计算方法类数值分析论文.doc

常微分方程的描述在运用微积分的知识去解决一些问题时，根据科学定律和原理，常常会得到这样一些方程，它们联系着自变量和未知函数以及未知函数的某些微商，称之为微分方程。一个微分方程，如果其中的未知函数只与一个自变量有关，则称为常微分方程。常微分方程的数值解法的基本思想与途径就是寻求解在一系列离散节点上的近似值，其中步长，节点为，采取步进式求解过程顺着节点排列的次序一步一步向前推进，建立递推公式(见文献9)。其执行的程序是：(1) 从初始点开始，沿着通过点的切线移动一小段距离，取该点为点。(2) 在点处改变方向，并且现在从新起点再沿着过点的切线移动一小段距离，将终点作为下次的起点。(3) 在点再次改变方向，现在沿点再次沿着通过点的切线移动一小段距离，将终点取为下一次的起点。(4) 如此反复执行，得到一条多边形曲线，它由连接点序列的直线段构成。如果沿着斜线段经过的每个“小距离”是非常小的，以至于连肉眼都不能辨别组成多边形曲线的单个直线段部分，则形成的多边形曲线也就近似的接近于微分方程的光滑的连续变化的解曲线。图 逼近解曲线的开始几步常微分方程初值问题数值解法构造 用差商替代导数的离散方法在常微分方程初值问题中，如果点处的导数用点处的差商近似代替，即， 即，式中。又因为得，用近似值，分别代替上式的，由此，构造出初值问题离散方程 泰勒展开的离散方法设是微分方程的的一个解，且函数充分可微，则可利用泰勒展开式将方程离散化。设在点处的泰勒展开式为 取上式的线性部分，并注意到，得同样用近似值，分别代替，可构造出初值问题的离散化方程 数值积分的离散化方法将微分方程的初值问题式两边在区间上积分得 即再将右边积分利用数值积分公式计算其近似值得用近似值，分别代替，同样可构造出初值问题的离散化方程 欧拉方法从上述几种方法看，都能构造出同样形式的离散化方程，称此方程为欧拉公式，利用欧拉公式求常微分方程数值解的方法称为欧拉方法。根据此方程，从初始点开始， ， ，应用公式在一条近似的曲线上计算出点，。常微分方程的数值解法就是把连续的初值问题进行离散化的方法，其特点是只要初值问题的右端函数是可计算的，就能够应用数值方法，因此，具有通用性。在数值解法构造中，我们所用的差商代替法是向前差商，如果用向后差商代替方程中的，并用近似值表示，表示得 此方程便是隐式欧拉公式。不难发现，欧拉公式是关于的显示，即只要已知，经过一次计算便可得的值，而隐式欧拉公式是以的隐式方程给出，不能直接得到。所以在实际应用中通常不会运用隐式欧拉公式。常微分方程数值解法误差分析常微分方程的数值解法是用每一离散结点的估计值来代替精确值，这必然会产生一定的误差。而在科学计算中，经常要求误差不能过大，这就要求我们在用数值解法时应尽量使误差控制在一定的范围内。从而决定了我们要对上述的数值方法的误差进行研究(见文献10)。设是微分方程的精确解，并假设处的值没有误差，即，那么方程的局部截断误差为 将在处泰勒展开，并用代替得 对于隐式欧拉公式 从上两式我们可以知道，数值解法的误差是，那么我们会想只要我们将步长取得充分的小，就能够确保误差充分小。但在实际应用时，我们不可能将取得非常小，因为取得越小，迭代的次数就也多，计算也就越复杂，计算所需的时间就越长。同时，由于在每次计算中只有有限多的有效位数，计算机在解每一步当中，会产生舍入误差，而越小所产生的舍入误差的累积影响要远远超过越大时的累积误差。所以，我们应该通过改进该方法，使在相同的步长下，每一步解的误差更小，求得的解更精确。常微分方程数值解法的改进 改进的欧拉方法其实，原数值解法是不对称的，它只把在区间一端点解曲线的预测斜率作为整个区间上解的真实斜率。如果我们将左右两端点斜率和的平均值作为整个区间上的真实斜率，即将欧拉公式与隐式欧拉公式进行算术平均，那么估计值与精确值的误差就会大大的减少，这种方法我们称之为改进的欧拉方法，也叫梯形法。梯形公式： 不难发现，改进的欧拉方法同样不能直接得到。 预估-校正法给定初值问题，假设对步长执行步以后，已经得到在点的真值的逼近值，可以用欧拉方法来获得在点的解的真值的一个初步估计，称之为而不是，则 既然，可取作为解曲线在点的斜率的第二个估计。取作为在区间的近似平均斜率，那么即 该式称为预估-校正法。改进的数值解法误差分析对于改进的数值解法，我们也可以通过它的误差分析，来说明该方法比原数值解法所求值的精度更高(见文献11)。对于梯形公式： 所以