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文档简介

高数竞赛练习试卷（一）1. 求极限。2. 求极限。3. 设具有二阶连续导数，且，是曲线上点处的切线在轴的截距，求。4. 设在二阶可导，且.求证：。5. 已知，求的表达式。6. 设，其中为连续函数，求，并讨论的连续性。7. 计算。8. 设连续可导，证明：。9. 设非负函数在上连续，且单调上升，与直线及围成图形的面积为，与直线及围成图形的面积为. 证明：存在唯一的,使得. 取何值时两部分面积之和取最小值？ 10. 求函数在点处沿直线 在平面上的投影直线方向的方向导数。11. 已知，证明级数收敛. 12. 计算曲线积分，其中为连结点与点的线段之下方的任意路线，且该路线与线段所围图形的面积为1，是连续可导的函数. 13. 设可微，且. 若存在，使，求； 若，求，使. 14. 设在上有连续的二阶导数，且函数满足：，求在上的最小值。 15.已知当时，有，证明：。16. 计算.其中为连续函数，为平面在第象限部分的上侧。高数竞赛练习试卷（二）一. 已知数列，满足，证明：二. 设，且，求常数.三. 设在内有，且，证明在内有.四. 试问：方程总共有几个实根. 五. 设函数在连续且非负，证明.六. 设函数在上连续，在内可微，且，证明存在，使得：. 七. 设是曲线与轴围成的平面图形，直线把分成和 两部分，若的面积与的面积之比，求平面图形的周长以及绕轴旋转一周所得旋转体的体积. 八. 设，计算积分.九. 求函数的定义域，并证明在定义域内有界.十. 设（）是区域内的光滑曲线，在内有连续的偏导数，若是在上的极值点，证明：在点沿的切线方向导数为零. 十一. 以坐标上的平面曲线段（）绕轴旋转所构成的旋转曲面和坐标面围成一个无盖容器，已知它的底面积为，如果以的速度把水注入容器内，水表面的面积的增大，试求曲线的方程. 十二. 设时，有.十三. 设在全平面内有连续的偏导数，且满足，记，其中是包围原点的正向原点的正向简单闭曲线，证明：.十四. 设是上半空间中任意光滑闭曲面，围成区域，函数， 在上半空间有连续的二阶导数满足，求.十五. 计算，其中，高数竞赛练习试卷（三）一、填空题1、已知在内可导，且，则 。2、设函数是由（）确定，则 。3、设圆锥面的顶点在原点，且三个坐标轴的正半轴都在其上，则圆锥面的方程为 。4、已知，则方程的通解为 。5、已知级数的一般项与前项的和有如下关系：（），且则级数 。6、设（），则 。7、的最小值为 。 8、设是由 ，与围成的区域，则 。二、设函数满足，且对时，有，证明： （1）存在，（2）。三、设在上连续，且， ，证明：存在，使 四、证明：内切于一给定正方形的所有椭圆中，以圆的周长为最大。五、设有二阶连续偏导数，且， 求 的值。六、设在上有连续的二阶导数，且二元函数 满足 ，求在的最大值。七、计算曲面积分，其中是
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