参数方程与极坐标方程复习.doc

教师辅导讲义课 题参数方程和极坐标方程教学目标能够把参数方程、极坐标方程、直角坐标方程三者互化，并学会应用教学内容参数方程基础知识点击：1、 曲线的参数方程在取定的坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x,y都是某个变数t的函数， (1) 并且对于t的每一个允许值，由方程组(1)所确定的点M(x,y)都在这条曲线上，那么方程组(1)叫做这条曲线的参数方程.联系x、y之间关系的变数叫做参变数，简称参数.2、 求曲线的参数方程求曲线参数方程一般程序：(1) 设点：建立适当的直角坐标系，用(x,y)表示曲线上任意一点M的坐标；(2) 选参：选择合适的参数；(3) 表示：依据题设、参数的几何或物理意义，建立参数与x，y的关系 式，并由此分别解出用参数表示的x、y的表达式.(4) 结论：用参数方程的形式表示曲线的方程3、 曲线的普通方程 相对与参数方程来说，把直接确定曲线C上任一点的坐标（x,y）的方程F（x,y）0叫做曲线C的普通方程.4、 参数方程的几个基本问题(1) 消去参数，把参数方程化为普通方程.(2) 由普通方程化为参数方程.(3) 利用参数求点的轨迹方程.(4) 常见曲线的参数方程.5、曲线的普通方程与曲线的参数方程的区别与联系 曲线的普通方程0是相对参数方程而言，它反映了坐标变量与y之间的直接联系；而参数方程 t是通过参数t反映坐标变量与y之间的间接联系.曲线的普通方程中有两个变数，变数的个数比方程的个数多1；曲线的参数方程中，有三个变数两个方程，变数的个数比方程的个数多1个.从这个意义上讲，曲线的普通方程和参数方程是“一致”的.6、 几种常见曲线的参数方程（1）圆的参数方程()圆的参数方程为(为参数)的几何意义为“圆心角”()圆的参数方程是 （为参数）的几何意义为“圆心角”（2）椭圆的参数方程()椭圆 () 的参数方程为 （为参数）()椭圆 ()的参数方程是 （为参数）的几何意义为“离心角”（3）双曲线的参数方程()双曲线 的参数方程为 （为参数）()双曲线的参数方程是 （为参数）的几何意义为“离心角”（4） 抛物线的参数方程 (p0) 的参数方程为 （t为参数） 其中t的几何意义是抛物线上的点与原点连线的斜率的倒数（顶点除外）.例题补充：1将参数方程化为普通方程为（ ） （A）xy1 （B）xy1 （xy0） （C）y （D）y (x0)2.直线与直线xy0的交点到点（1，2）的距离为 。3求下列参数方程所表示的曲线：（1）； （2）变式1：（2005上海高考理6）将参数方程（为参数）化为普通方程，所得方程是_2、（2009上海卢湾二模理7）将参数方程（为参数，）化为普通方程，所得方程是 4 参数方程 (t是参数)表示的图形是（ ）。 （A）直线 （B）射线 （C）线段 （D）圆5.分别在下列两种情况下，把参数方程（其中是常数）化为普通方程：（1），；（2），；6.参数方程表示的曲线的图形是（ ） （A） （B） （C） （D7.参数方程(ab0)表示的曲线是（ ） （A）y轴左侧的半个椭圆 （B）y轴右侧的半个椭圆 （C）x轴上方的半个椭圆 （D）x轴上方的半个椭圆8. 抛物线 (t为参数)，则它在y轴正半轴上的截距是（ ）。 （A）1 （B）2 （C）4 （D）不存在9. 曲线的参数方程为 (0t5)，则曲线是（ ）。 （A）线段 （B）直线 （C）圆 （D）双曲线的一支10斜率为的动直线与圆C: (x1)2y21相交于A、B两点，求弦AB的中点M的轨迹方程。11已知直线和圆； （1）时，证明与总相交。 （2）取何值时，被截得弦长最短，求此弦长12过原点的直线与抛物线y=x22x2相交于A、B两点，则弦AB的中点P的轨迹方程是（ ）。 （A）y=2x22x (|x|) （B）y=2x22x (|x|) （D）y=2x22x (|x|0) (1)过极点,并且与极轴成角的直线的极坐标方程:=; (2)垂直于极轴和极点间的距离为a的直线的极坐标方程:cos=a; (3)平行于极轴和极轴间的距离为a的直线的极坐标方程:sin=a; (4)不过极点,和极轴成角,到极点距离为a的直线的极坐标方程: sin(-)=a.2、圆的极坐标方程(a0) (1)圆心在极点,半径为a的圆的极坐标方程: =a; (2)圆心在(a,0),半径为a的圆的极坐标方程: =2acos; (3)圆心在(a,),半径为a的圆的极坐标方程: =; (4)圆心在(a,),半径为a的圆的极坐标方程: =2asin; (5)圆心在(a,),半径为a的圆的极坐标方程: =; (6)圆心在(a, 0),半径为a的圆的极坐标方程: =2acos(-0).3、极坐标系中的旋转不变性: 曲线f(,+)=0是将曲线f(,)=0绕极点旋转|角(时,按顺 时针方向旋转,时,按逆时针方向旋转)而得到.习题补充：一、直角坐标方程、参数方程与极坐标方程的互化1、(1998年上海)以直角坐标系的原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,若椭圆两焦点的极坐标分别是(1,),(1,),长轴长是4,则此椭圆的直角坐标方程是_.2、(1995年上海)把直角坐标系的原点作为极点,x轴的正半轴作为极轴,并且在两种坐标系中取相同的长度单位.若曲线的极坐标方程是,则它的直角坐标方程是_. 