导数能力提升高考欣赏.doc

导数及其应用11.（2011年昌平期末文18）已知函数，其中为实数.（1）求导数;（2）若求在-2,3上的最大值和最小值；（3）若在（-和3，上都是递增的，求的取值范围解：（1） 3分 (2) 由可得 又在-2,3上的最小值为-3 .9分(3) 图象开口向上,且恒过点(0,-1)由条件可得: 即: .14分12.（2011年海淀期末文18）已知函数其中.（I）若曲线在处的切线与直线平行，求的值；（II）求函数在区间上的最小值. 解：，. .2分（I）由题意可得，解得， .3分此时，在点处的切线为，与直线平行.故所求值为1. .4分（II）由可得， . 5分当时，在上恒成立 ， 所以在上递增， .6分所以在上的最小值为 . .7分当时，0.10分极小由上表可得在上的最小值为 . .11分当时，在上恒成立，所以在上递减 . .12分所以在上的最小值为 . .13分综上讨论，可知：当时， 在上的最小值为；当时，在上的最小值为；当时，在上的最小值为. 13.（2011年东城区期末文18）已知函数（）求函数的单调区间与极值；（）若对于任意，恒成立，求实数的取值范围解：（）由，可得令，解得因为当或时，；当时，所以的单调递增区间是和，单调递减区间是又，所以当时，函数有极大值；当时，函数有极小值 6分（）由已知对于任意恒成立，所以对于任意恒成立，即 对于任意恒成立.因为，所以（当且仅当时取“=”号）所以的最小值为2 由，得，所以恒成立时，实数的取值范围是13分14.（2011年东城区期末理18）已知函数（）求函数在上的最小值；（）若存在（为自然对数的底数，且）使不等式成立，求实数的取值范围解：（）由，可得， 2分当时，单调递减；当时，单调递增所以函数在上单调递增又，所以函数在上的最小值为 6分（）由题意知，则若存在使不等式成立，只需小于或等于的最大值设，则当时，单调递减；当时，单调递增由，可得所以，当时，的最大值为故 13分15（2011年房山区期末文19）已知函数在时取得极值，曲线在处的切线的斜率为；函数，函数的导函数的最小值为（）求函数的解析式；（）求实数的值；() 求证：解：（），由题意有， -2分解得 -3分函数的解析式为 -4分（），在单调递增， -7分， -9分() ，由（）知，当时， 当时， ， -11分在上是增函数 -12分 -14分16（2011年房山区期末理19）设函数（）求函数的定义域及其导数；（）当时，求函数的单调区间；（）当时，令，若在上的最大值为，求实数的值解：（）由得，即函数的定义域为（0,2）； -2分 -4分（）当时， （1）当时，所以在区间上，故函数的单调递增区间是； -5分（2）当时，令，解得， 当时，即时，在区间上，故函数的单调递增区间是； -7分当时，即时，在区间上， 在区间上，故函数的单调递增区间是，单调递减区间是 -9分 （） 当且时， -11分 即函数在区间上是增函数，故函数在上的最大值为， -12分所以，即 -14分17（2010年海淀期中理19）已知函数（）.（I）当时，求在点处的切线方程；（）求函数在上的最小值.解：（I） 当时， 1分， 3分所以在点处的切线方程为，即5分（II） 6分， 8分当时，在上导函数，所以在上递增，可得的最小值为；10分当时，导函数的符号如下表所示0极小所以的最小值为； 12分当时，在上导函数，所以在上递减，所以的最小值为 14分18.（2011年东城区示范校考试理18）已知函数（1）当时，求曲线处的切线方程；（2）设的两个极值点，的一个零点，且证明：存在实数按照某种顺序排列后构成等差数列，并求（）解：当a=1,b=2时，因为f（x）=（x-1）（3x-5） 2分故 3分f（2）=0, 4分所以f（x）在点（2,0）处的切线方程为y=x - 2 5分（）证明：因为f（x）3（xa）（x），7分由于ab故a所以f（x）的两个极值点为xa，x 9分不妨设x1a，x2，因为x3x1，x3x2，且x3是f（x）的零点，故x3b 10分又因为a2（b），x4（a），所以a，b依次成等差数列， 所以存在实数x4满足题意，且x413分19.（2011年东城区示范校考试理20）已知函数（1）时，求函数的单调区间；（2）求函数在区间上的最小值（）解：当时, ,由得, 解得或注意到,所以函数的单调递增区间是由得,解得,注意到,所以函数的单调递减区间是当时，由得,解得，注意到,所以函数的单调递增区间是由得,解得或，由,所以函数的单调递减区间是综上所述，函数的单调递增区间是，；单调递减区间是， 5分（）当时,，所以7分设当时，有, 此时,所以,在上单调递增 所以 9分当时, 令,即,解得或（舍）;令,即,解得若,即时, 在区间单调递减，所以若,即时, 在区间上单调递减,在区间上单调递增,所以若,即时, 在区间单调递增，所以 13分综上所述,当或时, ; 当时, ;当时, 14分20.（2011年东城区示范校考试文18）设函数（）若曲线在点处与直线相切，求的值；（）求函数的单调区间与极值点解：（） -2分曲线在点处与直线相切，-6分（）,当时，函数在上单调递增，此时函数没有极值点 -9分当时，由，当时，函数单调递增，当时，函数单调递减，当时，函数单调递增，此时是的极大值点，是的极小值点-13分21（2011年西城期末理19）已知函数.