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整体把握几何数学课程“图形分类、性质”主线分析 “图形与几何”提纲：“图形与几何”部分的结构变化“图形与几何”部分的内容分析“图形与几何”部分的内容调整“图形与几何”的核心概念分析一、“图形与几何”部分的结构变化“四主线”变“三主线”图形的认识图形与变换图形与坐标图形与证明图形的性质图形的变化图形与坐标原来课程标准实验稿的几何框架是按照图形的认识、图形与变换、图形与坐标和图形与证明四条主线来划分的，新的课程标准修订稿把四条主线变成三条主线，这三条主线分别是图形的性质、图形的变化、图形与坐标。四条主线变成三条主线，首先是图形的性质这条主线基本上涵盖了原来图形的认识和图形与证明的内容，除了对一些基本图形的认识之外，还包含着对图形一些命题的证明，同时还发展了学生的空间观念和推理能力。第二条主线是图形的变化，原来叫图形与变换或图形的运动，第二条主线的内容就比较丰富了，这里面包含了合同变换图形的轴对称、图形的平移、图形的旋转，以及图形的相似（包括位似），由于和相似关系密切，因此直角三角形的边角关系也包含其中，还有一类变换是仿射变换，在标准中呈现的标题就是投影。这部分主要研究图形之间的关系，特别是从运动的观点和变化的角度来研究图形，这个方法本身也是十分重要的。 第三条主线叫做图形与坐标，它包含坐标与图形的位置，还有坐标与图形的运动，用坐标的方法刻画在图形的变换中所熟知的轴对称，图形的平移，图形的位似等等。 二第三学段“图形与几何内容分析 第三学段“图形与几何的课程内容，分为图形的性质、图形的变化、图形与坐标三个部分。（一）图形的性质，从七个方面介绍:1关于“点、线、面、角” 2关于“相交线与平行线” 3关于“三角形” 4关于“四边形” 5关于“圆”。 6.关于“尺规作图” 7关于“定义、命题、定理”包括9个基本事实，探索并证明一些基本图形的性质，以及基本作图和定义，命题、定理等内容。1关于“点、线、面、角”这部分内容主要介绍了一些最基本的橛念，是研究图形性质的基础。这里，有两点应当予以注意：一是“比较线段的大小”“比较角的大小”，在运用图形运动的方法研究图形性质时会有所应用；二是“会对度、分、秒进行简单的换算，并会计算角的和、差”，课程标准（2011年版）不要求进行角的倍、分的计算。2关于“相交线与平行线”(1)两条直线的位置关系有相交、平行两种，课程标准（2011年版）没有把两条直线重合作为第三种位置关系。(2)两条直线互相垂直，是两条直线相交的特殊位置关系。这里，不仅有特殊与一般的关系，而且还蕴涵着数量变化与位置关系变化的内在联系两直线相交所成的角的大小成为特殊值(90)时，两直线的位置关系就是特殊的相交（垂直）。(3)“两条直线相交，只有一个交点”，课程标准（2011年版）既没有把这个显然的结论作为基本事实(若作为基本事实，它与基本事实(1)不独立），也没有要求根据基本事实(1)用反证法加以证明。3关于“三角形”(1)三角形内角和定理是一个十分重要的定理。 (2)课程标准（2011年版）表述判定三角形全等的三个基本事实，使用了对应边或角“分别”，相等（不用“对应相等）的表述方式，这是因为“对应相等”的意义难以给出明确定义，又可能与全等三角形的对应边、对应角混淆。另外，“两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等(AAS)”的表述中，特别指出“一组等角的对边相等”，是为了避免理解这个定理时可能发生歧义。(3)线段垂直平分线、角平分线、等腰三角形的性质定理，可以通过图形的轴对称获得猜想，然后再运用三角形全等证明。这种获得猜想的过程有助于学生找到证明的思路。4关于“四边形”(1)运用归纳的方法可以得到多边形的外角和公式。多边形的外角和公式与三角形的内角和定理之间有着密切的联系：由三角形内角和定理，可以推导出多边形内角和公式，进而推导出多边形的外角和等于360的结论；也可以先推出多边形的外角和等于360的结论，然后得到多边形内角和公式、三角形内角和定理。