推理与证明训练题.docx

推理与证明训练题一、选择题:1下列说法正确的是 A合情推理就是归纳推理B合情推理的结论不一定正确，有待证明C演绎推理的结论一定正确，不需证明D类比推理是从特殊到一般的推理2有一段演绎推理是这样的：“指数函数都是增函数；已知是指数函数；则是增函数”的结论显然是错误的，这是因为 A大前提错误B小前提错误C推理形式错误D非以上错误3下列几种推理过程是演绎推理的是 A两条平行直线与第三条直线相交，内错角相等，如果和是两条平行直线的内错 角，则B金导电，银导电，铜导电，铁导电，所以一切金属都导电C由圆的性质推测球的性质D科学家利用鱼的沉浮原理制造潜艇4如下图，根据图中的数构成的规律，a所表示的数是 A12B48C60D1445四个小动物换座位，开始是鼠、猴、兔、猫分别坐1，2，3，4号位子上（如下图），第一次前后排动物互换座位，第二次左右列动物互换座位，这样交替进行下去，那么第2012次互换座位后，小兔的座位对应的是A编号1B编号2C编号3D编号46长方形的对角线与过同一个顶点的两边所成的角为，则，将长方形与长方体进行类比，长方体的一条体对角线与长方体过同一个顶点的三个面所成的角分别为，则正确的结论为 ABCD7. 若点P是正三角形ABC的内部任一点，且P到三边的距离分别为，正三角形ABC 的高为h，根据等面积法可以得到，由此可以类推到空间中，若点P是正四 面体ABCD的内部任一点，且P到四个面的距离分别为，正四面体ABCD 的高为h，则有 （ ） A B C D与h的关系不定8在学习平面向量时，有这样一个重要的结论：“在所在平面中，若点P使得 ， 则”依此结论，设点O在的内 部，且有，则的值为 A2 B C3 D 9如图，一个半径为1的圆形纸片在边长为8的正方形内任意运动，则在该正方形内，这个圆形纸片不能接触到的部分的面积是 A B C D10已知，观察下列各式：， ，类比有(nN*)，则 AnB2nCD11在数学解题中，常会碰到形如“”的结构，这时可类比正切的和角公式如：设 是非零实数，且满足，则 A4 B C2 D12观察下图，可推断出“?”应该填的数字是 A19 B192 C117 D11813设向量与的夹角为，定义与的“向量积”：是一个向量，它的模|=|，若，则|= A B2 C D4二. 填空题:14经计算发现下列正确的等式：，根据以上等式的规律，试写出一个对正实数成立的等式 15已知，根据以上等式，可猜想出的一般结论是 16空间任一点和不共线三点A、B、C，则是P,A,B,C四点共面的充要条件在平面中，类似的定理是 17已知是数列前项和，且，对，总有，则 18按照如下图给的数所呈现的规律，下一个数“？”代表 19. 利用数学归纳法证明“”，从推导时原等 式的左边应增加的项数是 20. 一个三角形数阵如下： 按照以上排列的规律，第行从左向右的第3个数为 21.设a、b、c均为正实数,则下列关于三个数a、b、c的结论，正确的序号是 都大于2; 都小于2; 至少有一个不大于2; 至少有一个不小于2.22. 已知的三边长分别为，其面积为S，则的内切圆的半径 这是一道平面几何题，其证明方法采用“等面积法”请用类比推理方法猜 测对空间四面体ABCD存在类似结论为 23. 在等腰直角ABC中，设腰长为a，则斜边上的高为，类比上述结论，那么在三棱 锥ABCD中，AB、AC、AD两两垂直且相等，设长度均为a，则斜面BCD上的高 AE的长度为 24经过圆上一点的切线方程为类比上述性质，可以得到椭圆类似的性质为：经过椭圆上一点的切线方程为 25在数列中，若存在一个非零常数，对任意的N*满足，则称是周期数 列，其中T叫它的周期已知数列满足，当数列 的周期为3时，则a 三.解答题:26根据要求证明下列各题：（1）用分析法证明：（2）用反证法证明：1，3不可能是一个等差数列中的三项；27已知数列中，对总有成立，（1）计算的值；（2）根据（1）的结果猜想数列的通项，并用数学归纳法证明。