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三角变换例说 江苏省盐城经济开发区中学 三角变换是三角学的重要内容，所有三角问题，计算、求值、化简、证明均离不开恒等变形。通过恒等变形，使学生能熟练牢固地掌握三角函数的基本概念。公式定理，在恒等变形中培养学生的分析问题的能力、计算能力及解题的技能技巧。 三角恒等变形的公式有四组：1.同角三角函数关系式；2.诱导公式；3.加法定理；4.三角形中得正弦定理和余弦定理，要求学生灵活正确地进行恒等变形，除掌握所有公式的内者联系外还需要注意几点：公式成立的条件和使用范围每条公式的作用；公式的各种变形。一. 三角计算题变换三角计算题的变换，紧紧抓住不查表求值关键在变形过程中，使之出现特殊角或使非特殊在变形中消去。 例1. 不查表求：cos40cos80+cos80cos160+cos160cos40解：原式=cos80(cos40+cos160)+cos160cos40 =2cos80cos100cos60 cos20cos40 =1/2 (cos180+cos20)-1/2(cos60+cos20) =3/4例2. 不查表求：解：原式= = =例3. 已知 求 和（为锐角）思路一.用倍角公式时 由基本关系求得再用半角公式可解出思路二 利用方程组 解得 已知一式之值. 求某些三角函数之值。特别当心的是用到基本关系中得平方关系式及半角公式中得根号需注意取正负号的条件。 例4. 已知 求 与 的值 解：式平方加式平方：= 式乘以式得：-= 解之得：=解题时需学生观察，如欲求 需知 和 。 式平方有,式平方有，而 、 、 、相加后转化为数。二、三角函数的求证题。 三角函数求证题分两类，一类是根据中题设条件和题断中角的结构特点，容易找到解题思路二类是充分利用三角形的内角和常常利用正弦定理或余弦定理来求证。例5. 已知 3= 且 求证： 证明： 即 例6. 若, 求证：证明：=对于正确的半角公式有三种形式，尤其是 与 应能熟悉掌握 例7.求证 (*)思路， 如能记住 若 A+B+C=k 则有，则本题中 （x-y）+ (y-z) + (z-x) = 0 得（*）成立， 因此要求学生能熟悉多种变形公式从而提高运算能力和技巧。例8.求证: 证明： 在解三角恒等变形时应能熟练用代数恒等变形的方法、例9. 在 中 求证：（1）（2）在三角形中要掌握好 A+B+C=180 A+B=180- C等互补、互余关系和他们的诱导公式 证明 (1)左式= = 1+ = = = = 1 2左式= = = = 1三角形的问题，还常常利用正弦定理或者余弦定理，将角化成角来解。例10. 在 中(1) 已知 判断其三角形形状2 若 2b=a + c 求证： 解 (1)充分利用余弦定理化边 此三角形为等腰三角形或直角三角形。(2) 2b=a+c 用正弦定理化简 3 三角形变换问题除需要用三角公式，还要用代数几何等解题技巧请记住，他山之石可以攻玉的道理。例11 求证 , 解： 三角知识来源于三角形 作等腰三角形(如图1)使顶角 A=,作BD平分ABC 则BC=BD=AD(令为1) 在 中,AB=2 在中，CD=22 - 2 =AB-CD = AC CD = AD = 1 BC =AB CD4 例12. 证明对于任意 t 复数Z=的模 r = 适合 此题证法很多,下面用几何法证之：解：作直角梯形ABCD（如图2）使 ，则 DE=CE=1且 CE DE 直角梯形直角腰小于等于斜腰，即 例13. 在矩形ABCD中 , BD是对角线 AP BD , PM BC , PN CD , P、M、N 分别是垂足 。 若PM = m ,PN= n , BD =l ,求证： 证明： 如图3设DBC= 则DPN=ADB=BAP=由三角函数的定义知： 在RtBPM 中，PM = BP 在RtABP 中，BP = AB 在RtABD 中，AB = BD 同理可得 : = （1） = （2）（1）+（2）得：+=+ = +） =+=1上面三例是利用平面几何方法解题以下各例是用代数方法解决的。例14. 求证 (1 ) = ( 2 ) ( 3 ) 解： 均为未知数，如能作为某三次方程三根找到这个方程，用韦达定理就能解决关键作出方程。令 且 且 把 且 展开为 的三次方程 而即为此方程三根 根据韦达定理得证例15.求 和 的值解： 如果令 并将每式平方 通过三角恒等变形可得方程 方程组解之得 ，解法关键将x,y转化为二元方程组的两个未知数由于复数与三角相关，复数能用三