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第一章 3 平均值不等式一、选择题1设0ab，ab1，则下列不等式正确的是()ab2ab a2b2b2abba2b2 c2aba2b2b d2aba2b2 b解析：0ab，且ab1，0ab1，a2b22ab，ba2b2，且 b.故2aba2b2b .答案：c2设a，b，cr，则“abc1”是“abc”的()a充分条件但不是必要条件b必要条件但不是充分条件c充分必要条件d既不充分也不必要的条件解析：当abc2时，有abc，但abc1，所以必要性不成立；当abc1时，abc，所以充分性成立，故“abc1”是“abc”的充分不必要条件答案：a3已知x0，y0，x2y2xy8，则x2y的最小值是()a3b4c. d.解析：2xyx(2y)2，8x2y2xyx2y2，即(x2y)24(x2y)320.又x0，y0，x2y4.当且仅当x2，y1时取等号，即x2y的最小值是4.答案：b4对于x，不等式16恒成立，则正数p的取值范围为()a(，9 b(9,9c(，9 d9，)解析：令tsin2x，则cos2x1t.又x，t(0,1)不等式16可化为p(1t)，而y(1t)17172 9，当16t，即t时取等号，因此原不等式恒成立，只需p9.答案：d二、填空题5若x，y是正数，则22的最小值是_解析：原式x2y2.x0，y0，原式2224，当且仅当xy时，等号成立答案：46已知a，br，则_.解析：336 9.答案：97已知二次函数f(x)ax22xc(xr)的值域为0，)，则的最小值为_解析：f(x)ax22xc(xr)的值域为0，)，a0.c0.c.a2a224，当且仅当a，即a1时取等号答案：48x，y0，xy1，则的最小值为_解析：xy，因为x，y0，且xy1xy.(当且仅当xy时取等号)以xy为整体，xy在(0，上单调递减，故xy，min，当且仅当xy时取得，对22，当且仅当xy时取得，故的最小值为.答案：三、解答题9设a，b，x，yr，且有a2b23，x2y26，求axby的最大值解：a2y2b2x22aybx，(a2b2)(x2y2)(axby)2，当且仅当aybx时取等号axby3，当且仅当axby且a2b23且x2y26时，等号成立10(江苏高考)已知x0，y0，证明：(1xy2)(1x2y)9xy.解：因为x0，y0，所以1xy230，1x2y30，故(1xy2)(1x2y)339xy.11x，y，a，b均为正实数，x，y为变数，a，b为常数，且ab10，1，xy的最小值为18，求a，b.解：xy0，a0，b0且1，xy(xy
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