3、(2003全国)圆锥曲线的准线方程是 (A) (B) (C) (D) 4、(1998年全国)曲线的极坐标方程=4sin化成直角坐标方程为 (A) x2+(y+2)2=4 (B) x2+(y-2)2=4 (C) (x-2)2+y2=4 (D) (x+2)2+y2=4 5、(2002北京)已知某曲线的参数方程是(为参数)若以原点为极点,x轴的正半轴为极轴,长度单位不变，建立极坐标系，则该曲线的极坐标方程是(A) (B) (C) (D) 6、(2007海南宁夏)O1和O2的极坐标方程分别为，(I)把O1和O2的极坐标方程化为直角坐标方程；(II)求经过O1，O2交点的直线的直角坐标方程7、(2004北京春)在极坐标系中，圆心在(且过极点的圆的方程为(A) (B) (C)(D) 8、 (1999年上海)极坐标方程52cos2+2-24=0所表示的曲线焦点的极坐标为_.二、判断方程所表示的曲线1、(2007上海高考11)已知圆的方程，为圆上任意一点（不包括原点）。直线的倾斜角为弧度，则的图象大致为 【解】 【解析】 2、(2009上海金山区二模15)极坐标方程：r = 2cosq表示的曲线是( )(A)经过点(1,0)且垂直极轴的直线 (B)圆心为(1, 0)，半径为1的圆 (C)圆心为(1,)，半径为1的圆 (D)经过点(1, )且平行极轴的直线3、(1994年全国)极坐标方程=cos(-)所表示的曲线是 (A) 双曲线 (B)椭圆 (C)抛物线 (D)圆1x01x01x0x014、(2001年全国)极坐标方程=2sin(+)的图形是 (A) (B) (C) (D)变式1、(2002江苏)极坐标方程与=的图形是0x0x0x0x (A) (B) (C) (D)5(1990年全国)极坐标方程4sin2=5所表示的曲线是 (A)圆 (B)椭圆 (C)双曲线的一支 (D)抛物线 变式:1、(1991年三南)极坐标方程4sin2=3表示的曲线是 (A)二条射线 (B)二条相交直线 (C) 圆 (D) 抛物线 2、(1987年全国)极坐标方程=sin+2cos所表示的曲线是 (A)直线 (B)圆 (C)双曲线 (D) 抛物线 3、(2001年广东、河南)极坐标方程2cos2=1所表示的曲线是(A)两条相交直线 (B)圆 (C)椭圆 (D)双曲线 4、(2003北京)极坐标方程表示的曲线是(A)圆 (B)椭圆 (C)抛物线 (D)双曲线 三、判断曲线位置关系 1、(2000年京皖春)直线=和直线sin(-)=1的位置关系 (A) 垂直 (B) 平行 (C) 相交但不垂直 (D) 重合 四、根据条件求直线和圆的极坐标方程1、（2009青浦二模10）在极坐标系中,过圆的圆心,且垂直于极轴的直线的极坐标方程是 2、(1992年上海)在极坐标方程中,与圆=4sin相切的一条直线的方程是 (A) sin=2 (B)cos=2 (C)cos= 4 (D) cos=- 43、(1993年上海)在极坐标方程中,过点M(2,)且平行于极轴的直线的极坐标方程是_. 4、(1994年上海)已知点P的极坐标为(1,),那么过点P且垂直于极轴的直线的极坐标方程为 (A)=1 (B)=cos (C)= (D)=5、 (2002北京春)在极坐标系中,如果一个圆的方程是r=4cosq+6sinq，那么过圆心且与极轴平行的直线方程是(A) rsinq=3 (B) rsinq = 3 (C) rcosq =2 (D) rcosq = 2 6、(2000年全国)以极坐标系中点(1,1)为圆心,1为半径的圆的方程是 (A)=2cos(-) (B)=2sin(-) (C)=2cos(-1) (D)=2sin(-1) 五、求曲线中点的极坐标方程1、 (2003上海)在极坐标系中，定点A(1,),点B在直线上运动，当线段AB最短时，点B的极坐标是_.2、（2009闸北二模10）在极坐标系中，定点A，点B在曲线上运动，当线段AB最短时，点B的极坐标是 3、(2001年京皖蒙春)极坐标系中,圆=4cos+3sin的圆心的坐标是(A) (,arcsin) (B)(5,arcsin) (C)(5,arcsin) (D)(,arcsin)六、求距离1、(2004上海7)在极坐标系中,点M(4,)到直线l:(2cos+sin)=4的距离d= . 2、(2010上海调研试卷12)在极坐标系中，若过点且与极轴垂直的直线交曲线于两点 ， 则 。3、（09虹口二模9）极坐标方程表示的圆:=2cos-2sin的半径长为 4、（09南汇二模8）已知直线的极坐标方程为，则极点到这条直线的距离是 5、（09松江二模8）极坐标系中，曲线和相交于点，则 . 6、(2000年上海)在极坐标系中,若过点(3,0)且与极轴垂直的直线交曲线= 4cos于A、B两点，则|AB|=_. 7、(2004上海)在极坐标系中,点M(4,)到直线:的距离d=_. 8、(2007广东文)在极坐标系中，直线的方程为sin=3，则点(2,)到直线的距离为_. 9、(1992年全国、1996年上海、09徐汇二模)极坐标方程分别是=cos和=sin的两个圆的圆心距是 (A) 2 (B) (C) 1 (D) 10、(1997年全国)已知直线的极坐标方程为sin(+)=,则极点到该直线的距离是_. 七、判定曲线的对称性 例15、(1999年全国)在极坐标系中,曲线= 4sin(