数学实验大作业---数学曲面.doc

数学曲面一、综述（一）背景人物高斯高斯（Johann Carl Friedrich Gauss）（1777年4月30日1855年2月23日），生于不伦瑞克，卒于哥廷根，德国著名数学家、物理学家、天文学家、大地测量学家。高斯被认为是最重要的数学家，并拥有数学王子的美誉。1792年，15岁的高斯进入Braunschweig学院。在那里，高斯开始对高等数学作研究。独立发现了二项式定理的一般形式、数论上的“二次互反律”（Law of Quadratic Reciprocity)、质数分布定理（prime numer theorem)、及算术几何平均(arithmetic-geometric mean)。1795年高斯进入哥廷根大学。1796年，19岁的高斯得到了一个数学史上极重要的结果，就是正十七边形尺规作图之理论与方法。1855年2月23日清晨，高斯于睡梦中去世。高斯是一对普通夫妇的儿子。他的母亲是一个贫穷石匠的女儿，虽然十分聪明，但却没有接受过教育，近似于文盲。在她成为高斯父亲的第二个妻子之前，她从事女佣工作。他的父亲曾做过园丁，工头，商人的助手和一个小保险公司的评估师。当高斯三岁时便能够纠正他父亲的借债账目的事情，已经成为一个轶事流传至今。他曾说，他在麦仙翁堆上学会计算。能够在头脑中进行复杂的计算，是上帝赐予他一生的天赋。 高斯幼年时就表现出超人的数学天才。11岁时发现了二项式定理，17岁时发明了二次互反律，18岁时发明了正十七边形的尺规作图法，解决了两千多年来悬而未决的难题，他也视此为生平得意之作，还交待要把正十七边形刻在他的墓碑上，但后来他的墓碑上并没有刻上十七边形，而是十七角星，因为负责刻碑的雕刻家认为，正十七边形和圆太像了，大家一定分辨不出来。他发现了质数分布定理、算术平均、几何平均。21岁大学毕业，22岁时获博士学位。1804年被选为英国皇家学会会员。从1807年到1855年逝世，一直担任格丁根大学教授兼格丁根天文台长。在成长过程中。幼年的高斯主要是力于母亲和舅舅。高斯的外祖父是一位石匠，30岁那年死于肺结核，留下了两个孩子：高斯的母亲罗捷雅、舅舅弗利德里希。弗利德里希富有智慧，为人热情而又聪明能干投身于纺织贸易颇有成就。他发现姐姐的儿子聪明伶利，因此他就把一部分精力花在这位小天才身上，用生动活泼的方式开发高斯的智力。若干年后，已成年并成就显赫的高斯回想起舅舅为他所做的一切，深感对他成才之重要，他想到舅舅多产的思想，不无伤感地说，舅舅去世使“我们失去了一位天才”。正是由于弗利德里希慧眼识英才，经常劝导姐夫让孩子向学者方面发展，才使得高斯没有成为园丁或者泥瓦匠。 高斯的数学研究几乎遍及所有领域，在数论、代数学、非欧几何、复变函数和微分几何等方面都做出了开创性的贡献。他还把数学应用于天文学、大地测量学和磁学的研究，发明了最小二乘法原理。十分注重数学的应用，并且在对天文学、大地测量学和磁学的研究中也偏重于用数学方法进行研究。 高斯开辟了许多新的数学领域，从最抽象的代数数论到内蕴几何学，都留下了他的足迹。从研究风格、方法乃至所取得的具体成就方面，他都是1819世纪之交的中坚人物。如果我们把18世纪的数学家想象为一系列的高山峻岭，那么最后一个令人肃然起敬的巅峰就是高斯；如果把19世纪的数学家想象为一条条江河，那么其源头就是高斯。 高斯在曲面研究领域也有成就，很多术语都以他的名字命名，如“高斯博内公式”“高斯-邦尼公式”，曲面的总曲率又称为或“高斯曲率”。他还研究出著名的“高斯“极妙定理”：曲面的主曲率在无伸缩弯曲变形下要发生变化，因而不是内蕴的。但是，主曲率的乘积即总曲率K却在这样的弯曲变形下保持不变，也即曲面的总曲率是内蕴的。1828年他出版了关于曲面的一般研究，全面系统地阐述了空间曲面的微分几何学，并提出内蕴曲面理论。 （二）曲面曲面是一条动线，在给定的条件下，在空间连续运动的轨迹。产生曲线的动线（直线或曲线）称为母线；曲面上任一位置的母线（如BB1、CC1)称为素线，控制母线运动的线、面分别称为导线、导面，在下图中，直线L、曲面A1B1C1N1分别称为直导线和曲导线。