28. 设数列an的前n项和为Sn，且方程x2anxan0有一根为Sn1，n1,2,3，.(1) 求a1，a2；(2) 猜想数列Sn的通项公式，并给出严格的证明29已知数列中, ,前项和 (1)求的值; (2)猜想数列的通项公式,并用数学归纳法证明你的猜想正确; (3)若,证明: 30.设数列的前和为,满足，且. (1) 求的值; (2) 求数列的通项公式.推理与证明训练题一、选择题:1下列说法正确的是 A合情推理就是归纳推理B合情推理的结论不一定正确，有待证明C演绎推理的结论一定正确，不需证明D类比推理是从特殊到一般的推理1【命题立意】本题主要考查推理的有关定义和分类【思路点拨】推理的分类有哪些，每一种推理形式的区别和联系是什么以及各种推理的思维过程和特征【答案】B【解析】推理分合情推理和演绎推理，合情推理分归纳推理和类比推理，故选项A错误；类比推理是从特殊到特殊的推理，故选项D错误；演绎推理只有当前提和推理形式都正确时结论才是正确的，故选项C错误；合情推理的结论是猜想的，是否正确 有待证明，故选B2有一段演绎推理是这样的：“指数函数都是增函数；已知是指数函数；则是增函数”的结论显然是错误的，这是因为 A大前提错误B小前提错误C推理形式错误D非以上错误2【命题立意】考查演绎推理的三段论模式，要求学生注重对定义的准确把握【思路点拨】演绎推理是有一般到特殊的思维过程，它的三段论模式是考查的重点，即要分清大前提，小前提，结论【答案】A【解析】演绎推理只有当前提（大前提和小前提）和推理形式都正确时结论才是正确的，本题的结论出错了，说明是前面的三个要素之一是错误的，经过分析可知是大前提错了导致结论出错，并非所有的指数函数都是增函数 3下列几种推理过程是演绎推理的是 A两条平行直线与第三条直线相交，内错角相等，如果和是两条平行直线的内错 角，则B金导电，银导电，铜导电，铁导电，所以一切金属都导电C由圆的性质推测球的性质D科学家利用鱼的沉浮原理制造潜艇3【命题立意】考查几种推理形式的概念，准确理解和分辨各种推理形式【思路点拨】归纳推理，类比推理，演绎推理各自的特征是什么【答案】A【解析】归纳推理是由几个特殊的事实推出具有一般性的结论；类比推理是从特殊到特殊的推理，两者具有很多相似的特征；演绎推理则是由一般到特殊的推理过程，它有三段论由此可得，选项B是归纳推理，选项C和D都是类比推理，只有A是演绎推理4如下图，根据图中的数构成的规律，a所表示的数是 A12B48C60D1444【命题立意】有关数字的归纳推理【思路点拨】善于找出数字间的规律，每一行的第一个数和最后一个数都是该行的行数，中间的每个数具备什么样的规律呢【答案】D【解析】根据图中数字发现，这组数具备的特征是每一行的第一个数和最后一个数都是该行的行数，中间的每个数等于它肩上的上一行两个相邻数之积，故5四个小动物换座位，开始是鼠、猴、兔、猫分别坐1，2，3，4号位子上（如下图），第一次前后排动物互换座位，第二次左右列动物互换座位，这样交替进行下去，那么第2012次互换座位后，小兔的座位对应的是A编号1B编号2C编号3D编号45【命题立意】以图形为载体考查归纳推理，考查学生的归纳意识和发现周期变化的能力【思路点拨】按照题意给出的规则尝试前几次的座位图，当与前面中的某一次图形相同时，意味着带有周期变换，只要找出最小正周期即可知道以后任意一次的座位图【答案】C【解析】到第四次时就回到了开始的图形，然后循环下去，可知周期为4，那么第2012次互换座位后应该与最开始的情况相同，故小兔的座位对应的是编号36长方形的对角线与过同一个顶点的两边所成的角为，则，将长方形与长方体进行类比，长方体的一条体对角线与长方体过同一个顶点的三个面所成的角分别为，则正确的结论为 ABCD6【命题立意】考查平面几何与立体几何的类比推理，既要对结论进行形式上的类比，也要对结论推导方法进行类比【思路点拨】先对平面中的结论进行简要的证明并将这种解决方法推广到空间中，将,分别用边长来表示，然后进行边长之间的运算【答案】B【解析】设该长方体的体对角线为s，长、宽、高分别为a、b、c，则由题意可知，再由，可知7. 