()若曲线在和处的切线互相平行，求的值；()求的单调区间；()设，若对任意，均存在，使得，求的取值范围.解：. 2分（），解得. 3分（）. 5分当时， 在区间上，；在区间上，故的单调递增区间是，单调递减区间是. 6分当时， 在区间和上，；在区间上，故的单调递增区间是和，单调递减区间是. 7分当时， 故的单调递增区间是. 8分当时， 在区间和上，；在区间上，故的单调递增区间是和，单调递减区间是. 9分（）由已知，在上有. 10分由已知，由（）可知，当时，在上单调递增，故，所以，解得，故. 11分当时，在上单调递增，在上单调递减，故.由可知，所以， 13分综上所述，. 14分22（2011年西城期末文19）已知函数.()若，求曲线在处切线的斜率；()求的单调区间；（）设，若对任意，均存在，使得，求的取值范围.解：()由已知， 2分.故曲线在处切线的斜率为. 4分(). 5分当时，由于，故，所以，的单调递增区间为. 6分当时，由，得.在区间上，在区间上，所以，函数的单调递增区间为，单调递减区间为. 8分（）由已知，转化为. 9分 10分由()知，当时，在上单调递增，值域为，故不符合题意.(或者举出反例：存在，故不符合题意.) 11分当时，在上单调递增，在上单调递减，故的极大值即为最大值， 13分所以，解得. 14分23.（2011年丰台区期末理19）设函数（I）求的单调区间；（II）当0a2时，求函数在区间上的最小值解：（I）定义域为 1分 3分令，则，所以或 因为定义域为，所以 5分令，则，所以因为定义域为，所以 7分所以函数的单调递增区间为，单调递减区间为 （无定义域扣3分） （II） （） 9分因为0a2，所以，令 可得所以函数在上为减函数，在上为增函数10分当，即时，在区间上，在上为减函数，在上为增函数所以 12分当，即时，在区间上为减函数所以 14分综上所述，当时，；当时，24.（2011年丰台区期末文19）已知函数（）若曲线在点处的切线与x轴平行，求a的值；（）求函数的极值解：（） 3分因为曲线在点处的切线与x轴平行，所以 ，即 4分所以 5分（） 令，则或 6分当，即时，函数在上为增函数，函数无极值点； 7分当，即时+0-0+极大值极小值9分所以 当时，函数有极大值是，当时，函数有极小值是； 10分当，即时+0-0+极大值极小值12分所以 当时，函数有极大值是，当时，函数有极小值是 13分综上所述，当时函数无极值；当时，当时，函数有极大值是，当时，函数有极小值是；当时，当时，函数有极大值是，当时，函数有极小值是25（2011年朝阳期末理17）已知函数 .（）当时，求曲线在点处的切线方程；（）当时，讨论的单调性.（）解：当时，.所以，. （求导、定义域各一分） 2分因此. 即曲线在点处的切线斜率为1. 3分又， 4分所以曲线在点处的切线方程为. 5分（）因为，所以，. 7分令，当时，当时，此时，函数单调递减； 8分当时，此时，函数单调递增. 9分当时，由即解得，. 此时，所以当时，此时，函数单调递减；10分时，此时，函数单调递增；11分时，此时，函数单调递减. 12分综上所述：当时，函数在上单调递减，在上单调递增；当时，函数在上单调递减，在上单调递增；在上单调递减. 13分26（2011年朝阳期末文17）已知函数的图象过点，且在点处的切线方程为.（）求函数的解析式；（）求函数的单调区间.解：（）由的图象经过，知， 1分所以.所以. 3分由在处的切线方程是，知，即，. 5分所以 即 解得. 6分故所求的解析式是. 7分（）因为， 8分令，即，解得 ，. 10分当或时， 11分当时， 12分故在内是增函数，在内是减函数，在内是增函数. 13分27（2011年海淀期末理18）已知函数 ().（）当曲线在处的切线与直线平行时，求的值；（）求函数的单调区间.解：， .2分（I）由题意可得，解得， .3分因为，此时在点处的切线方程为，即，与直线平行，故所求的值为3. .4分（II） 令，得到 ， 由可知 ，即. .5分 即时，.所以,， .6分故的单调递减区间为 . .7分 当时，即，所以，在区间和上，； .8分在区间上，. .9分故 的单调递减区间是和，单调递增区间是. .10分当时， 所以，在区间上； .11分在区间上 ， .12分故的单调递增区间是，单调递减区间是. .13分综上讨论可得：当时，函数的单调递减区间是；当时，函数的单调递减区间是和，单调递增区间是；当时，函数的单调递增区间是，单调递减区间是.28（2011年石景山期末理19）已知函数（）若，求曲线在点处的切线方程；（）求的极值；（）若函数的图象与函数的图象在区间上有公共点，求实数的取值范围解：（） ， 且 1分又， 3分在点处的切线方程为：，即 4分（）的定义域为， 5分令得当时，是增函数；当时，是减函数； 7分在处取得极大值，即 8分（）（i）当，即时，由（）知在上是增函数，在上是减函数，当时，取得最大值，即又当时，当时，当时，所以，的图像与的图像在上有公共点，等价于，解得，又因为，所以 11分（ii）当，即时，在上是增函数，在上的最大值为，原问题等价于，解得，又 无解综上，的取值范围是 13分29（2011年昌平期末理18）已知函数,其中a为实数.（1）若在处有极值，求a的值；（2）若在上是增函数，求a的取值范围。解：（1）由已知得的定义