玻色-爱因斯坦统计.doc

玻色-爱因斯坦统计玻色-爱因斯坦统计，适用于被称作玻色子的基本粒子的统计类别，它是指光子、介子，以及W和Z粒子。玻色子拥有整数值的被称为自旋的量子力学特性，并且是“聚集的（gregarious）”，它的意义是能够处于同一状态的玻色子的数量是无限的。所有传递自然界中的基本力的粒子都是玻色子。玻色-爱因斯坦统计在统计力学中，玻色-爱因斯坦统计（更通常的被称为B-E统计）确定了在热平衡下同一的不可分辨的（indistinguishable）玻色子相对于能量状态的统计分布。费米-狄拉克和玻色-爱因斯坦统计适用于量子效应必须考虑和粒子被看作是“不可分辨的”情况下。如果粒子的密度N/Vnq（nq为量子密度），量子效应就显现出来。量子密度就是粒子间距等于热德布罗意波长的时候，即粒子的波函数已经接触但还未重叠时。量子密度依赖于温度；高温会使大多数系统处于经典的限制中，除非它们有非常高的密度比如白矮星。费米-狄拉克统计适用于费米子（服从泡利不相容定律的粒子），玻色-爱因斯坦统计适用于玻色子。在高温或低密度下费米-狄拉克和玻色-爱因斯坦统计都变为麦克斯韦-玻耳兹曼统计。麦克斯韦-玻耳兹曼统计经常被描述为“可分辨的”经典粒子的统计。换句话说，处在状态1的粒子A和处在状态2的粒子B的结构相比于粒子B是状态1和粒子A是状态2是不同的。当沿着这条思路充分展开时，就会导出适当的（玻耳兹曼）对于能量状态的粒子分布，但由于熵也会导出非自然（non-physical）的结果，如吉布斯反论。当认识到所有的粒子实际上都是不可分辨的，这些问题就消失了。这些分布在高温和低密度限制下都会趋近于麦克斯韦-玻耳兹曼分布，而不需要任何额外的假设。麦克斯韦-玻耳兹曼统计对于研究气体非常有用；F-D统计经常用于固体中的电子的研究。同样的，它们都成为半导体设备和电子学理论的基础。玻色子，不同于费米子，不受泡利不相容定律的影响：无限数量的粒子可以同时占据相同的状态。这解释了为什么，在低温下玻色子的表现和费米子非常不同：所有的粒子趋向于聚集在最低的能量状态下，形成所谓的玻色-爱因斯坦凝聚态。B-E统计由玻色于1920年引入光子中，并由爱因斯坦于1924年推广到原子。处于一种能量状态i的粒子数的期望值由B-E统计给出： 其中的，式中：ni 为粒子在状态i的数量gi 状态i的简并度ei 为第i个状态的能量m 为化学势（chemical potential）T 为绝对温度当能量()kT，该式就变成M-B统计。玻色-爱因斯坦统计的推导假设我们有许多能级，以i来标记，每个能级的能量为ei，包括了全部的ni个粒子。假设每个能级包括了gi个不同的子能级，都有相同的能量，而彼此可分辨。例如，两个粒子有不同的动量，在这种情况下它们是可分辨的，但是它们仍可能有相同的能量。和能级i关联的gi值称为该能级的“简并度”。任意数量的玻色子可以占据同一子能级。令w(n,g)为n个粒子在一个能级中的g个子能级的分布方法数。对于一个子能级，只有一种分布方法，因此w(n,1)=1。容易看出n个粒子在两个子能级上有n+1种分布方法，我们写成： 稍微思索就可以看出n个粒子在三个子能级的分布方法数为w(n,3)= w(n,2)+ w(n-1,2)+w(0,2)，所以 这里我们用到了下面包含二项式系数的定理： 继续这个过程，我们可以看出w(n,g)就是一个二项式系数 可以看出，对于一系列的占据数ni，方法数为每一个能够填充的单独能级的方法的乘积： 这里的近似是假设gi1。下面使用和推导麦克斯韦-玻耳兹曼统计同样的方法，我们希望找到在固定粒子数和固定能量的约束下，W最大化所对应的ni序列。 W和ln(W)的最大值都对应一个Ni值，由于数学处理上较为方便，我们将用后者代替前者。我们用如下形式的拉格朗日乘数法（Lagrange multipliers）来约束我们的解： 注1利用gi1的近似，和对阶乘的斯特林近似（），推导出期望的ni。设结果为0，解出产生费米-狄拉克填充数的ni： 注2可以证明在热力学中，这里k为玻耳兹曼常数T为温度。而，这里为化学势，因此最后变为： 注意上式有时写为： 这里的为绝对活性（activity）。光子的玻色-爱因斯坦统计对于光子来说，每一个能级ei对应一个频率ni，而能级简并度gi就是光子的模式数（或称光波模式数）。同时对于光子，m=0。由此可以导出，已知某频率的光子模式数g(n)，和温度T，在该频率下的光子数为： 则分布在每一模式上的平均粒子数为： 上面两式可用于推导普朗克黑体辐射公式。注1：对于所有的粒子在所有的能级上的分布方式数 (1)两边都取自然对数 (2)根据斯特林近似 (3)又有边界条件 即 (4)其中N为系统的总粒子数，E为系统的总能量，ei为每个能级的能