(2)“理解平行四边形、矩形、菱形、正方形的概念，以及它们之间的关系，这种“关系”是特殊与一般的关系，即图形越来越特殊，它的性质就越来越多，判定它需要的条件也越来越多，这对于研究平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质和判定有着重要的作用。这部分知识像链条一样环环紧扣，这条“知识链”不仅蕴涵着“一般和特殊”的思想而且也是引导学生感悟“分类”思想的好素材(3)四边形与三角形有着紧密的联系，研究四边形性质常常借助三角形的有关知识。但是四边形与三角形有一个本质的差异：四边形不具有稳定性，三角形具有稳定性。如果不重视这种差异，就会给理解和掌握相关的知识带来困难。比如，学生常常不能正确掌握正多边形的定义，其原因就在于边数大于或等于4的多边形不具有稳定性，由各边相等不能推出各个角相等，所以必须定义“各边相等、各角相等的多边形叫做正多边形；而三角形具有稳定性，由三边相等可以推出三个角相等，所以只需定义“各边相等的三角形叫做正三角形”。(4)平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质定理和判定定理，除课程标准（2011年版）列出的条目外，不要求增加其他的判定定理（如“一组对边平行、一组对角相等的四边形是平行四边形”等）。5关于“圆”。(1)课程标准（2011年版）把“探索并证明垂径定理”“探索并证明切线长定理”作为选学内容，主要是出于控制教学和考试难度的考虑，同时又为学有余力的学生提供了进一步学习的空间。这两个定理的探索和证明过程，同样可以展示合情推理和演绎推理相辅相成的过程。课程标准（2011年版）要求“了解圆周角定理及其推论的证明，”这个定理的证明需要对图形的位置关系进行分类，这在几何定理的证明中并不多见。(2)点与圆的位置关系、直线与圆的位置关系，比较典型地体现了“形”与“数”的内在联系一一图形的位置关系确定了相应的数量关系，反之亦然。这样的课程内容、有关的结论固然重要，但更重要的是其中蕴涵的数形结合的思想。(3)关于“探索切线与过切点的半径的关系”，课程标准（2011年版）只要求知道这种关系，并“会用三角尺过圆上一点画圆的切线”，没有把圆的切线的性质和判定作为定理。6.关于“尺规作图”（1）用尺规作一条线段等于已知线段、作一个角等于已知角，是完成其他尺规作图（如作三角形、作圆）的基础。（2）像证明要做到“言必有据”一样，课程标准（2011版）要求“在尺规作图中，了解作图的道理，保留作图的痕迹”，即作图也要做到有根有据。课程标准（2011年版）的这种要求有助于发展学生的理性精神，应当予以重视。7关于“定义、命题、定理”(1)对于命题的条件和结论、互逆命题等有关内容，课程标准（2011年版）的要求是：“结合具体事例，会区分命题的条件和结论，了解原命题及其逆命题的概念。会识别两个互逆的命题，知道原命题成立其逆命题不一定成立。”不要求学生自己编制一个命题的逆命题，特别是条件和结论多于一个的命题的逆命题。 (2)课程标准（2011年版）要求学生“知道证明的意义和证明的必要性，知道证明要合乎逻辑”。应当通过生活中、数学中的实例，使学生知道由合情推理发现的结论不一定正确，通过演绎推理才能确认其正确性，因而证明是必要的并且证明必须合乎逻辑。 (3)对于“反例”，课程标准（2011年版）的要求是“了解反例的作用，知道利用反例可以判断一个命题是错误的”。反例，有助于加深学生对命题的条件和结论之间关系的认识，但是构造反例往往是困难的，课程标准（2011年版）不要求学生自己构造反例。（二）图形的变化 三个方面介绍:1图形的轴对称、旋转、平移 2图形的相似 3图形的投影1图形的轴对称、旋转、平移(1)对于轴对称、旋转、平移的概念。课程标准（2011年版）的要求是“了解”或“认识”，这种要求借助图形直观不难达到，义务教育阶段不可能也不必要给出图形变换的严格定义。(2)对于轴对称、旋转、平移的基本性质。课程标准（2011年版）要求通过“探索”得到，即通过图形的运动变化去发现这些性质，而不是单纯地把这些性质作为现成的结论呈现给学生。进行这样的探索活动，有助于学生感受图形运动变化过程中的不变量和不变关系，从而为运用图形运动的方法研究图形性质奠定基础。(3)“探索等腰三角形、矩形、菱形、正多边形、圆的轴对称性质”“探索线段、平行四边形、正多边形、圆的中心对称性质”的含义，不仅是知道这些图形是轴对称图形或中心对称图形，而且还包括运用轴对称性或中心对称性探索这些图形的其他性质。