27第27讲 矩形与菱形.doc

第27讲 矩形与菱形 本讲重点：矩形、菱形的概念、性质、判定及其应用.【考点链接】1矩形、菱形的定义和从属关系2矩形、菱形的性质边角对角线对称性矩形对边平行且 四个角都是 两条对角线互相平分且 对称，中心对称菱形对边平行，四条边都 对角 两条对角线互相 ，每条对角线平分一组 轴对称， 对称3矩形、菱形的判定矩形(1)有 角是直角的四边形是矩形；(2) 有一个角是 的平行四边形是矩形；(3) 两条对角线 的平行四边形是矩形菱形(1)四条 都相等的四边形是菱形；(2) 有一组邻边 的平行四边形是菱形；(3) 两条对角线互相垂直的 是菱形【典例探究】 考点1 矩形的性质和判定的应用例1(1)（2012山东济南）如图，MON=90，矩形ABCD的顶点A、B分别在边OM，ON上，当B在边ON上运动时，A随之在边OM上运动，矩形ABCD的形状保持不变，其中AB=2，BC=1，运动过程中，点D到点O的最大距离为( )ABC D(2)（2012湖北黄石）如图所示，矩形纸片ABCD中，AB=6cm，BC=8 cm，现将其沿EF对折，使得点C与点A重合，则AF长为( )A. B. C. D. (3)（2012山东济南）如图，在RtABC中，B=90，AB=6，BC=8，以其三边为直径向三角形外作三个半圆，矩形EFGH的各边分别与半圆相切且平行于AB或BC，则矩形EFGH的周长是 解析(1) 如图，取AB的中点E，连接OE、DE、OD，ODOE+DE，当O、D、E三点共线时，点D到点O的距离最大，此时，AB=2，BC=1，OE=AE=AB=1.DE=，OD的最大值为：.故选A.(2) 设AF=xcm，则DF=（8-x）cm，矩形纸片ABCD中，AB=6cm，BC=8cm，现将其沿EF对折，使得点C与点A重合，DF=DF，在RtADF中，AF2=AD2DF2，即x2=62（8x）2，解得：x=.故选B.(3) 取AC的中点O，过点O作MNEF，PQEH，四边形EFGH是矩形，EHPQFG，EFMNGH，E=H=90.PQEF，PQGH，MNEH，MNFG.ABEF，BCFG，ABMNGH，BCPQFG.AL=BL，BK=CK.OL=BC=8=4，OK=AB=6=3，矩形EFGH的各边分别与半圆相切，PL=AB=6=3，KN=BC=8=4.在RtABC中，OM=OQ=AC=5.EH=FG=PQ=PL+OL+OQ=3+4+5=12，EF=GH=MN=OM+OK+NK=5+3+4=12，矩形EFGH的周长是：EF+FG+GH+EH=12+12+12+12=48.备考兵法矩形的一条对角线把矩形分成两个全等的直角三角形；矩形的两条对角线把矩形分成四个全等的等腰三角形.因此，有关矩形的问题往往可化为直角三角形或等腰三角形的问题来解决.考点2 菱形的性质和判定的应用例2(1) （2012山东聊城）如图，矩形ABCD的对角线相交于点O，DEAC，CEBD 求证：四边形OCED是菱形(2) （2012江苏常州）如图，在四边形ABCD中，ADBC，对角线AC的中点为O，过点O作AC的垂直平分线分别与AD、BC相交于点E、F，连接AF.求证：AE=AF.解析(1) 首先根据两对边互相平行的四边形是平行四边形证明四边形OCED是平行四边形，再根据矩形的性质可得OC=OD，即可利用一组邻边相等的平行四边形是菱形判定出结论.证明：DEAC，CEBD，四边形OCED是平行四边形.四边形ABCD是矩形，OC=OD.四边形OCED是菱形.(2)由已知，根据AAS可证得AEOCFO，从而得AE=CF.根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形的判定可得四边形AECF是平行四边形.由EFAC，根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形的判定得平行四边形AECF是菱形.根据菱形四边相等的性质和AE=AF.证明：连接CE.ADBC，AEO=CFO，EAO=FCO，. 又AO=CO，AEOCFO（AAS）.AE=CF.