立体几何平行专题(史上最全).doc

立体几何专题平行 1、若直线不平行于平面,且,则 B(A) 内所有直线与异面 (B) 内不存在与平行的直线(C) 内存在唯一的直线与平行 (D) 内的直线与都相交2、一条直线若同时平行于两个相交平面,那么这条直线与这两个平面的交线的位置关系是( C ) A.异面 B.相交 C.平行 D.不能确定3、一个正方体的所有顶点都在同一球面上,若球的体积是,则正方体的表面积是 A (A)8 (B)6 (C)4 (D)34、在正三棱柱ABCA1B1C1中,AA1=AB,则AC1与平面BB1C1C所成的角的正弦值为( C )A.B.C.D.5、某四棱锥的三视图如图所示,该四棱锥的表面积是B侧(左)视图俯视图44正(主)视图2(A)32 (B) (C)48 (D) 1、线线平行的判断： （1）三角形中位线定理；（2）构造平行四边形，其对边平行；（3）对应线段成比例，两直线平行； （4）平行于同一直线的两直线平行；（平行的传递性） （5）如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行；（线面平行的性质） （6）如果两个平行平面同时和第三个平面相交，所得交线平行；（面面平行的性质） （7）垂直于同一平面的两直线平行；（线面垂直的性质）2、线面平行的判断： （1）如果平面外的一条直线和平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行。（2）两个平面平行，其中一个平面内的直线必平行于另一个平面。A1ED1C1B1DCBA例1、（三角形中位线定理）如图，在正方体中，是的中点，求证：平面。证明：连接交于，连接，为的中点，为的中点为三角形的中位线 又在平面内，在平面外平面。 例2、（证明是平行四边形）已知正方体，是底对角线的交点.求证： C1O面； 证明：（1）连结，设，连结 是正方体 是平行四边形A1C1AC且 又分别是的中点，O1C1AO且是平行四边形 面，面 C1O面 3、面面平行的判断： （1）一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面，这两个平面平行。（2）垂直于同一条直线的两个平面平行。例4、如图，在正方体中，、分别是、的中点.求证：平面平面.证明：、分别是、的中点，又平面，平面平面四边形为平行四边形，又平面，平面平面，平面平面练习：AFPDCB（利用三角形中位线）如图,已知四棱锥的底面是菱形,平面, 点为 的中点.求证:平面;DBCEB1C1AA12、（构造平行四边形）如图,在三棱柱中,每个侧面均为正方形,为底边的中点,为侧棱的中点，求证:平面;3、（线面平行的性质）如图，四面体ABCD被一平面所截，截面EFGH是一个矩形.CABEHFGD求证：CD平面EFGH.（1）证明：截面EFGH是一个矩形，EFGH， 又GH平面BCD.EF面BCD，而EF面ACD，面ACD面BCD=CD.EFCD，CD平面EFGH.4（对应线段成比例，两直线平行，面面平行得到线面平行）如下图，设P为长方形ABCD所在平面外一点，M、N分别为AB、PD上的点，且=，求证：直线MN平面PBC。分析：要证直线MN平面PBC，只需证明MN平面PBC内的一条直线或MN所在的某个平面平面PBC证法一：过N作NRDC交PC于点R，连结RB，依题意得=NR=MBNRDCAB，四边形MNRB是平行四边形MNRB. 又RB平面PBC，直线MN平面PBC证法二：过N作NQAD交PA于点Q，连结QM，=，QMPB又NQADBC，平面MQN平面PBC直线MN平面PBC（第1题图）5、（中位线定理、平行四边形）如图，四棱锥PABCD的底面是平行四边形，点E、F 分 别为棱AB、 PD的中点求证：AF平面PCE；分析：取PC的中点G，连EG.，FG，则易证AEGF是平行四边形6、（平行的传递性）已知正方体ABCD-ABCD中，E，F分别是AB，BC的中点。求证：EF面ADC。ABCDABCDEF7已知正三棱柱ABCA1B1C1的底面边长为8，侧棱长为6，D为AC中点。A1C1CBAB1（1）求证：直线AB1平面C1DB；（2）求异面直线AB1与BC1所成角的余弦值。证明：（1）连BC交于E，连DE, 则DE，而DE面CDB，面CDB， （2）由（1）知DEB为异面直线所成的角，在 -（2分）。 -（2分）8、正方体ABCD-ABCD棱长为1（1）证明：面ABD面BCDCBADABCD9.如图，两条异面直线AB、CD与三个平行平面、分别相交于A、E、B及C、F、D，又AD、BC与平面的交点为H、G.求证：EHFG为平行四边形.10、如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，O为底面ABCD的中心，P是DD1的中点，设Q是CC1上的点，问：当点Q在什么位置时，平面D1BQ平面PAO？解：当Q为CC1的中点时，平面D1BQ平面PAO.Q为CC1的中点，P为DD1的中点，QBPA.P、O分别为DD1、DB的中点，D1BPO.又POPAP，D1BQBB，D1B平面PAO，QB平面PAO，平面D1BQ平面PAO.11、（中位线定理、平行四边形）已知直三棱柱ABCA1B1C1中，D, E, F分别为AA1, CC1, AB的中点，M为BE的中点, ACBE. 求证：C1D平面B1FM. 分析：连EA，易证C1EAD是平行四边形，于是MF/EA12、（中位线定理、平行四边形）如图所示, 四棱锥PABCD底面是直角梯形, CD=2AB, E为PC的中点, 证明: ;分析:：取PD的中点F，连EF,AF则易证ABEF是平行四边形ABCDEFGM13、如图，已知、分别是四面体的棱、的中点，求证：平面。分析：连MD交GF于H，易证EH是AMD的中位线PEDCBA【例14】在四棱锥P-ABCD中，ABCD，AB=DC，.求证：AE平面PBC；分析：取PC的中点F，连EF则易证ABFE是平行四边形【例15】如图：S是平行四边形ABCD平面外一点，M、N分别是SA、BD上的点，且=， 求证：MN平面SDC分析：过M作ME/AD，过N作NF/AD利用相似比易证MNFE是平行四边形例16(2009江苏泰州期末16)如图所示，在棱长为的正方体中，、分别为、的中点（1）求证：/平面；（2）求证：；（3）求三棱锥的体积17.如下图，四棱锥PABCD的底面是边长为a的正方形，侧棱PA底面ABCD，侧面PBC内有BEPC于E，且BE= a，试在AB上找一点F，使EF平面PAD解：在面PCD内作EGPD于G，连结AG PA平面ABCD，CDAD，CDPDCDEG.又ABCD，EGAB.若有EF平面PAD，则EFAG，四边形AFEG为平行四边形，得EG=AF.CE=a，PBC为直角三角形，BC2=CECPCP=a，=故得AFFB=21时，EF平面PAD.18、如图，ABCD是正方形，O是正方形的中心，E是PC的中点。 求证： PA 平面BDE 19已知四棱锥PABCD，底面ABCD是