【步步高 江苏专用(理)】2014届高三数学《大二轮专题复习与增分策略》专题五 第2.doc

第2讲椭圆、双曲线、抛物线【高考考情解读】高考对本节知识的考查主要有以下两种形式：1.以填空的形式考查，主要考查圆锥曲线的标准方程、性质(特别是离心率)，以及圆锥曲线之间的关系，突出考查基础知识、基本技能，属于基础题.2.以解答题的形式考查，主要考查圆锥曲线的定义、性质及标准方程的求解，常常在知识的交汇点处命题，有时以探究的形式出现，有时以证明题的形式出现该部分题目多数为综合性问题，考查学生分析问题、解决问题的能力，综合运用知识的能力等，属于中、高档题圆锥曲线的定义、标准方程与几何性质名称椭圆双曲线抛物线定义PF1PF22a(2a F1F2)|PF1PF2|2a(2ab0)1(a0，b0)y22px(p0)图形几何性质范围|x|a，|y|b|x|ax0顶点(a,0)，(0，b)(a,0)(0,0)对称性关于x轴，y轴和原点对称关于x轴对称焦点(c,0)(，0)轴长轴长2a，短轴长2b实轴长2a，虚轴长2b离心率e (0e1)e1准线xxx渐近线yx考点一圆锥曲线的定义与标准方程例1(1)设椭圆1和双曲线x21的公共焦点分别为F1、F2，P为这两条曲线的一个交点，则PF1PF2的值等于_(2)已知直线yk(x2)(k0)与抛物线C：y28x相交于A、B两点，F为C的焦点若FA2FB，则k_.答案(1)3(2)解析(1)焦点坐标为(0，2)，由此得m24，故m6.根据椭圆与双曲线的定义可得PF1PF22，PF1PF22，两式平方相减得4PF1PF243，所以PF1PF23.(2)方法一抛物线C：y28x的准线为l：x2，直线yk(x2)(k0)恒过定点P(2,0)如图，过A、B分别作AMl于点M，BNl于点N.由FA2FB，则AM2BN，点B为AP的中点连结OB，则OBAF，OBBF，点B的横坐标为1，故点B的坐标为(1,2)k.方法二如图，由图可知，BBBF，AAAF，又AF2BF，即B是AC的中点与联立可得A(4,4)，B(1,2)kAB. (1)对于圆锥曲线的定义不仅要熟记，还要深入理解细节部分：比如椭圆的定义中要求PF1PF2F1F2，双曲线的定义中要求PF1PF2F1F2，抛物线上的点到焦点的距离与到准线的距离相等的转化(2)注意数形结合，提倡画出合理草图 (1)(2012山东改编)已知椭圆C：1(ab0)的离心率为.双曲线x2y21的渐近线与椭圆C有四个交点，以这四个交点为顶点的四边形的面积为16，则椭圆C的方程为_(2)如图，过抛物线y22px(p0)的焦点F的直线交抛物线于点A，B，交其准线l于点C，若BC2BF，且AF3，则此抛物线的方程为_答案(1)1(2)y23x解析(1)椭圆的离心率为，a2b.椭圆方程为x24y24b2.双曲线x2y21的渐近线方程为xy0，渐近线xy0与椭圆x24y24b2在第一象限的交点为，由圆锥曲线的对称性得四边形在第一象限部分的面积为bb4，b25，a24b220.椭圆C的方程为1.(2)如图，分别过A，B作AA1l于A1，BB1l于B1，由抛物线的定义知，AFAA1，BFBB1，BC2BF，BC2BB1，BCB130，AFx60.连结A1F，则AA1F为等边三角形，过F作FF1AA1于F1，则F1为AA1的中点，设l交x轴于N，则NFA1F1AA1AF，即p，抛物线方程为y23x.考点二圆锥曲线的几何性质例2(1)(2013辽宁改编)已知椭圆C：1(ab0)的左焦点为F，C与过原点的直线相交于A，B两点，连结AF，BF.若AB10，BF8，cosABF，则C的离心率为_(2)(2013江苏)在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的标准方程为1(ab0)，右焦点为F，右准线为l，短轴的一个端点为B，设原点到直线BF的距离为d1，F到l的距离为d2.若d2d1，则椭圆C的离心率为_答案(1)(2)解析(1)在ABF中，由余弦定理得AF2AB2BF22ABBFcosABF，AF21006412836，AF6，从而AB2AF2BF2，则AFBF.cOFAB5，利用椭圆的对称性，设F为右焦点，则BFAF6，2aBFBF14，a7.因此椭圆的离心率e.(2)如图，F(c,0)，B(0，b)，则直线BF的方程为1，即bxcybc0，d1d2c，由已知条件d2d1即，整理得：b2aba20解得，e . 