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一 基本概念和重要结果1 Binet-Cauchy公式 设矩阵，则（1）当；（2）当；（3）当2 矩阵秩之间的关系(1)设矩阵，则特别 若|A|0，则， 若AB=0，则 ；(2) (3) 设A为mn 矩阵，则A的任意s行组成的组成的矩阵B有；(4)设A可逆，则；(5) 设，则；(6) ；(7)设A与B是行数相同的矩阵，则(8)若AX=0与BX=0同解，则(9) ；(10) 阶方阵；(11) 矩阵A有一个r阶子式不为零，而所有加边子式为零，则；(12) 若A的一个r阶主子式不为零，r+1阶和r+2阶加边主子式为零，则r（A）=r；(13) 若G为列满秩矩阵，H为行满秩矩阵，则；(14) 。3 可换矩阵设， ，若AB=BA，则B是对角矩阵；A与所有对角形矩阵可换当且仅当A是对角形矩阵；n阶方阵A与所有n阶矩阵可换当且仅当；n阶方阵A与所有n阶可逆矩阵可换当且仅当；设， ，若AB=BA，则， 其中是阶方阵；设，若AB=BA，则；若AB=BA，则对任意一个多项式有 ；若，AB=BA，则B是A的多项式。4 乘法与变换初等矩阵与初等变换：初等矩阵满足行与第j行互换：行乘以k：行乘以k加到第I行：；， 去掉后n-r行（列）或者去掉前n-r行（列）。 ， ； ；=；=二综合习题例1：证明：1）如果A可逆对称（反对称），那么A-1也对称（反对称）。 2）不存在奇数级的可逆反对称矩阵。证明:(1)(2)例2： 设A，B为n 阶方阵，证明:如果,则.证明:例3：设A，B，C是三个n阶方阵，证明：若，则。解：因为，方程组AX=0与方程组（BA）X=0同解，从而方程组（AC）X=0的解是（BAC）X=0的解。反之，若X是（BAC）X=0的解，令CX=X1，则（BA）X1=0，故X1也是方程组AX=0的解，即AX1=0，也就是（AC）X=0，所以（BAC）X=0与（AC）X=0同解，从而。例4：设A与B都是n阶矩阵，若ABE，则A和B互为逆矩阵。由于 AB=E 可逆, A与B均可逆,设A的逆矩阵为A-1,则有B=EB=A-1AB=A-1,由逆矩阵的唯一性知,A和B互为逆矩阵. 设P,Q,G为n阶方阵,若PQG=E,则一定有( ).A. PGQ=E ; B. QGP=E ; C. QPG=E ; D. GPQ=E. 例5设是实对称矩阵, 是实反对称矩阵,且B=BA, A-B可逆. 求证A+B 可逆, 且有例6：若存在正整数kn使n阶方阵A有证明：证明：因为 必有 ，故必有,使得），因而方程组与同解，于是与同解，依次类推就有所以，从而即Ex7：对任意n阶矩阵A和B，都有ABBAE例8:设A、B、C、D都是n阶方阵，且。证明：三学生练习1 填空或选择填空（1）设A为n阶方阵，为其伴随矩阵 。（2）设3阶方阵 。 t4（3）设是A的伴随矩阵，则 。（4）设A，B均为n阶方阵，则下面结论正确的是 。（B）A 若A或B可逆，则AB必可逆；B若A或B不可逆，则AB必不可逆；C若A，B均可逆，则AB必可逆；D若A，B不可逆，则AB必不可逆。（5）设A，B均为n阶方阵，且A（BE）0，则 。（B）A A0或BE；BdetA0或det（BE）0 ； CdetA0或detB1 ；DABA（6）A，B均为n阶非零矩阵，且AB0，则A和B的秩 。（D）A必有一个等于零；B一个等于n一个小于n；C都等于n ；D都小于n。（7）设均为4维列向量，矩阵，且detA3，detB2，则det（2A5B） 。（D）A 4；B1298 ；C1202 ； D108。（8）设A，B均为n阶方阵，则必有 。（A）A det（AB）det（BA）； Bdet（AB）detAdetB ；Cdet（AB）detAdetB；Ddet（detA）B）detAdetB。（9）设n阶方阵A经过初等变换后所得方阵记为B，则 。（D）A detAdetB； BdetAdetB; CdettAdetB0；D若detA0，有detB0。（10）设A，B均为n阶方阵，EAB可逆，则EBA也可逆，且 。（C） A； B ；C； D。1.设A为n阶非奇异矩阵,其伴随矩阵为A*,则(A*)*= .C; 2 已知n阶方阵A满足均可逆，并求出它们得逆矩阵3 设A，B均为n阶方阵，且，证明A可逆，并求其逆。4 设n阶实方阵A0，且，证明A可逆。证：由知知A有非零元素，不妨设为，于是，所以A可逆5 已知。6 设n阶方阵的秩。当时，R（A）n；a1时，R（A）1；当an1时，R（A）n1。7 求下列矩阵的逆矩阵：8 （1）（2）（1）（2）9 已知，求解下列矩阵方程：（1）AXXC；（2）AXBC。（1）10 设A，B均为n阶方阵，（1）证明当A为对称矩阵时，C也为对称矩阵；（2）若A为反对称矩阵，则取何值时，C也为反对称矩阵？（0时C为反对称矩阵）10设，矩阵为A的伴随矩阵，则并证明所得结论。 11.设为反对称矩阵,为对称阵,试证为对称阵. Pro. （） （） （） . 填空题1. 2.已知 3.若A,B均为n阶方阵,且有|A|= - 2 ,|B|=3 ,则 |-A*B-1|= 4.设A是43矩阵且秩为2,