若点P是正三角形ABC的内部任一点，且P到三边的距离分别为，正三角形ABC 的高为h，根据等面积法可以得到，由此可以类推到空间中，若点P是正四 面体ABCD的内部任一点，且P到四个面的距离分别为，正四面体ABCD 的高为h，则有 （ ） A B C D与h的关系不定7.【命题立意】考查平面几何与立体几何的类比推理，既要对结论进行形式上的类比，也要 对结论的推导方法进行类比【思路点拨】采用类比方法，平面上的等面积法类比空间中 的等体积法【答案】B【解析】首先要根据等面积法来证明结论的产生，然后类比推理到空间中，根据等体积法，同样将一个几何体分割成若干小几何体，再根据体积相等即可，可得答案为,故选B8在学习平面向量时，有这样一个重要的结论：“在所在平面中，若点P使得 ， 则”依此结论，设点O在的内 部，且有，则的值为 A2BC3D8【命题立意】主要考查学生的演绎推理能力，依据一般性的结论来解决问题【思路点拨】解决这类问题的关键就是要将结构形式要变成和已知结论一样，不能有差别，否则利用结论将会出错，本题中形式与已知结论的条件形式不同，需要稍作变形【答案】C【解析】将变形为，所以由已知结论可知，即故选C9如图，一个半径为1的圆形纸片在边长为8的正方形内任意运动，则在该正方形内，这个圆形纸片不能接触到的部分的面积是 A B CD9【命题立意】主要考查学生关于平面图形中的运动思维能力，先定性再定量【思路点拨】根据题意运动小圆形纸片不能到达的区域只能是该正方形的四个拐角处，只要计算出一个，然后乘以4即可【答案】B【解析】如图，当圆形纸片运动到与一个角的两边相切的位置时，过圆形纸片的圆心作两边的垂线，故圆形不能达到的区域面积为故选B10已知，观察下列各式：， ，类比有(nN*)，则 AnB2nCD10【命题立意】基本不等式在方法和结构形式上的归纳推理【思路点拨】每组不等式都是利用基本不等式在证明，进行方法上的推理，寻求方法是关键，本题中是将x进行n等分，即x用n个之和来表示【答案】D【解析】这是二维基本不等式推广到n维基本不等式的应用，n维的公式应为，为了使得积是定值，本题给出的几个特例提供的方法是对x进行拆分，故有，因为根号里的值是1，所以11在数学解题中，常会碰到形如“”的结构，这时可类比正切的和角公式如：设是非零实数，且满足，则 A4 B C2 D11【命题立意】考查类比正切和角公式来解题，培养学生在结构形式和解题方法上的类比能力【思路点拨】首先条件等式化成形如“”的结构，然后利用两角和的正切公式来解题【答案】D【解析】将条件左式变形，得，联想两角和的正切公式，设，则有，则，解得（kZ），于是，答案选D12观察下图，可推断出“?”应该填的数字是 A19 B192 C117 D11812【命题立意】这是道数字推理题，考查学生的归纳推理能力【思路点拨】由前两个图形发现中间数与四周四个数之间的关系，进而得出答案【答案】C【解析】由前两个图形发现：中间数等于四周四个数的平方和，即，所以“？”处该填的数字是，所以选C13设向量与的夹角为，定义与的“向量积”：是一个向量，它的模|=|，若，则|= A B2 C D413【命题立意】类比向量的数量积，给出了向量叉积的定义考查学生对新信息的处理能力【思路点拨】直接利用题目给定的定义式，代入计算即可，这里要计算两向量的夹角，用到了我们已知的数量积运算的知识【答案】B【解析】根据，可求得，有，所以，故二. 