From viewing the college entrance examination,the points is very scary in recent years,The main entrance examination examine students ability to think logically, computing power, analyze problems and problem-solving skills, while the extreme value problems often put these points reflect perfectly. Many high school students have encountered such problems helpless, or can not form a complete and thorough knowledge systems. The paper plate from functions, inequalities, analytic geometry knowledge classification discussion focuses on parsing high school extreme value, and examples of auxiliary understand the difficulty of the most value problem.Keywords: secondary school mathematics; extreme value problem; function; inequality; Analytic geometry1.函数1.1特殊函数之一元二次函数1.1.1定义域为R的一元二次函数一元二次函数的一般形式是。我们可以用先配方，再用图像法得出最值。具体如下：(1)先配方，原函数可以转化为；(2)观察图像，则对称轴为，顶点坐标为，也可以看出相应的单调区间。那么有以下两种情况：.若，则函数的最小值为；.若，则函数的最大值为。1.1.2有定义域限制的一元二次函数一般形式为，求此函数定义在的最值，一般求出对称轴的值，再分三种情况讨论：第一种情况给定区间在对称轴右侧，第二种情况是给定区间在对称轴左侧，第三种情况是对称轴在给定区间的中间。一般步骤同上述的第一种方法类似，增加观察图像时，注意定义域的限定即可。(1)当a0时给定区间在对称轴右侧时，。给定区间在对称轴左侧时，。对称轴在给定区间的中间时，比较与的大小，较大的就是最大值。（2）a0时给定区间在对称轴左侧时，。给定区间在对称轴右侧时，。对称轴在给定区间的中间时，比较与的大小，较小的就是最小值。例1：已知一元二次函数，求其在最小值。解：函数可化简为，观察图像可知其最小值为，最大值为。注意：以后熟练之后图像可以不画，在脑海里呈现，但建议画出。变式1：已知函数在的最小值为，求的解析式。解：当时，函数上单调递增，则时，取最小值，所以；当时，函数在上单调递减，在上单调递增，所以时，取最小值所以；当时，函数上单调递减，则时，取最小值，所以。综上所述，。总结：二次函数的最值解，一般借助于二次函数的图像，考察图像的对称轴与所给定义域区间的相对位置关系不确定，故需分类讨论。本题对进行讨论的，进而得出不同情况的结果。1.2特殊函数之三角函数三角函数是数学学科里最有趣的知识块，把几何的图形与函数相结合。三角函数最值问题是新教材例、习题中涉及的问题，更是历年高考考察的三角内容之一，它是函数最值的一个重要组成部分，它不仅与三角变换直接相关，而且与二次函数、解不等式、基本不等式的应用以及某些几何知识都紧密相关，由于其题型的变化多样，因而常使许多学生深感困难，无从下手。为此，根据三角函数中最常见的几类问题进行讨论分析。三角函数一般可以转化为或两种形式，所以我们遇到三角最值问题，尽量化简成这种三角函数类型，然后只要看准定义域的限定范围，观察图像，那么其最大值为，最小值为。1例2：三角函数，在处取最大值为，在处取最小值为。下面举例说明这几种常见类型。1.2.1关于（或）型2引用一个辅助角使得变成上述类型。例3：若函数（，为常数，）的值域为，求的最大值。解：当时，所以，；原式=，其最大值为5。当时，不合题意；当时，所以，。原式=，其最大值为5。1.2.2关于型可化为既辅助角公式例4：当时，求的最大值。解：y= = =，即y的最大值为1.1.2.3关于或二次型函数的最值问题(此时我们通常用sin2x+cos2x=1化成同一三角函数，进行运算)例5：如果，求函数的最大值、最小值。解：设，得。由题设，得，又函数y在上是增函数，在上为减函数，1.3一般函数之导数法在数学中，我们解决问题的方法有很多，在高二下学期引入了导数这一全新的概念，也把我们的高中数学知识做了一个很大程度的融合。导数法求在上的最值的一般步骤：(1)求导。求出给出函数的导数。(2)求根。令，求出相应的根，有时还会出现这两种情况：恒有，恒有。我们就直接跳过此步骤。(3)列表。根据求出的根，列出相应的表。(4)结论。观察表格，得出在上的最值。例6：求在区间上的最大值与最小值。3解：，令，解得。列表如下：-12408-13从上表可知，函数的最大值为8，最小值为3.下面介绍几种用导数的方法求最值的应用1.3.1构造函数，通过导数证明恒成立问题例7：已知。求证：在上，的图像总在的图像下方。解：本题等价于证明：当时，不等式恒成立。构造函数，则。因为，所以，所以在区间上是减函数，从而，即，所以在上，的图像总在的图像下方。1.3.2分类讨论，确定函数的最值例8：设函数对于总有成立,是确定的值。解：要使恒成立，只要在上恒成立。