不等式的质、证明、基本不等式-答案.doc

腾飞教育网 集合的概念和运算【高考回顾】集合是近代数学的基础，是高考的必考内容，多以较容易的填空题或选择题的形式出现，考察交集、并集、补集运算，有时也以集合为载体考察函数、不等式、方程、曲线等解答题。【知识框图】元素的特征集合的概念集合的分类集合的概念列举法，描述法，图示法集合的表示真子集子集集合相等集合间关系非子集集合的运算与集合间关系交集并集集合的运算补集1.集合有关概念一组对象的全体称为一个集合，其中每个对象叫这个集合的元素。元素与集合的关系：属于“”或不属于“”，取决于对象是否具有集合中元素的属性。集合的表示法：列举法、描述法、韦恩图、数轴、图象。集合的元素性质：确定性、互异性、无序性。集合的分类：有限集、无限集。空集：不含任何元素的集合。2集合与集合的关系：（1）子集：若对任意都有（或对任意都有） 则A是B的子集，记作：。若A是B子集，则说A包含于B，或B包含A。（2） 真子集：若，且存在，则A是B的真子集记作：B。 （3）集合的相等：。AB时，有两种情况：。对任何集合A，有；若，则A。（4）子集的个数：若，则A的子集个数。 3.集合的运算（1）交集：且；（2）并集：或；（3）补集：若,则且。4集合的运算与集合间的关系。【主要方法】（1）求交集、并集、补集，要充分发挥数轴或文氏图的作用； （2）含参数的问题，要有分类讨论的意识，分类讨论时要防止在空集上出问题；（3）集合的化简是实施运算的前提，等价转化常是顺利解题的关键【典例分析】例1. 意图：本题组主要考察集合之间的关系（1）设，集合，则 分析：两个集合相等，它们的元素完全相同，由对应元素相等列方程求出的值。方法：根据集合相等的定义列方程。解：集合， a0， ， ， ， 于是2。说明：从元素0出发，容易得到；如果从元素1出发，那么要分和两种情形讨论，比较繁。 （2）已知集合集合。若，则实数 分析：，的元素属于，有，根据集合元素的互异性，可得或。方法：根据子集的定义，分析对应元素列方程。解：由，得或。由，得。检验，当时，中与相同，不符合集合运算的特征，舍去；当时，满足；当时，满足，所以或。易错点：由和计算出的值以后，不检验填三个值。这里只是的一个必要条件。（3）集合则( )A B C D 分析：研究这两个集合的元素的特征。方法：元素特征分析法。解：中的元素；中的元素。当取遍所有整数时，取遍所有奇数，取遍所有整数，所以，选C。再析：对将分成两类 和，。对将分成四类，,， 易看出，选C。（4）设集合，=对任意实数x恒成立，则下列关系中成立的是A P QB Q PC P=QD PQ=Q分析：先化简集合，再判断集合间的关系。不等式对任意实数x恒成立，由于二次项的系数含有参数，因此要分类讨论明确不等式的类型。方法：分类讨论法。解：Q=m|mx2+4mx40对任意实数x恒成立，当m=0时，40恒成立；当m0时，需=（4m）24m（4）0，解得m 0。综上知，m0，所以Q=m| 1m0，选A。易错点：易忽略对m=0的讨论，应引起大家足够的重视例2.意图：本题组主要考察集合交集、并集、补集的运算（1）已知集合，且，则实数的取值范围是_ . . 分析：在数轴上画出表示集合的图形观察。方法：数形结合法。解：a1x因为AB=R，画数轴可知，实数必须在点1上或在1的左边，所以，有。（2）已知全集U=R, 且则 分析：先化简集合，并在数轴上表示出来，再计算。方法：转化法，数形结合法。解： 所以。（3）若集合，则AB等于 分析：集合的本质是两个函数的值域。方法：直接计算。解：由于函数y = , -1x1是增函数，则其值域为A=-1,1；由于函数y =2,0x1是增函数，则其值域为B=（-,1，所以AB=-1，1。 易错点：没有弄清集合的本质，求两个函数图像的交点组成的集合。（4）设和是两个集合，定义集合，如果，那么等于 分析：本题定义了集合的一种新的运算，关键是要理解定义，集合是由集合中不属于集合的元素组成的集合。先解两个不等式，再求。解：根据对数函数的单调性，易知，而。由定义，可得。易错点：将与补集的概念混淆，不能理解的定义。（5）某班共30人，其中15人喜爱篮球运动，10人喜爱兵乓球运动，8人对这两项运动都不喜爱，则喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为_ _分析：本题为集合运算的应用题。将全班学生集合记为全集，喜爱篮球的学生集合记为集合，喜爱乒乓球的学生集合记为集合，问题即求的元素个数。方法：数形结合法。