四边形AECF是平行四边形. 又EFAC，平行四边形AECF是菱形.AE=AF.备考兵法在求菱形的边长、角度、对角线长等问题时，通常是在某一个直角三角形中运用勾股定理及有关直角三角形的知识来解决考点3 综合应用例3（2012海南省）如图（1），在矩形ABCD中，把B、D分别翻折，使点B、D分别落在对角线BC上的点E、F处，折痕分别为CM、AN.（1）求证：ANDCBM.（2）请连接MF、NE，证明四边形MFNE是平行四边形，四边形MFNE是菱形吗？请说明理由？（3）P、Q是矩形的边CD、AB上的两点，连结PQ、CQ、MN，如图（2）所示，若PQ=CQ，PQMN.且AB=4，BC=3，求PC的长度.解析（1）由矩形和翻折对称的性质，用ASA即可得到ANDCBM. （2）根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形的判定即可证明. （3）设DN=x，则由SADC=SANDSNAC可得DN=BM=.过点N作NHAB于H，则由勾股定理可得NM=，从而根据平行四边形的性质和已知PQ=CQ，即可求得CQ=.因此，在CBQ中，应用勾股定理求得BQ=1.从而求解.解：（1）证明：四边形ABCD是矩形，D=B，AD=BC，ADBC. DAC=BCA.又由翻折的性质，得DAN=NAF，ECM=BCM，DAN=BCM.ANDCBM（ASA）. （2）证明：ANDCBM，DN=BM.又由翻折的性质，得DN=FN，BM=EM，FN=EM.又NFA=ACDCNF=BACEMA=MEC，FNEM.四边形MFNE是平行四边形.四边形MFNE不是菱形，理由如下：由翻折的性质，得CEM=B=900，在EMF中，FEMEFM.FMEM.四边形MFNE不是菱形.（3）AB=4，BC=3，AC=5.设DN=x，则由SADC=SANDSNAC得3 x5 x=12，解得x=，即DN=BM=.过点N作NHAB于H，则HM=43=1.在NHM中，NH=3，HM=1，由勾股定理，得NM=.PQMN，DCAB，四边形NMQP是平行四边形.NP=MQ，PQ= NM=.又PQ=CQ，CQ=.在CBQ中，CQ=，CB=3，由勾股定理，得BQ=1.NP=MQ=.PC=4=2.备考兵法在解答时，要根据特殊平行四边形的一些特殊规律或添加相应的辅助线，将所求的结论转化在特殊的平行四边形或三角形中思考，要注意寻找图形中隐含的相等的边和角【当堂过关】1. （2012成都）如图在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，下列说法错误的是（）AABDCBAC=BDCACBDDOA=OC解析菱形的对角线不一定相等.答案B2. （2012山东滨州）菱形的周长为8cm，高为1cm，则该菱形两邻角度数比为（ ）A3：1B4：1C5：1D6：1解析根据已知可得到菱形的边长为2cm，从而可得到高所对的角为30，相邻的角为150，则该菱形两邻角度数比为5：1.答案C3. （2012山东济宁）如图，将矩形ABCD的四个角向内折起，恰好拼成一个无缝隙无重叠的四边形EFGH，EH=12厘米，EF=16厘米，则边AD的长是( )A12厘米 B16厘米 C20厘米 D28厘米解析设斜线上两个点分别为P、Q，P点是B点对折过去的，EPH为直角，AEHPEH.HEA=PEH.同理PEF=BEF.这四个角互补.PEH+PEF=90，四边形EFGH是矩形，DHGBFE，HEF是直角三角形.BF=DH=PF.AH=HP，AD=HF.EH=12cm，EF=16cm，FH=（cm）.AD=FH= 20cm.