根据形成曲面的母线形状，曲面可分为：直线面由直母线运动而形成的曲面。曲线面由曲母线运动而形成的曲面。根据形成曲面的母线运动方式，曲面可分为：回转面由直母线或曲母线绕一固定轴线回转而形成的曲面。非回转面由直母线或曲母线依据固定的导线、导面移动而形成的曲面。曲面是微分几何研究的主要对象之一。直观上，曲面是空间具有二个自由度的点的轨迹。设r=(x,y,z）表示三维欧氏空间E3中点的位置向量，D是二维u-平面的一个区域，映射：r(u，）=(x(u，），y(u，），z(u，）（u，）D) 的像为S。它满足下列条件：r(u，）是Ck阶的，即函数x(u，），y(u，），z(u，）具有直到k阶的连续偏导数，当它们是无穷次可微分函数或是（实）解析函数时，分别称为是C阶和C阶的；r(u，）是一个同胚，即它的逆映射SD存在且连续；r(u，）是正则的，即雅可比矩阵的秩为2，S称为E3的Ck曲面片，C曲面片也称为光滑曲面片，C曲面片称为解析曲面片。设慏为E3中的一个子集，如果对慏中任意点p，都有E3中p的一个开集V，使得V慏是E3中的一个Ck曲面片，则慏 称为E3中的Ck曲面。式称为曲面的参数方程。此外，曲面有时也可用z=?(x,y）或F(x,y,z)=0来表示。 曲面是数学中一个有多种含义的基本数学概念，可以将其用解析表达形式表示出来，按照最常用的数学定义，我们通常把曲面定义为三维欧几里德空间中的一个“二维流形”。我们在一些数学课程的学习中，已经接触和熟悉了平面，球面，双曲面等一些常见的基本曲面，绘制曲面图形相对简单，而在实际应用中我们常常碰到的的是一些复杂的，具有特殊几何性态的特殊曲面，绘图比较困难。MATLAB具有强大的三维图像显示和绘制功能，利用这一功能，我们可以通过函数绘制出各种精确而美观的曲面图像并研究曲面的特性。二、书后练习题11.1 MATLAB语言的预备知识练习1、编写一个程序绘制抛物双曲面z=x2 -y2在区域内的曲面图形。th=linspace(0,2*pi,100);r=linspace(0,5,30);th,r=meshgrid(th,r);x,y=pol2cart(th,r);z=x.2-y.2;h=surf(x,y,z);axis equal;axis off;练习2、在曲面的上方和下方各设置一个光源，前者是红色的平行光源，后者是蓝色的点光源。L1=light;L2=light;set(L1,position,0,0,10,color,1 0 0);set(L2,position,0,0,-10,color,0 0 1);set(L2,style,local);练习3、执行shading interp命令，观察曲面的变化。shading interp;练习4、采用不同的liahting命令，观察曲面图形的视觉变化，特别注意观察光源引起的高光效果。(1)lighting gouraud;(2)lighting phong;(3)lighting flat;(4)lighting none;练习5、执行rotate3d命令，从各个视角观察曲面的整体形状。rotate3d;(1)AZ=-64,EL=2(2)AZ=-90,EL=-90 (3)AZ=-90,EL=90 (4)AZ=-90,EL=0(5)AZ=1,EL=0 (6)AZ=90,EL=0 11.2 几种有趣的数学曲面1.惠特尼伞形曲面思考题 （1）在两个不同的子图上（subplot命令）绘制u=常数及v=常数的一系列曲线，思考数学表达式和曲面的关系，得出你自己的结论。（2） 调整函数的参数变化范围（a,b的取值），观察所引起的曲面形状的变化，并分析产生变化的原因。（3） 由于曲面的底部没有设置光源，因此到视角的俯仰角为负时曲面是黑色的，无法看清形状，试修改程序，在底部的适当位置添加一个光源。3. Klein瓶练习 （1）修改上述命令中的a,b两个参数进行实验，观察这两个参数的变化对曲面形状的影响。（为保证曲面的特征不发生变化，参数a的大小最好不要超过1，在对该参数的作用有一定的了解后在将它调成较大的数。）（2） 分别对后续的五个参数在上述例子命令的范围内进行调整，体会参数曲面表达式中的取值范围的不同对曲面形状产生的作用。