解：画出Venn图，U 30B 10-x xA 15-x设两者都喜欢的人数为人，则只喜爱篮球的有人，只喜爱乒乓球的有人，由此可得，解得，所以，即所求人数为12人。. 易错点：不能将该实际问题转化为集合的问题来解决。例3.意图：本题组主要考察集合运算与集合关系的等价转化（1）设全集为，在下列条件中，是的充要条件的有（ ）， 个 个 个 个分析：画出的Venn图判断。方法：数形结合法。解：从下图中可以看出都正确，选D。UAB（2）设，若，求实数的值；若，求实数的值。分析：由（1）知，而有两个元素，至多有两个元素，所以。方法：转化法。解：由。由知， 解得。由（1）知，而有两个元素，至多有两个元素，按集合的元素个数分类讨论。方法：转化法，分类讨论法。解：当有0个元素，即，无实根，由，即，解得；当有1个元素时，有唯一实根，由得，此时。当有2个元素时，有两个实根，由知。综上所得。易错点：（1）易遗漏的情形；（2）当中只有一个元素时，易将、-4分别代入方程求出的值，而不加以验证。例4. 意图：本题组主要考查阅读与理解、信息迁移以及学生的学习潜力,考查分析问题和解决问题的能力，属于创新题型。（1）已知非空集合，且若，则，求集合M的个数。分析：若，则，说明集合中的元素是成对出现的，这对元素的和等于10。将元素按和等于10分组，每组中的数要么同属于，要么同不属于。方法：元素特征分析法。解：，且若，则，每组中的数要么同属于，要么同不属于，也就是这五组数可取一组、两组、三组、四组或五组，共有个。 （2）设A是整数集的一个非空子集，对于，如果且，那么是A的一个“孤立元”，给定，由S的3个元素构成的所有集合中，不含“孤立元”的集合共有 个.分析：什么是“孤立元”？依题意可知，必须是没有与相邻的元素，因而无“孤立元”是指在集合中有与相邻的元素.方法：元素特征分析法。解：符合题意的集合是，共6个。（3）设集合， 都是的含两个元素的子集，且满足：对任意的，（，），都有（表示两个数中的较小者），则的最大值是 分析：，说明任两个子集中元素的商是不相等的。在中，因此，只能取一个，只能取一个，只能取一个。方法：元素特征分析法。解：的含两个元素的子集共个，故满足条件的两个元素的集合有个。 说明：解此类问题的关键是要认真审题、理解题意。例5.设，二次函数若的解集为A，求实数的取值范围。意图：本题以函数和不等式为背景考查集合的运算。分析：先解不等式求出集合，再根据，列不等式解得范围。方法：分类讨论法，数形结合法。解：由为二次函数知，令，解得其两根为，由此可知。（1）当时，。画数轴可知，的充要条件是，即，解得。（2）当时，。画数轴可知，的充要条件是，即，解得。综上，使成立的的取值范围为。例6 已知是等差数列，为公差且不为0，和均为实数，它的前n项和记作。设集合，试问下列结论是否正确，如果正确，请给予证明；如果不正确，请举例说明 （1）若以集合中的元素作为点的坐标，则这些点都在同一条直线上；（2）至多有一个元素；（3）当时，一定有。意图：本题以集合为载体考查了数列，解析几何等综合知识，考查学生分析问题、解决问题的能力。方法：方程思想。分析：（1）点都在同一条直线上，这些点的横坐标和纵坐标是否满足一个二元一次方程。解 正确 在等差数列an中，Sn=, 则(a1+an), 这表明点(an,）的坐标适合方程y(x+a1), 于是点(an, )均在直线y=x+a1上 分析：（2）集合分别表示直线和椭圆，至多只有一个元素，即直线与椭圆至多有一个公共点。解：正确 设，则应是方程组的解。由方程组消去y得 2a1x+a12=4(*)，当a1=0时，方程(*)无解，此时AB=；当a10时，方程(*)只有一个解x=,此时，方程组也只有一解, 故上述方程组至多有一解 所以AB至多有一个元素 分析：（3），即（2）中的方程组有解，下面只需确定解的性质。解：不正确 取对一切的有，这时集合中的元素作为点的坐标，其横、纵坐标均为正。另外，由于如果,那么据（2）的结论，AB中至多有一个元素,而, , 这样的,产生矛盾，故时，。所以时，一定有是不正确的 命 题【高考回顾】 高考对四种命题和充要条件的考查，以基本概念为考查对象，以本节知识为工具考查集合、函数、不等式、三角、数列、几何等知识的综合，题型主要是选择题，多为低中档题。【知识框图】互 逆原命题:若p则q逆命题:若q则p否命题:若非p则非q逆否命题:若非q则非p互 为 为互 否逆逆 否互否互否互 逆四种命题充分条件与子集间的关系 必要条件充要条件充要条件【主要方法】1.