答案C4. （2012安顺模拟）已知：如图，O为坐标原点，四边形OABC为矩形，A（10，0），C（0，4），点D是OA的中点，点P在BC上运动，当ODP是腰长为5的等腰三角形时，则P点的坐标为 解析当OD=PD（P在右边）时，过P作PQx轴交x轴于Q，在直角三角形DPQ中，PQ=4，PD=OD=OA=5， DQ=3，故OQ=OD+DQ=5+3=8，则P1（8，4）；当PD=OD（P在左边）时， 过P作PQx轴交x轴于Q，在直角三角形DPQ中，PQ=4，PD=OD=5， QD=3，故OQ=ODQD=53=2，则P2（2，4）；当PO=OD时， 过P作PQx轴交x轴于Q，在直角三角形OPQ中，OP=OD=5，PQ=4， OQ=3，则P3（3，4）答案（2，4）或（3，4）或（8，4）5. (2011湖州) 如图已知E、F分别是ABCD的边BC、AD上的点，且BE=DF(1) 求证：四边形AECF是平行四边形；(2) 若BC10，BAC90，且四边形AECF是菱形，求BE的长 解：（1）证明：四边形ABCD是平行四边形，ADBC，且AD=BC，AFEC，BE=DF，AF=EC，四边形AECF是平行四边形.（2）四边形AECF是，AECE，12，BAC90，3902，4901，34，AEBE，BEAECEBC5.6. （2012山东济宁）如图，AD是ABC的角平分线，过点D作DEAB，DFAC，分别交AC、AB于点E和F（1）在图中画出线段DE和DF；（2）连接EF，则线段AD和EF互相垂直平分，这是为什么？解：（1）如图所示；（2）DEAB，DFAC，四边形AEDF是平行四边形.AD是ABC的角平分线，FAD=EAD.ABDE，FAD=EDA.EAD=EDA.EA=ED.平行四边形AEDF是菱形.AD与EF互相垂直平分.7. （2011宁波市）如图，在ABCD中，E、F分别为边ABCD的中点，BD是对角线，过A点作AGDB交CB的延长线于点G（1）求证：DEBF；（2）若G90，求证四边形DEBF是菱形解：（1）ABCD 中，ABCD，ABCD，E、F分别为AB、CD的中点，DFDC，BEAB，DFBE，DFBE.四边形DEBF为平行四边形，DEBF.(2)证明：AGBD，GDBC90，DBC 为直角三角形.又F为边CD的中点，BFDCDF.又四边形DEBF为平行四边形，四边形DEBF是菱形.8. （2012江苏南通）如图，菱形ABCD中，B60，点E在边BC上，点F在边CD上(1)如图1，若E是BC的中点，AEF60，求证：BEDF；(2)如图2，若EAF60，求证：AEF是等边三角形证明：（1）连接AC.菱形ABCD中，B=60，AB=BC=CD，C=180B=120.ABC是等边三角形.E是BC的中点，AEBC.AEF=60，FEC=90AEF=30.CFE=180FECC=18030120=30.FEC=CFE.EC=CF.BE=DF.（2）连接AC.四边形ABCD是菱形，B=60，AB=BC，D=B=60，ACB=ACF.ABC是等边三角形.AB=AC，ACB=60.B=ACF=60.ADBC，AEB=EAD=EAF+FAD=60+FAD，AFC=D+FAD=60+FAD.AEB=AFC.在ABE和AFC中，B=ACF，AEB=AFC， AB=AC， ABEACF（AAS）.AE=AF.EAF=60，AEF是等边三角形.【浙江两年中考】1. （2012杭州）已知一个底面为菱形的直棱柱，高为10cm，体积为150cm3，则这个棱柱的下底面积为 cm2；若该棱柱侧面展开图的面积为200cm2，记底面菱形的顶点依次为A，B，C，D，AE是BC边上的高，则CE的长为 cm解析底面为菱形的直棱柱，高为10cm，体积为150cm3，这个棱柱的下底面积为：15010=15（cm2）.该棱柱侧面展开图的面积为200cm2，高为10cm，底面菱形的周长为：20010=20（cm）.AB=BC=CD=AD=204=5（cm），AE=S菱形ABCDBC=155=3（cm）.BE=4（cm）.EC=BCBE=54=1（cm）.答案15，12. （2012湖州）如图，将正ABC分割成m个边长为1的小正三角形和一个黑色菱形，这个黑色菱形可分割成n个边长为1的小三角形，若，则ABC的边长是 .解析设正ABC的边长为x，则由勾股定理，得高为，.所分成的都是正三角形，根据锐角三角函数定义，可得黑色菱形的较长的对角线为 ，较短的对角线为.黑色菱形的面积=.，整理得，11x2144x144=0.解得（不符合题意，舍去），x2=12.