(4)轴对称与轴对称图形（中心对称与中心对称图形）是两个有联系又易泥淆的概念。“轴对称（中心对称）”的意义是两个图形关于一条直线（一个点）对称，它揭示的是两个图形所具有的一种特殊位置关系；“轴对称图形（中心对称图形）”揭示的是一个图形自身具有的特殊性质（对称性）。2图形的相似(1)相似，是不同于轴对称、旋转、平移的另一种图形变换，相似变换改变图形的大小，不改变图形的形状（即改变两点间距离的大小，不改变角的大小），也称为“保角变换”。三角形相似与三角形全等有着紧密的内在联系（两个相似三角形的相似比k=1时，这两个三角形全等），可通过与三角形全等的判定定理进行类比，引导学生探索相似三角形的判定定理，进一步感受特殊与一般的关系。(2)“比例的基本性质、线段的比、成比例的线段是研究相似形的基础。课程标准（2011年版）除“比例的基本性质外，不要求研究比例的其他性质（如合比定理、分比定理等）。对于“黄金分割”，课程标准（2011年版）要求“通过建筑、艺术上的实例了解黄金分割”，感悟数学的美。线段的“黄金比”，可以作为一元二次方程求根公式的应用给予介绍。(3)图形的相似，课程标准（2011年版）要求“通过具体实例认识图形的相似”，“了解相似多边形和相似比。对于相似形的定义，可以用“各角相等，各边成比例来定义相似多边形。三角形的相似要特殊一些，它的相似条件的获得由课程标准( 2011年版)的一条基本事实加以保证，即“两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例。相似比，在解决有关图形的计算问题时常有应用，应当予以关注。3图形的投影(1)日常生活中，有许多关于中心投影、平行投影的实例，可以“通过丰富的实例”，引导学生“了解中心投影和平行投影的概念”(2)平行投影是学习三视图的基础。画一个物体的三视图、根据视图描述几何体，有助于发展学生的空间观念。课程标准（2011年版）要求“会画直棱柱、圆柱、圆锥、球的主视图、左视图、俯视图，能判断简单物体的视图，并会根据视图描述简单的几何体”，这里的“简单物体”应是直棱柱、圆柱、圆锥、球，或它们的组合。（三）图形与坐标 包括两个方面:1坐标与图形位置2坐标与图形运动1坐标与图形位置(1)课程标准（2011年版）把平面直角坐标系的有关内容安排在“图形与几何”的课程内容里，更好地体现了数与形的紧密联系。结合实例“用有序数对表示物体的位置”，能有效地引导学生感悟数与形的这种联系。(2)课程标准（2011年版）要求“理解平面直角坐标系的有关概念，能画出直角坐标系；在给定的直角坐标系中，能根据坐标描出点的位置、由点的位置写出它的坐标”。对于平面直角坐标系，不仅应要求学生理解和掌握有关知识，更应注重引导学生感悟“有序数对”与“点的位置”的对应关系，“数量关系”与“图形位置关系”的内在联系，这对于“数与代数”中相关内容（如函数的图象）的学习有着重要的作用。(3)课程标准（2011年版）要求“在实际问题中，能建立适当的直角坐标系，描述物体的位置”。建立坐标系的难度应当控制，但应使学生知道：在不同的坐标系中，描述图形或物体位置的结果也不同。2坐标与图形运动(1)课程标准（2011年版）要求“在直角坐标系中，以坐标轴为对称轴，能写出一个已知顶点坐标的多边形的对称图形的顶点坐标，并知道对应顶点坐标之间的关系”，这实际上是图形的轴对称（反射）变换。画一个图形的轴对称图形，关键是画一些点的轴对称点，课程标准（2011年版）规定“以对称轴为坐标轴”就控制了画图的难度。知道关于坐标轴对称的“对应顶点坐标之间的关系”，有助于学生学习“数与代数”中函数（如二次函数）图象的画法，以及判断函数图象是否具有轴对称性。(2)课程标准（2011年版）要求“在直角坐标系中，能写出一个已知顶点坐标的多边形沿坐标轴方向平移后图形的顶点坐标，并知道对应顶点坐标之间的关系”，这实际上是图形的平移变换。知道沿坐标轴方向平移后“对应顶点坐标之间的关系”，有助于学生掌握一次函数y=ax+b与正比例函数了y=ax图象之间的关系，二次函数y=ax2与y= ax2 +c图象之间的关系。