（3） 根据所给出的参数曲面表达式分析两个曲面是如何密合地在底部衔接在一起的，其中的原因何在？（4） 取定u,v中的某个参数为常数，让另一个参数在相应的取值范围内变化，在两个子图内分别绘制相应的曲线族（plot3命令），观察它们的图形，体会u,v参数的作用。（5） 修改曲面表达式中的常数项1/2，观察它的选取对曲面形状是影响，写出你的结论。4. 旋转曲面练习 分别编写程序绘制下列的几个旋转曲面，根据观察和理论分析确定它们分别是何种曲面。（1）function lianxifo(a,b,t1,t2,s1,s2)u=linspace(t1,t2,100);v=linspace(s1,s2,100);u,v=meshgrid(u,v);x=a*sqrt(abs(v)*cos(u);y=a*sqrt(abs(v)*sin(u);z=b*v;surf(x,y,z);shading interp;lighting phong;colormap(0.1 0.8 0.8);light;light(position,-6 -5 20,color,0.5 0 0.1);axis equal;axis off;view(-15,35);rotate3d on;运行函数：（1）lianxifo(2,1,0,pi,0,5);（2）lianxifo(2,121,0,2*pi,0,12);（2）function lianxift(a,b,c,t1,t2,s1,s2)u=linspace(t1,t2,100);v=linspace(s1,s2,100);u,v=meshgrid(u,v);x=a*sqrt(abs(v)*cos(u);y=b*sqrt(abs(v)*sin(u);z=c*v;surf(x,y,z);shading interp;lighting phong;colormap(0.1 0.8 0.8);light;light(position,-6 -5 20,color,0.5 0 0.1);axis equal;axis off;view(-15,35);rotate3d on;运行函数:（1）lianxift(2,1,2,0,pi,0,5);（2）lianxift(2,11,2,0,2*pi,0,5);（3）lianxift(2,11,42,0,2*pi,0,115);（3）function lianxiftr(a,b,c,t1,t2,s,h)u=linspace(t1,t2,100);v=linspace(s,h,100);u,v=meshgrid(u,v);x=a*(h-v)*sqrt(abs(v)*cos(u);y=b*(h-v)*sqrt(abs(v)*sin(u);z=c*v;surf(x,y,z);shading interp;lighting phong;colormap(0.1 0.8 0.8);light;light(position,-6 -5 20,color,0.5 0 0.1);axis equal;axis off;view(-15,35);rotate3d on;运行函数:（1）lianxift(2,1,2,0,pi,0,5);（2）lianxiftr(2,11,2,0,2*pi,0,5);（3）lianxiftr(2,11,42,0,2*pi,0,115);5. 涡轮型曲面练习 编写程序绘制如下的柱坐标形式的曲面图形。（1） ,0rR, 02, nN.function lianxifio(r1,r2,t1,t2,n)t=linspace(t1,t2,60);r=linspace(r1,r2,60);t,r=meshgrid(t,r);x,y=pol2cart(t,r);z=sin(exp(r)-n*t);surf(x,y,z);shading interp;lighting phong;colormap(1 .5 0);light;axis equal;axis off;view(0,90);rotate3d on;运行函数:lianxifio(0,5,0,2*pi,2);(2) ,0rR, 02, nN.function