所以，ABC的边长是12.答案123. （2012温州）如图，ABC中，B=90，AB=6cm，BC=8cm，将ABC沿射线BC方向平移10cm，得到DEF，A，B，C的对应点分别是D,E,F，连结AD，求证：四边形ACFD是菱形.证明：由平移变换的性质得，CF=AD=10，DF=AC.B=90，AB=6，BC=8，.AC=DF=AD=CF=10.四边形ACFD是菱形.4. （2012嘉兴）如图，已知菱形ABCD的对角线相交于点O，延长AB至点E，使BE=AB，连接CE（1）求证：BD=EC；（2）若E=50，求BAO的大小解：（1）证明：四边形ABCD是菱形，AB=CD，ABCD. 又BE=AB，BE=CD，BECD.四边形BECD是平行四边形.BD=EC.（2）四边形BECD是平行四边形，BDCE，ABO=E=50.5. （2012衢州）课本中，把长与宽之比为的矩形纸片称为标准纸请思考解决下列问题：（1）将一张标准纸ABCD（ABBC）对开，如图1所示，所得的矩形纸片ABEF是标准纸请给予证明（2）在一次综合实践课上，小明尝试着将矩形纸片ABCD（ABBC）进行如下操作：第一步：沿过A点的直线折叠，使B点落在AD边上点F处，折痕为AE（如图2甲）；第二步：沿过D点的直线折叠，使C点落在AD边上点N处，折痕为DG（如图2乙），此时E点恰好落在AE边上的点M处；第三步：沿直线DM折叠（如图2丙），此时点G恰好与N点重合请你探究：矩形纸片ABCD是否是一张标准纸？请说明理由（3）不难发现：将一张标准纸按如图3一次又一次对开后，所得的矩形纸片都是标准纸现有一张标准纸ABCD，AB=1，BC=，问第5次对开后所得标准纸的周长是多少？探索直接写出第2012次对开后所得标准纸的周长解：（1）证明： 矩形ABCD是标准纸，.由对开的含义知：AF=BC，.矩形纸片ABEF也是标准纸.（3）对开次数：第一次，周长为：，第二次，周长为：，第三次，周长为：，第四次，周长为：，第五次，周长为：，第六次，周长为：，第5次对开后所得标准纸的周长是：，第2012次对开后所得标准纸的周长为：.【命题趋势提醒】考查特殊的平行四边形时，可能出简单的填空、选择，考查它们的判定条件时多以开放型试题出现的较多，或利用性质计算等；一般情况下有关平行四边形的试题多数为解答题，它将把几种四边形综合在一起，有时也将三角形的知识添加进来，题型比较灵活.【迎考精炼】一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分.每小题只有一个选项是正确的，不选，多选，错选均不给分）1. （2012无锡模拟）菱形具有而矩形不一定具有的性质是（）A对角线互相垂直B对角线相等C对角线互相平分D对角互补解析菱形对角线相互垂直，而矩形的对角线则不垂直.答案A2. （2012江苏南通）如图，矩形ABCD的对角线AC8cm，AOD120，则AB的长为( )Acm B2cm C2cm D4cm解析 AO=BO=AC=4cm，AOD=120，AOB=180120=60.AOB是等边三角形.AB=AO=4cm.答案D3. （2012四川内江）如图，在矩形ABCD中，AB=10，BC=5点E、F分别在AB、CD上，将矩形ABCD沿EF折叠，使点A、D分别落在矩形ABCD外部的点A1、D1处，则阴影部分图形的周长为( )A.15 B.20 C.25 D.30解析A1E=AE，A1D1=AD，D1F=DF，则阴影部分的周长即为矩形的周长，为2（10+5）=30.答案D4. （2012贵州黔东南）如图，矩形ABCD边AD沿拆痕AE折叠，使点D落在BC上的F处，已知AB=6，ABF的面积是24，则FC等于( )A1 B2 C3 D4解析B=90，AD=BC.AB=6，SABF=ABBF=6BF=24.BF=8.由折叠的性质：AD=AF=10，BC=AD=10.FC=BCBF=108=2.