写一个命题的四种形式，应先分清条件和结论，写成“若，则”的形式；2.判断充要条件关系的四种方法：定义法：若，则是的充分条件，是的必要条件；若，则是的充要条件。利用原命题和逆否命题的等价性来确定。 等价于。利用集合的包含关系：对于集合问题，记条件、对应的集合分别为、若，则是的充分条件，是的必要条件；若，则是的充分不必要条件，是的必要不充分条件；若，则p是q的充要条件；若且，则是的既不充分也不必要条件利用“”传递性【典例分析】例1.意图：本题组主要考查命题的四种形式。写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题，并判断真假。（1）当ab=0时，a=0或b=0。分析：联结词“或”的否定是“且”。解：原命题：若ab=0，则a=0或b=0，是真命题；逆命题：若a=0或b=0，则ab=0，是真命题；否命题：若ab0，则a0且b0，是真命题；逆否命题：若a0且b0，则ab0，是真命题。易错点：将“a=0或b=0”的否定形式写为“a0或b0”。（2）若集合与的交集为空集，则、至少有一个为空集。分析：量词“至少有一个”的否定是“不存在”。解：原命题：若集合与的交集为空集，则、至少有一个为空集，是假命题；逆命题：若、至少有一个为空集，则集合与的交集为空集，是真命题；否命题：若集合与的交集不为空集，则、都不为空集，是真命题；逆否命题：若、都不为空集，则集合与的交集不为空集，是假命题。说明：解答本题组需要掌握命题的四种形式及关键词的否定形式。例2意图：本题组主要考查命题的等价性。（1）若命题的逆命题是，命题的否命题为，则以下判断正确的是（ ） 是的逆命题 是的否命题 是的逆否命题 是的关系不定分析：原命题与逆否命题等价，逆命题与否命题等价。方法：等价转化法。解：是的逆命题，是的否命题，所以是的逆否命题，选C。再析：不妨设命题：若则，写出命题：若则和命题：若则，易看出是的逆否命题。（2）设是定义在正整数集上的函数，且满足：“当成立时，总可推出成立”那么，下列命题总成立的是（） 若成立，则当时，均有成立 若成立，则当时，均有成立 若成立，则当时，均有成立 若成立，则当时，均有成立 分析：根据命题的等价性，“当成立时，总可推出成立”等价于“当成立，总可推出成立”。方法：等价转化法。解：对于A，成立，只能推出时，成立，A错误；对于B，成立，只能推出时，成立，B错误；等于C，成立，只能推出时，成立，C错误；对于D，成立，能推出时，成立，D正确，选D。例3已知函数在上为增函数，对命题“若则”，写出逆命题、逆否命题，判断其真假，并证明你的结论。意图：本题主要考查命题的四种形式，命题的等价性和反证法。解：逆命题是：若f (a) + f (b) f (-a) + f (-b)，则a+b0, 真命题。分析：依据函数单调性，可以由两个自变量的大小比较相应函数值的大小，反之亦然。但逆命题的条件中无法确定两个函数的大小，所以用反证法。方法: 反证法，反证法证明命题的步骤是：假设结论不成立由假设推出矛盾假设不成立，即结论成立。证明：假设a+b0, 则ab, ba,f (x) 在R上为增函数，则f (a) f (b) , f (b) f (a)， f (a) + f (b) f (a) + f (b) 这与题设相矛盾，所以逆命题为真。 逆否命题：若f (a) + f (b) f (a) + f (b)，则a+b0，为真命题。分析：因为一个命题等价于它的逆否命题，所以可证明原命题为真命题。方法：等价转化法。证明：a+b0, ab, ba，又 f (x) 在R上是增函数，f (a) f (b)，f (b) f (a)，f (a) + f (b) f (-a) + f (-b)，原命题成立，所以逆否命题为真。 说明：直接证明逆命题很困难，要想到“正难则反”的原则。证明逆否命题也很困难，可以转化为证明原命题。例4. 已知，设命题 P：函数在R上单调递减；命题Q：不等式的解集为R。如果P和Q有且仅有一个正确，求的取值范围.意图：本题主要以函数和不等式为背景考查命题的真假判断。分析：命题有且仅有一个正确，说明一真一假。先求出命题都为真时的范围，再分类讨论。方法：等价转化法，分类讨论法。解：函数在R上单调递减，根据指数函数的性质，知。又不等式 。要使解集是R只有，即。如果正确，且不正确，则；如果不正确，且正确，则。所以，的取值范围是。另解：不等式的解集为函数在R上恒大于1。 函数在上的最小值为，不等式的解集为，以下同上。例5.