由知：当时，所以，不合题意，舍去；当时，即单调递减，即，不合题意，舍去；当时，解得(1)当，即时，在和上单调递增，在上单调递减。所以，即，解得.(2)当时，即当时，在上单调递减，即，不合题意，舍去；综上所述，.1.3.3建立函数模型，用导数解有关最值的实际应用题例9：某商场销售某种商品的经验表明，该商品的每日销售量（单位：千克）与销售价格（单位：元/千克）满足关系式，其中，为常数，已知销售价格为5元/千克时，每日可销售出该商品11千克。(1)求的值；(2)若该商品的成本为3元/千克，试确定销售价格的值，使得商场每日销售该商品所获得的利润最大。解：(1)因为时，所以。(2)由上可知，商品每日销售量为，所以商品的利润为=，。从而。列表如下：4042由上表可知，是函数在区间内的极大值点，也是最大值点。所以，当时，函数取得最大值，且最大值为42.2.不等式不等式，明知故问就是含有不等号的式子，既然有不等那么就必然有相关联的最值问题，但有什么样的形式呢？又在什么时候取得最值呢？这值得我们深思。下面就中学常见的两种情况分别进行分析研究。2.1线性规划-求目标函数的最值4在学习了线性规划，我们学会一种新的方法线性规划，一般解题步骤是：(1)根据题意，画出二元一次不等式组表示出平面区域，即可行域；(2)观察可行域，找出目标函数的纵截距，最后得出最值。例10:求的最大值，使得式中的，满足约束条件。解：当时，。点在直线：上。做一组与直线平行的直线：，。可知，在经过不等式组所表示的公共区域内的点且平行于的直线中，以经过点的直线所对应的最大。所以。技巧：把可行域中不等式对应函数的交点坐标代人目标函数，即可求出其最大值或最小值。2.2均值不等式（基本不等式）求最值5均值不等式在求最值、解决一些取值范围问题时运用非常广泛，是历年高考考查的重要知识点之一。在实际应用时， 我们应因题而宜地进行变换，并注意等号成立的条件，达到解题的目的，变换题目所给函数的形式，利用熟悉知识求解是常用的解题技巧，熟练运用该技巧，对于提高思维的灵活性和严密性大有益处。定义：均值不等式，即如果，那么（当且仅当时取等号）。运用这一方法，我们可以很简便的把求最值的方法简化，使得解答出问题的同时，也能够节约时间，做的双赢。常见类型：在均值不等式中常见类型有型与型，认真把握住这一要点，对解决含有最值问题很有帮助，下面以后者为例介绍基本解法：例11：当时，求的最大值。 解：从题中发现可以用上述的几种方法解答，但从这节所述，可以从均值不等式入手，把函数问题转化为均值不等式因为，所以，当且仅当时，即时取等号。故所求最大值为。变式：已知为正数且，求的最小值。解：由条件得代换得：当且仅当时取等号，结合，。小结：(1)在解决这一类型的题时需要特别注意的是等号成立的条件，“一正，二定，三相等”。特别是遇到一些函数本身就有取值限制范围时，需要根据函数合理存在的限制取值范围再求函数的最值。(2)这里仅仅是把最基本的一种不等式形式列出，还有其他很多不等式，如三角不等式，柯西不等式等等，不一一列举。中学阶段能够熟练掌握这一简单类型即可。(3)欲灵活应用此法，需要多练习，并在解题的过程中体会总结规律，达到孰能生巧。总之，遇到此类型的题，最重要的是需配出相应的形式。3.几何与最值在几何的海洋中，必定会遇到很多很多图形，又会遇见很多的运动的图形，在静与动的变化中，又是有什么样子的联系呢？在使用解析的方法与几何的方法解决最值问题时，各有所利，那么怎么才能清晰明了的联系在一起呢？这里做出了分类与总结，方便读者的认识与理解。在最近的高考中，空间几何相关的最值问题不常见，也不是考察的重点，这里只做平面上的几何问题的最值分析。3.1知识准备首先必须懂得相关距离的公式：(1)与两点间的距离：；(2)到直线的距离：；(3)与的距离：。3.2与圆有关的最值问题圆是一个比较特殊的图形，它有一种数学中的美，而美又隐含着杀机，就之而言，就需要理清楚其中的关系啦。通常解决问题的方法为数形结合。例12：已知圆：和直线，在圆上求两点，使它们与的距离分别是最近和最远。解：如图，设圆心到直线的距离为，则为最小距离，为最大距离；过圆心且与垂直的直线方程为 ，由它和圆的方程联列方程组即可求得点在圆上，且到直线的距离最近，点在圆上，且到直线的距离最远。小结：解决有关圆的问题，一般涉及到半径，圆心，圆上一点，弦长等情况，利用圆的对称性、切线的性质等，将最值问题转化为与圆心有关的问题，我们要从数形结合的方向理解问题，从而问题迎刃而解。3.3圆锥曲线的有关最值圆锥曲线很多的时候是涉及到最值问题，分条理清思路，有助于更好的解答相似题型。3.3.1抛物线例13：已知抛物线上的动点到直线的最短距离为1，求抛物线的方程。解：点到直线的距离.又点与原点位于直线的同侧，故.由二次函数的性质得：当时，(转化为二次函数的最值问题)又据题设知，解得.所求抛物线的方程为.3.3.2椭圆等圆锥曲线中两条线段的和的最值从定义出发，灵活运用圆锥曲线的有关性质，求解这类题。例14：点和分别是椭圆上的动点和右焦点，定点.(1)求的最小值；(2)求的最小值。解：易知椭圆右焦点为左焦点，离心率，准线方程。(1)=.当三点共线时取最大值.此时.(2)过定点作右准线的垂线，垂足为，则，.于是=.由上可见，当且仅当共线时，取最小值.3.3.3圆锥曲线基本量的最值与范围例15：已知椭圆上的点到它的短轴一个端点的距离最小值在短轴的另一个端点处取到，求椭圆离心率的取值范围。解：=因为，由题意得，当时，函数值最小。故，即，解得。小结：遇到几何问题，根据题意得出相应式子，然后可以转化为相关的函数问题求解。3.3.4面积的最值例16：如图，是抛物线上的点，且直线的倾斜角互补，若直线在轴上的截距为正，求面积的最大值。解：设，则 -得，-得，.直线与的倾斜角互补，故.