答案B5. （2012淮安）在菱形ABCD中，AB=5cm，则此菱形的周长为（ ）A. 5cm B. 15cm C. 20cm D. 25cm解析菱形的周长=AB4=20cm答案C6. （2012西宁模拟）用直尺和圆规作一个菱形，如图，能得到四边形ABCD是菱形的依据是（）A、一组临边相等的四边形是菱形 B、四边相等的四边形是菱形C、对角线互相垂直的平行四边形是菱形D、每条对角线平分一组对角的平行四边形是菱形解析由图形作法可知：AD=AB=DC=BC，四边形ABCD是菱形答案B7. （2012临沂模拟）如图ABC中，AC的垂直平分线分别交AC、AB于点D、F，BEDF交DF的延长线于点E，已知A=30，BC=2，AF=BF，则四边形BCDE的面积是（）A、2B、3C、4D、4解析DFBC，C=90，四边形BCDE是矩形A=30，C=90，BC=2，AB=4，AC=2DE=四边形BCDE的面积为2=2答案A8. （2012山西省）如图，已知菱形ABCD的对角线ACBD的长分别为6cm、8cm，AEBC于点E，则AE的长是( )A B C D解析CO=AC=3，BO=BD=，AOBO，.又，BCAE=24，即.答案D9. （2011舟山）如图，五个平行四边形拼成一个含30内角的菱形EFGH（不重叠无缝隙）若四个平行四边形面积的和为14cm2，四边形ABCD面积是11cm2，则四个平行四边形周长的总和为（）（A）48cm（B）36cm （C）24cm（D）18cm解析利用方程求解.答案A10. （2012莱芜模拟）如图，E、F、G、H分别是BD、BC、AC、AD的中点，且AB=CD下列结论：EGFH，四边形EFGH是矩形，HF平分EHG，EG=（BCAD），四边形EFGH是菱形其中正确的个数是（）A、1B、2 C、3D、4解析EF=CD，FG=AB，GH=CD，HE=AB，EF=FG=GH=HE，四边形EFH是菱形，EGFH，正确；四边形EFGH是矩形，错误；HF平分EHG，正确；EG=（BCAD），只有ADBC是才可以成立，而本题AD与BC很显然不平行，故本小题错误；四边形EFGH是菱形，正确综上所述，共3个正确答案C二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分，请将答案填在横线上）11. （2012三明模拟）如图，ABCD中，对角形AC，BD相交于点O，添加一个条件，能使ABCD成为菱形你添加的条件是 （不再添加辅助线和字母）解析菱形的判定方法有三种：定义：一组邻边相等的平行四边形是菱形；四边相等；对角线互相垂直平分的四边形是菱形所以可添加AB=BC或ACBD等.答案AB=BC或ACBD等12. （2012江苏淮安）菱形ABCD中，若对角线长AC8cm，BD=6cm，则边长AB cm.解析由对角线长AC8cm，BD=6cm，得AO4cm，BP=3cm，（cm）.答案513. （2012龙岩模拟）如图，菱形ABCD周长为8cmBAD=60，则AC= cm解析AOB为直角三角形，AB=2，OAB=30，OA=OC，OA=AC=2.答案214. （2012四川凉山）如图，在四边形ABCD中，AC=BD=6，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点，则EG2+FH2= .解析连接EF，FG，GH，EH，EG与FH相交于点O.四边形EFGH为菱形.EGHF，且垂足为O.EG=2OE，FH=2OH.在RtOEH中，根据勾股定理得：OE2+OH2=EH2=9.等式两边同时乘以4得：4OE2+4OH2=94=36. （2OE）2+（2OH）2=36，即EG2+FH2=36.答案3615. （2012宁夏区）如图,在矩形ABCD中，对角线AC、BD相较于O,DEAC于E，EDCEDA=12，且AC=10，则DE的长度是 解析ADC=90，AC=BD=10，OA=OC=AC=5，OB=OD=BD=5.OC=OD，ODC=OCD.EDC：EDA=1：2，EDC+EDA=90，EDC=30，EDA=60.DEAC，DEC=90.DCE=90EDC=60.ODC=OCD=60.COD=60.DE= OD sin 60= .