lianxifit(r1,r2,t1,t2,n)t=linspace(t1,t2,60);r=linspace(r1,r2,60);t,r=meshgrid(t,r);x,y=pol2cart(t,r);z=cos(sqrt(r2+t2)-n*t);surf(x,y,z);shading interp;lighting phong;colormap(1 .5 0);light;axis equal;axis off;view(0,90);rotate3d on;运行函数:lianxifit(0,5,0,2*pi,2);三、程序功能与使用方法本程序用于展示各种三维的数学曲面，包括伞形曲面，环形曲面，Klein瓶曲面，旋转曲面，伪球面，涡轮形曲面等。当点击右边相应按钮后，可快速直接观察到对应的图形，并且初始默认为加坐标轴，加网格。如果想去掉网格或是坐标轴，可以点击右下方的对应按钮。如果想增加光照，可以点击“添加光源”按钮。回复初始状态，只需再点击对应曲面按钮。左下角是参数调整区，每个方框内的值对应左侧变量的值，每个变量分别属于相应曲面的参数。并且当特定的几个参数被赋值是时，而其余参数为空时，对应特定的一种曲面的参数调整。具体对应关系如下： 参数数学曲面abt 1t 2t 3s 1s 2n伞形曲面非空非空环形曲面非空非空非空非空Klein瓶非空非空非空非空非空非空非空旋转曲面伪球面非空非空非空非空非空非空涡轮形曲面非空非空非空非空非空其中旋转曲面和伪球面参数输入相同，故通过subplot将两个图左右均画出。当用鼠标指向对应的图时，可对改图进行三维旋转。通过不断改变参数，可观察图形的变化情况。并且，当执行过对旋转曲面或伪球面的参数调整后，可将画面分为两部分，鼠标点击过哪个图，接下来就只对该图操作，这样可对后续所有图进行对比分析，包括同一种曲面的不同参数值调整后的对比。使用完后，可通过退出按钮退出。该应用程序存在以下问题：1. 只能对特定的几个典型曲面进行演示，不能让用户自己输入其他方程；2. 用户想输入特定曲面的参数时，不能很好地选择该填的参数对应的空；3. 当画过用户自己设的参数的双曲面和伪球面后，图形的显示区域变为整个窗口，并且被分为左右两个区域，使单个图形的显示范围变小，而且在一个图形颜色变化时，另一个图形颜色也随之改变。建议：可以再增加一方程输入窗口，便可以画用户自己的图形了。四、程序运行实例及思考1.惠特尼伞形曲面如下图图1思考题（1） 图2如图2，当v为常数时，随着u 的变化，曲面将绕着v所确定的轴线向相反的两个面扭曲； 图3如图3,所示，u为常数时，随着v的变化，曲面以z轴为中轴，逐渐收缩。图4（2） 如图4，当a,b变化时，曲面形状不发生变化，a,b范围小时对应的曲面相当于从a,b范围大时的对应曲面上截得的图。2.环形曲面 图6从图6可以看出，t1,t2上限减小时，中间的孔越来越小。3.Klein瓶图7图8由图8可得，在a和其他参数不变时，b越小，瓶越高越瘦。 图9由图9可得，b和其他参数不变时，a越大，瓶柄“越粗，a越小，瓶柄越细。4.旋转曲面(1)“8”字型曲面 图10参数的影响 图11从图11看出，只有a变化时，a越小，图形越高，a越大，图形越矮。图12从图12看出，只有b变化时，b越小，图越粗，b越大，图越细。（2）伪球面图13观察参数变化的影响 图14从图14看出，只有a变化时，a越大，曲面越矮；a越小，曲面越高。图15从图15看出，只有b变化时,b越大，曲面越高，下盘越小；b越小，曲面越矮，下盘越大。5.涡轮型曲面图16 图17从图17可看出，只有t1变化时，t1越小，曲面月圆，t1越大，曲面残缺越多。图18从图18可得，只有t2变化时，t2越大，曲面越圆，t2越小。曲面残缺越多。 图19从图19看出，只有r1变化时，且r1小于6时，r1越大，环形内径越大，r1越小，环形越接近圆。R1再大时，出现相反情况。图20从图20看出，只有r2变化时，r2越大，旋转度越大，r2越小，旋转度越小。6. 默比乌斯曲面n=1；n=0；椭圆作为初始曲线，n=1；星形线旋转后得到的曲面；正弦曲线对应的曲面；正弦曲线对应的曲面，n=2；正弦曲