(3)课程标准（2011年版）要求“在直角坐标系中，探索并了解将一个多边形依次沿两个坐标轴方向平移后所得到的图形与原来的图形具有平移关系，体会图形顶点坐标的变化”。一个图形依次沿两个坐标轴方向平移，可以看成它沿某个方向的一次平移（课程标准（2011年版）不要求沿非坐标轴方向的平移）。体会经过这样的两次平移后“图形顶点坐标的变化”，有助于学生掌握二次函数y=ax2与y=a(x一h)2 +k图象之间的关系。三、“图形与几何”部分的内容调整四个领域中一些具体的内容的变化主要表现在以下几个方面，一个是删除了一些条目，第二是新增了一些内容（包括必学和选学内容），第三是对相同内容的要求不同（包括程度上的不同以及要求的进一步细化），具体如下。（一）删除了一些条目；（二）新增了一些内容；（三）对相同内容的要求不同；（四）列出了9个“基本事实”。 （一）删除了一些内容（1）关于梯形、等腰梯形的相关要求，等腰梯形的性质和判定定理等内容；（2）探索并了解圆与圆的位置关系；（3）关于影子、视点、视角、盲区等内容；（4）对雪花曲线和莫比乌斯带等图形的欣赏；（5）关于镜面对称的要求。（二）新增了一些内容增加的内容包括两种： 1、一个是必学内容； 2、一个是选学内容。1、新增必学内容（1）会比较线段的大小，理解线段的和、差以及线段中点的意义；（2）了解平行于同一条直线的两条直线平行；（3）会按照边长的关系和角的大小对三角形进行分类；（4）了解并证明圆内接四边形的对角互补；（5）了解正多边形的概念及正多边形与圆的关系；（6）过一点作已知直线的垂线；（7）已知一直角边和斜边作直角三角形；（8）作三角形的外接圆、内切圆；（9）作圆的内接正方形和正六边形。2、新增选学内容（1）图形与几何领域的了解相似三角形判定定理的证明，（2）探索并证明垂径定理，（3）探索并证明切线长定理等。 （三）对相同内容的要求不同例1【实验稿】通过丰富的实例，进一步认识点、线、面。【修订稿】通过实物和具体模型，了解从物体抽象出来的几何体、平面、直线和点。例2【实验稿】了解线段垂直平分线及其性质。【修订稿】探索并证明线段垂直平分线的性质定理。例3【实验稿】探索并掌握平行四边形的有关性质和四边形是平行四边形的条件。【修订稿】探索并证明平行四边形的性质定理。（四）列出了9个“基本事实”1、两点确定一条直线。 2、两点之间线段最短。 3、过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。4、两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么两直线平行。 5、过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行。 6、两边及其夹角分别相等的两个三角形全等 。7、两角及其夹边分别相等的两个三角形全等 。8、三边分别相等的两个三角形全等。 9、两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例。 四、“图形与几何”的核心概念分析1、空间观念空间观念主要是指根据物体特征抽象出几何图形，根据几何图形想象出所描述的实际物体；想象出物体的方位和相互之间的位置关系；描述图形的运动和变化；依据语言的描述画出图形等。空间观念在我们国家的以前教学大纲中就有这样的提法，但以前的课程中，用来支撑空间观念，或者培养学生空间观念的内容和素材却相对贫乏，这次课程标准的实验稿和修改稿，不仅把空间观念作为一个核心概念提出来，同时在内容的设置上、以及在教学的要求上，都有相应的支撑的它的素材。那么，在课程内容中有哪些内容可能更多地和空间观念的培养有密切的联系？从课程的设计中就非常重视二维和三维图形的转换，因为这样的转换对发展学生的空间观念是非常有益的。包括展开与折叠、截一个几何体、视图与投影等内容，都可以属于这个范围。另外用运动的观点来看待这个图形，如轴对称、中心对称，通过变换的角度，我们想象这个图象，想象它的形状，想象它的变化，就是培养空间观念非常好的素材。同时，象图形与坐标、一个图形可以看成是由另一个图形做怎样的变化得到的，这些内容都是非常重要的。老师在这些内容的教学当中要重视这个过程，把培养空间观念作为我们的教学目标，给学生时间和空间，让他们去探究、让他们去交流、让他去表达，说