第3章315知能优化训练.doc

1给出下列几个式子：a|a|a2(ab)2a2b2(ab)ca(bc)|ab|a|b|其中正确的是_答案：2.(2011年高考辽宁卷)如图，四棱锥SABCD的底面为正方形，SD底面ABCD，则下列结论中不正确的是_ACSBAB平面SCDSA与平面SBD所成的角等于SC与平面SBD所成的角AB与SC所成的角等于DC与SA所成的角解析：易证AC平面SBD，因而ACSB，正确；ABDC，DC平面SCD，故AB平面SCD，正确；由于SA，SC与平面SBD的相对位置一样，因而所成的角相同答案：3在ABC中，已知(2,4,0)，(1,3,0)，则ABC_.解析：(2，4,0)，(1,3,0)，212010，| 2，|.cos，.ABC135.答案：1354(2011年高考重庆卷)已知单位向量e1，e2的夹角为60，则|2e1e2|_.解析：|2ee2|24e4e1e2e4411cos6013，|2e1e2|.答案：一、填空题1已知a(x,2,0)，b(3,2x，x2)，且a与b的夹角为钝角，则x的取值范围是_解析：cosa，b，夹角为钝角，cosa，b0，且a，b不共线，3x2(2x)0，x4.答案：x42设a，b，c是单位向量，且ab0，则(ac)(bc)的最小值为_解析：ab0，且a，b，c均为单位向量，|ab|，|c|1，(ac)(bc)ab(ab)cc2.设ab与c的夹角为，则(ac)(bc)1|ab|c|cos 1cos .故(ac)(bc)的最小值为1.答案：13若向量a与b不共线，ab0，且ca()b，则向量a与c的夹角为_解析：acaa()baa()baaaaa0，ac.答案：904设向量a，b，c满足abc0，(ab)c，ab，若|a|1，则|a|2|b|2|c|2的值是_解析：由已知，可得ab0，acbc.由a(abc)0，可得acbc1，将(abc)20展开，求得|a|2|b|2|c|24.答案：45已知a(cos，1，sin)，b(sin，1，cos)，则向量ab与ab的夹角是_解析：|a|b|，且ab与ab是以a，b为邻边的正方形的两条对角线，ab与ab的夹角为90.答案：906已知a(1，2)，b(2，1,2)，若a，b夹角的余弦值为，则_.解析：ab246，|a|，|b|3，则63，整理得3(6)8，解得2或.答案：2或7已知三点A(1，2,11)，B(4,2,3)，C(6，1,4)，则三角形ABC的形状是_解析：(3,4，8)，(2，3,1)，(5,1，7)|，|，|，|2|2|2，ABC是以角C为直角的直角三角形答案：直角三角形8设A、B、C、D是空间不共面的四点，且满足0，0，0，则BCD的形状是_解析：0，0，0，AB、AC、AD两两垂直BC2AB2AC2，CD2AC2AD2，BD2AB2AD2.BC2CD2BD2，CD2BC2BD2，BD2BC2CD2.结合余弦定理可知BCD的各内角均为锐角BCD是锐角三角形答案：锐角三角形二、解答题9已知向量a(4，2，4)，b(6，3,2)求：(1)ab；(2)|a|；(3)|b|；(4)(2a3b)(a2b)解：(1)ab46(2)(3)(4)222.(2)|a|6.(3)|b|7.(4)(2a3b)(a2b)2a23ab4ab6b226222672244.10在正方体ABCDA1B1C1D1中，E1，F1分别是A1B1，C1D1的一个四等分点，求BE1与DF1所成角的余弦值解：如图所示，不妨设正方体的棱长为1，分别以，为单位正交基底建立空间直角坐标系Oxyz，则B(1,1,0)，E1(1，1)，D(0,0,0)，F1(0，1)，所以(1，1)(1,1,0)(0，1)，(0，1)(0,0,0)(0，1)，00()11.所以cos，.因此，BE1与DF1所成角的余弦值是.11已知空间三点A(0,2,3)，B(2,1,6)，C(1，1,5)(1)求以，为邻边的平行四边形的面积；(2)若|a|，且a与，均垂直，求向量a的坐标解：(1)由题意，可得：(2，