答案16. （2012贵州黔西南）把一张矩形纸片（矩形ABCD）按如图方式折叠，使顶点B和点D重合，折痕为EF，若AB3cm，BC5cm，则重叠部分DEF的面积为 cm 2.解析设ED=x，则根据折叠和矩形的性质，得AE=AE=5x，AD=AB=3.，即，解得.（cm 2）.答案三、解答题（本大题共6小题，共46分.解答应写出文字说明、证明过程或演算过程）17.（6分）(2012河南)如图，在菱形ABCD中，AB=2，,点E是AD边的中点，点M是AB边上一动点（不与点A重合），延长ME交射线CD于点N，连接MD，AN.（1）求证：四边形AMDN是平行四边形；（2）填空：当AM的值为 时，四边形AMDN是矩形；当AM的值为 时，四边形AMDN是菱形.解：（1）证明：四边形ABCD是菱形，NDAM，.又点E是AD中点，DE=AE，NDEMAE, ND=MA.四边形AMDN是平行四边形（2）1；2. 18.（8分）（2012贵州六盘水）如图，已知E是ABCD中BC边的中点，连接AE并延长AE交DC的延长线于点F（1）求证：ABEFCE（2）连接ACBF，若AEC=2ABC，求证：四边形ABFC为矩形证明：（1）四边形ABCD为平行四边形，ABDC.ABE=ECF.又E为BC的中点，BE=CE.在ABE和FCE中，ABE=FCE，BE=CE，AEB=FEC，ABEFCE（ASA）.（2）ABEFCE，AB=CF.又ABCF，四边形ABFC为平行四边形.BE=EC，AE=EF.又AEC=2ABC，且AEC为ABE的外角，AEC=ABC+EAB.ABC=EAB，AE=BE.AE+EF=BE+EC，即AF=BC.四边形ABFC为矩形.19.（8分）（2012四川内江）已知ABC为等边三角形，点D为直线BC上的一动点（点D不与B、C重合），以AD为边作菱形ADEF（A、D、E、F按逆时针排列），使DAF=60，连接CF（1）如图1，当点D在边BC上时，求证：BD=CF；AC=CF+CD；（2）如图2，当点D在边BC的延长线上且其他条件不变时，结论AC=CF+CD是否成立？若不成立，请写出AC、CF、CD之间存在的数量关系，并说明理由；（3）如图3，当点D在边BC的延长线上且其他条件不变时，补全图形，并直接写出AC、CF、CD之间存在的数量关系解：（1）证明：四边形AFED是菱形，AF=AD.ABC是等边三角形，AB=AC=BC，BAC=60=DAF.BACDAC=DAFDAC，即BAD=CAF.在BAD和CAF中， AB=AC，BAD=CAF，AD=AF ，BADCAF（SAS）.CF=BD.CF+CD=BD+CD=BC=AC.即BD=CF，AC=CF+CD.（2）AC=CF+CD不成立，AC、CF、CD之间存在的数量关系是AC=CFCD.理由如下：由（1）知：AB=AC=BC，AD=AF，BAC=DAF=60，BAC+DAC=DAF+DAC，即BAD=CAF.在BAD和CAF中，AC=AB，BAD=CAF ，AD=AF，BADCAF（SAS）.BD=CF.CFCD=BDCD=BC=AC，即AC=CFCD.补全图形如下，AC、CF、CD之间的数量关系为AC=CDCF.20.（8分）（2012广东省）如图，在矩形纸片ABCD中，AB=6，BC=8把BCD沿对角线BD折叠，使点C落在C处，BC交AD于点G；E、F分别是CD和BD上的点，线段EF交AD于点H，把FDE沿EF折叠，使点D落在D处，点D恰好与点A重合（1）求证：ABGCDG；（2）求tanABG的值；（3）求EF的长解：（1）证明：BDC由BDC翻折而成，C=BAG=90，CD=AB=CD，AGB=DGC，ABG=ADE.在ABGCDG中，BAG=C，AB= CD，ABG=AD C，ABGCDG（ASA）.（2）由（1）可知ABGCDG，GD=GB，AG+GB=AD.设AG=x，则GB=8x，在RtABG中，AB2+AG2=BG2，即62+x2=（8x）2，解得x=.（3）AEF是DEF翻折而成，EF垂直平分AD.HD=AD=4.tanABG=tanADE=.EH=HD=4.EF垂直平分AD，ABA