解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于a，b，c的方程或不等式，再根据a，b，c的关系消掉b得到a，c的关系式建立关于a，b，c的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等 (1)已知F是椭圆C的一个焦点，B是短轴的一个端点，线段BF的延长线交C于点D，且B2 F，则C的离心率为_(2)过双曲线1(a0，b0)的左焦点F作圆x2y2的切线，切点为E，延长FE交双曲线右支于点P，若E为PF的中点，则双曲线的离心率为_答案(1)(2)解析(1)设椭圆C的焦点在x轴上，如图，B(0，b)，F(c,0)，D(xD，yD)，则B(c，b)，F(xDc，yD)，B2F，又点D在椭圆C上，1，即e2.e.(2)设c，双曲线的右焦点为F.则PFPF2a，FF2c.E为PF的中点，O为FF的中点，OEPF，且PF2OE.OEPF，OE，PFPF，PFa，PFPF2a3a.PF2PF2FF2，即9a2a24c2，.双曲线的离心率为.考点三圆锥曲线的综合问题例3已知椭圆C：1(ab0)的离心率e，点F为椭圆的右焦点，点A、B分别为椭圆的左、右顶点，点M为椭圆的上顶点，且满足1.(1)求椭圆C的方程；(2)是否存在直线l，当直线l交椭圆于P、Q两点时，使点F恰为PQM的垂心？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由解(1)根据题意得，F(c,0)(c0)，A(a,0)，B(a,0)，M(0，b)，(c，b)，(ac,0)，acc21.又e，ac，c2c21，c21，a22，b21，椭圆C的方程为y21.(2)假设存在满足条件的直线l.kMF1，且MFl，kl1.设直线l的方程为yxm，P(x1，y1)，Q(x2，y2)，由消去y得3x24mx2m220，则有16m212(2m22)0，即m2B0时，表示焦点在y轴上的椭圆；BA0时，表示焦点在x轴上的椭圆；AB0)的焦点弦，F为抛物线的焦点，A(x1，y1)、B(x2，y2)(1)y1y2p2，x1x2；(2)ABx1x2p(为弦AB的倾斜角)；(3)SAOB；(4)为定值；(5)以AB为直径的圆与抛物线的准线相切.1 已知点F是双曲线1(a0，b0)的左焦点，点E是该双曲线的右顶点，过点F且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点，ABE是锐角三角形，则该双曲线的离心率e的取值范围是_答案(1,2)解析由ABx轴，可知ABE为等腰三角形，又ABE是锐角三角形，所以AEB为锐角，即AEF45，于是AFEF，ac，于是c2a2a2ac，即e2e20，解得1e1，从而1eb0)的离心率为e，右焦点为F(c,0)，方程ax2bxc0的两个实根分别为x1和x2，则点P(x1，x2)必在圆x2y22_.(填“内”“外”“上”)答案内解析x1x2，x1x2.xx(x1x2)22x1x2.e，ca，b2a2c2a22a2.xx0)的对称轴上一点A(a,0)(a0)的直线与抛物线相交于M、N两点，自M、N向直线l：xa作垂线，垂足分别为M1、N1.(1)当a时，求证：AM1AN1；(2)记AMM1、AM1N1、ANN1的面积分别为S1、S2、S3.是否存在，使得对任意的a0，都有SS1S3成立？若存在，求出的值；若不存在，说明理由(1)证明当a时，A(，0)为该抛物线的焦点，而l：xa为准线，由抛物线的定义知MAMM1，NANN1，则NN1ANAN1，MM1AMAM1.又NN1ABAN1，MM1ABAM1，则BAN1BAM1NAN1MAM1，而BAN1BAM1NAN1MAM1180，则N1AM1BAN1BAM190，所以AM1AN1.(2)解可设直线MN的方程为xmya，由得y22pmy2pa0.设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则y1y22pm，y1y22pa.S1(x1a)|y1|，S2(2a)|y1y2|，S3(x2a)|y2|，由已知SS1S3恒成立，则4a2(y1y2)2(x1a)(x2a)|y1y2|.(y1y2)2(y1y2)24y1y24p2m28pa，(x1a)(x2a)(my12a)(my22a)m2y1y22ma(y1y2)4a2m2(2pa)2ma2pm4a24a22pam2.则得4a2(4p2m28pa)2pa(4a22pam2)，解得4，即当4时，对任意的a0，都有SS1S3成立(推荐时间：70分钟)一、填空题1 (2013课标全国改编)设抛物线C：y22px(p0)的焦点为F，点M在C上，|MF|5，若以MF为直径的圆过点(0,2)，则C的方程为_答案y24x或y216x解析由题意知：F，抛物线的准线方程为x，则由抛物线的定义知，xM5，设以MF为直径的圆的圆心为，所以圆的方程为22，又因为圆过点(0,2)，所以yM4，又因为点M在C上，所以162p，解得p2或p8，所以抛物线C的方程为y24x或y216x.2 与椭圆1共焦点，离心率互为倒数的双曲线方程是_答案y21解析椭圆1的离心率为，且焦点为(0，2)，所以所求双曲线的焦点为(0，2)且离心率为2，所以c2，2得a1，b2c2a23，故所求双曲线方程是y21.3 (2013江西改编)已知点A(2,0)，抛物线C：x24y的焦点为F，射线FA与抛物线C相交于点M，与其准线相交于点N，则FMMN_.