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2005-2006学年第一学期线性代数试卷参考答案一、填空题（每小题3分，共计15分）1. 已知，那么 ；2. 设是4阶方阵，是的伴随矩阵，则 0 ；3. 若齐次线性方程组 有非零解，则 2 ； 4. 设矩阵与相似，则 3 ； 5. 在多项式中，的系数是 6 .二、选择题（每小题3分，共计15分）1. 设是n阶方阵，若，则矩阵中（ ）. 必有一行元素全为 必有两行元素对应成比例 必有一行向量是其余行向量的线性组合 任一行向量是其余行向量的线性组合 2. 设都是阶方阵，则下列结论正确的是（ ）. 若与相似，则与有相同的特征值和特征向量 若与相似，则与都相似于同一个对角阵 若与相似，则与等价 若与等价，则与相似3. 设是齐次线性方程组的基础解系，则（ ）也是的基础解系。 与等价的一个向量组 与等秩的一个向量组 4. 设3阶方阵有3个线性无关的特征向量，是的二重特征值， 则（ ）. 无法确定5. 设二次型，则下列结论正确的是( ).是正定的 的秩是 的秩是 的特征值是三、（10分）计算阶行列式 . 解 按第一列展开，得 . 四、（10分）求下列向量组的一个最大线性无关组并指出能否被线性表示.解 因为，所以或是向量组的最大线性无关组。 不能被线性表示. 五、（12分）当取何值时，线性方程组有解？并求出其通解.解 因为方程组的增广矩阵所以当时，原方程组有解。此时，方程组的增广矩阵故原方程组的通解为，是任意实数.六、（10分）设都是阶方阵，且. 证明：.证 设，其中是维列向量.因为，所以，即是方程组的解向量组.（1）若，则方程组只有零解，从而，故，此时有；（2）若，则方程组的解空间维数为，所以，即. 七、（15分） 求正交变换，将二次型化为标准形，其中.解 二次型的矩阵为，的特征多项式为故的特征值是. 当时，解齐次线性方程组，由得基础解系. 将正交化，令， 再单位化，得. 当时，解齐次线性方程组，由 得基础解系. 单位化得. 所求正交变换为， 并将二次型化为标准形.八、（7分） 设矩阵的特征值为 是的伴随矩阵，是的代数余子式，. 求 (1) ； (2) 的特征值；(3) 计算.解 (1) .(2) 因为的特征值是，所以的特征值为，即 . (3) . 九、（6分）设是阶方阵，其中是维列向量，且满足，证明：(1) 齐次线性方程组仅有零解； (2) 是正定矩阵，其中是的转置矩阵. 证 (1) 因为，所以，即. 设存在一组数，使得， 用左乘两次，得，因为，所以.再用左乘一次，得，因为，所以.此时，为，因为，所以.故向量组线性无关，于是列满秩，因此齐
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