在平面直角坐标系O中，直线与抛物线2相交于A、B两点 （1）求证：“如果直线过点T（3，0），那么3”是真命题；（2）写出（1）中命题的逆命题，判断它是真命题还是假命题，并说明理由 意图：本题主要考查命题、向量、直线、圆锥曲线的综合问题，考查逻辑推理能力和运算能力；（1）分析：设的坐标，用的坐标表示出3，得到坐标间关系式；设直线的斜率，由直线与抛物线相交，得到横坐标间关系式和纵坐标间关系式（用表示），代入前一关系式中得到关于的方程，研究方程是否有解；方法：待定系数法，方程与转化思想，分类讨论思想； 解：设过点T(3,0)的直线交抛物线y2=2x于点A(x1,y1)、B(x2,y2) ，则。当直线的钭率不存在时,直线的方程为x=3,此时,直线与抛物线相交于点A(3,)、B(3,) =3； 当直线的钭率存在时,设直线的方程为，其中， 由得 又 ，综上所述，命题“如果直线过点T(3,0)，那么=3”是真命题；易错点：遗忘直线的钭率不存在情形。分析：先写出逆命题，再判断真假；解：逆命题是：设直线交抛物线y2=2x于A、B两点,如果=3,那么该直线过点T(3,0) 该命题是假命题 例如：取抛物线上的点A(2,2)，B(,1)，此时=3,直线AB的方程为：，而T(3,0)不在直线AB上；点评：由抛物线y2=2x上的点A (x1,y1)、B (x2,y2) 满足=3，即可得y1y2=6，或y1y2=2，如果y1y2=6，可证得直线AB过点(3,0)；如果y1y2=2，可证得直线AB过点(-1,0),而不过点(3,0) 例6. 意图：本题组以不等式、三角、数列、几何等知识为背景考查充分条件和必要条件方法：对于充分条件和必要条件的判断，就是判断相互间的推出关系。（1）在中，“”是“”的（ ）A充分而不必要条件 B必要而不充分条件C充分必要条件 D既不充分也不必要条件分析：角的大小关系可以转化为对应边的大小关系。解:在中，角的对边分别是是的外接圆的半径一方面，因为，所以, 即 ，亦即 ，从而中另一方面，因为，所以 ，即 ，得，从而中，故中，“”是“” 的充要条件，选C。再析：根据正弦函数的单调性分类讨论。时，；当时，。反之，时，由，得；时，显然；时，矛盾。（2）“”是“对任意的正数，”的（ ）A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件分析：对任意的正数，根据基本不等式，。解：若，则，“”能推出“对任意的正数，”；另一方面，对任意正数，只要，得，“对任意的正数，”不能推出“”，所以选A。（3） “”是“直线平行于直线”的（ ）A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件分析：两条有斜率的直线平行的充要条件是斜率相等且在轴上的截距不相等。解：当时，直线平行于直线，“”能推出“直线平行于直线”；当直线平行于直线时，有，即，“直线平行于直线”也能推出“”，故选C。（4）给定空间中的直线及平面，条件“直线与平面内无数条直线都垂直”是“直线与平面垂直”的（ ）A充分而不必要条件 B必要而不充分条件C充分必要条件 D既不充分也不必要条件分析：一条直线垂直于一个平面的判定定理是这条直线垂直于这个平面内的两条相交直线。解：直线与平面a内的无数条平行直线垂直，直线未必与平面a垂直，即“直线与平面内无数条直线都垂直”不能推出“直线与平面垂直”；直线与平面垂直，那么就垂直于平面内的所有直线，即“直线与平面垂直”能推出“直线与平面内无数条直线都垂直”，所以选B。（5）若数列满足（为正常数，），则称为“等方比数列”甲：数列是等方比数列；乙：数列是等比数列，则（ ）A甲是乙的充分条件但不是必要条件B甲是乙的必要条件但不是充分条件C甲是乙的充要条件D甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件分析：根据等比数列和等方比数列的定义判断。解：若乙：是等比数列，公比为，即，所以是一个常数，所以甲成立，乙能推出甲；反之，若甲：数列是等方比数列，即，则或，即公比不一定为同一个常数，所以不一定是等比数列，甲不能推出乙，故选B。（6）已知是的充分条件而不是必要条件，是的充分条件，是的必要条件，是的必要条件，现有下列命题：是的充要条件； 是的充分条件而不是必要条件；是的必要条件而不是充分条件； 是的必要条件而不是充分条件；prs是的充分条件而不是必要条件.则正确命题的序号是（ ）A.B. C.D.分析：画出间的推出关系图判断。解：由图知，且，正确，不正确；，正确；等价于，正确