答案1解析由抛物线定义知M到F的距离等于M到准线l的距离MH.即FMMNMHMNFOAF1.4 过双曲线1(a0，b0)的右焦点F，作圆x2y2a2的切线FM交y轴于点P，切圆于点M,2，则双曲线的离心率是_答案解析由已知条件知，点M为直三角形OFP斜边PF的中点，故OFOM，即ca，所以双曲线的离心率为.5 (2013山东改编)抛物线C1：yx2(p0)的焦点与双曲线C2：y21的右焦点的连线交C1于第一象限的点M.若C1在点M处的切线平行于C2的一条渐近线，则p等于_答案解析抛物线C1的标准方程为x22py，其焦点F为，双曲线C2的右焦点F为(2,0)，渐近线方程为yx.由yx得xp，故M.由F、F、M三点共线得p.6 (2012江苏)在平面直角坐标系xOy中，若双曲线1的离心率为，则m的值为_答案2解析建立关于m的方程求解c2mm24，e25，m24m40，m2.7 椭圆M：1(ab0)的左、右焦点分别为F1、F2，P为椭圆M上任一点，且12的最大值的取值范围是c2,3c2，其中c，则椭圆M的离心率e的取值范围是_答案，解析设P(x，y)，F1(c,0)，F2(c,0)，则1(cx，y)，2(cx，y)，12x2y2c2.又x2y2可看作P(x，y)到原点的距离的平方，所以(x2y2)maxa2，所以()maxb2，所以c2b2a2c23c2，即e2，所以e.8 (2013福建)椭圆：1(ab0)的左，右焦点分别为F1，F2，焦距为2c.若直线y(xc)与椭圆的一个交点M满足MF1F22MF2F1，则该椭圆的离心率等于_答案1解析由直线方程为y(xc)，知MF1F260，又MF1F22MF2F1，所以MF2F130，MF1MF2，所以MF1c，MF2c，所以MF1MF2cc2a.即e1.9 (2013辽宁)已知F为双曲线C：1的左焦点，P，Q为C上的点若PQ的长等于虚轴长的2倍，点A(5,0)在线段PQ上，则PQF的周长为_答案44解析由双曲线C的方程，知a3，b4，c5，点A(5,0)是双曲线C的右焦点，且PQQAPA4b16，由双曲线定义，PFPA6，QFQA6.PFQF12PAQA28，因此PQF的周长为PFQFPQ281644.10已知P为椭圆1上的一点，M，N分别为圆(x3)2y21和圆(x3)2y24上的点，则PMPN的最小值为_答案7解析由题意知椭圆的两个焦点F1，F2分别是两圆的圆心，且PF1PF210，从而PMPN的最小值为PF1PF2127.二、解答题11(2013课标全国)平面直角坐标系xOy中，过椭圆M：1(ab0)右焦点的直线xy0交M于A，B两点，P为AB的中点，且OP的斜率为.(1)求M的方程；(2)C，D为M上的两点，若四边形ACBD的对角线CDAB，求四边形ACBD面积的最大值解(1)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则11，得0.因为1，设P(x0，y0)，因为P为AB的中点，且OP的斜率为，所以y0x0，即y1y2(x1x2)所以可以解得a22b2，即a22(a2c2)，即a22c2，又因为c，所以a26，所以M的方程为1.(2)因为CDAB，直线AB方程为xy0，所以设直线CD方程为yxm，将xy0代入1得：3x24x0，即A(0，)，B，所以可得AB；将yxm代入1得：3x24mx2m260，设C(x3，y3)，D(x4，y4)，则CD，又因为16m212(2m26)0，即3mb0)经过点P，离心率e，直线l的方程为x4.(1)求椭圆C的方程；(2)AB是经过右焦点F的任一弦(不经过点P)，设直线AB与直线l相交于点M，记PA、PB、PM的斜率分别为k1、k2、k3.问：是否存在常数，使得k1k2k3？若存在，求的值；若不存在，说明理由解(1)由P在椭圆1上，得1，又e，得a24c2，b23c2，代入得，c21，a24，b23.故椭圆方程为1.(2)设直线AB的方程为yk(x1)，A(x1，y1)，B(x2，y2)由得，(4k23)x28k2x4k2120，x1x2，x1x2.k1k22k2k2k2k1.又将x4代入yk(x1)得M(4,3k)，k3k，k1k22k3.故存在常数2符合题意13已知中心在原点，焦点在x轴上的椭圆C的离心率为，其一个顶点的抛物线x24y的焦