填空题:14经计算发现下列正确的等式：，根据以上等式的规律，试写出一个对正实数成立的等式 14【命题立意】本题考查数字等式的归纳推理，培养学生发现规律和探索一般性结论的能力【思路点拨】每个等式左右两边存在明显的特征，指数都约去了，而且其中两个数之和等于第三个数【答案】【解析】这是个有趣的约分问题，证明如下：15已知，根据以上等式，可猜想出的一般结论是 15【命题立意】本题考查有关三角等式的归纳推理，培养学生发现规律和探索一般性结论的能力【思路点拨】根据已知的三个等式要分别从左右两边着手寻找规律【答案】nN*【解析】左边的规律是第n个等式是n个余弦值相乘，而且发现角的分母是个奇数列N*)，分子从，右边的规律就简单一点了，即第n个等式的右边是16空间任一点和不共线三点A、B、C，则是P,A,B,C四点共面的充要条件在平面中，类似的定理是 16【命题立意】平面向量与空间向量的类比推理，在结构形式上进行类比【思路点拨】空间向量的共面定理，类比到平面中就是平面向量的共线定理【答案】平面内任一点O和两点A、B，则是P,A,B三点共线的充要条件【解析】由题意可得，题目要求写出类似的定理，则在保证该定理正确的前提下，尽量在语言表达上与前面的定理一致，空间中的四点共面对应于平面上的三点共线17已知是数列前项和，且，对，总有，则 18按照如下图给的数所呈现的规律，下一个数“？”代表 18【命题立意】以数列为载体的归纳推理【思路点拨】通过观察发现这一系列圆内数字的规律，并建立数列模型来得到一般性的结论或通式【答案】112.【解析】方法一：依题意可知，该组数自左向右顺次构成一个数列，记为，其中；依题意有，数列是以为首项，为公差的等差数列，于是有，因此第6行的第一个数是方法二：观察这列数发现如下规律，依次写成：，则很容易得出下一个数是19. 利用数学归纳法证明“”，从推导时原等 式的左边应增加的项数是 20. 一个三角形数阵如下： 按照以上排列的规律，第行从左向右的第3个数为 20. 【答案】. 抓住该数阵每一行的第一个数为支点，发现每行的第一个数依次是，只要寻求出指数的规律即可，令，得出，利用累加法求得通项公式为，故第n行从左向右的第3个数为21.设a、b、c均为正实数,则下列关于三个数a、b、c的结论，正确的序号是 都大于2; 都小于2; 至少有一个不大于2; 至少有一个不小于2.22. 已知的三边长分别为，其面积为S，则的内切圆的半径 这是一道平面几何题，其证明方法采用“等面积法”请用类比推理方法猜 测对空间四面体ABCD存在类似结论为 22.【命题立意】平面几何与立体几何在研究方法上的类比推理，平面中的“等面积法”推理到空间中的“等体积法”【思路点拨】在内切圆的圆心处将三角形分割成三个小三角形，同理，在三棱锥内切球的球心处将三棱锥分割成四个小三棱锥，然后利用体积之和等于大三棱锥的体积即可得出结论【答案】四面体ABCD的各表面面积分别为，其体积为V，则四面体ABCD的内切球半径【解析】由题意可得，题目要求写出类似的结论，则在保证该结论正确的前提下，尽量在语言表达上与前面的结论一致，本题中体现了平面几何与立体几何在如下词语上的对应：“”与“四面体ABCD”，“边长”与“表面面积”，“面积”与“体积”，“内切圆”与“内切球”等，这是结构上的类比，再者，本题也体现了方法上的类比即等面积法推理到等体积法，同样是将整体分割成几个小的，然后利用体积不变得出结论，故，即23. 在等腰直角ABC中，设腰长为a，则斜边上的高为，类比上述结论，那么在三棱 锥ABCD中，AB、AC、AD两两垂直且相等，设长度均为a，则斜面BCD上的高 AE的长度为 23.【命题立意】考查平面几何与立体几何的类比推理，既要对结论进行形式上的类比，也要对结论的推导方法进行类比【思路点拨】首先根据结构形式可以推理出类似的结论可能是，为了保证它的正确性，要进行严格的求解，类比平面几何中的结论的计算方法.本题主要是利用等积法来解决【答案】【解析】在如右图（1）所示，由得由此类比到空间中，如右图（2）所示，可知为等边三角形，边长为，则由等体积法可得：,24经过圆上一点的切线方程为类比上述性质，可以得到椭圆类似的性质为：经过椭圆上一点的切线方程为 24【命题立意】解析几何中圆与椭圆的性质结论类比寻求结构形式的异同点是关键【思路点拨】圆上一点的切线方程与圆方程在结构上的异同点，然后类比椭圆上的一点的切线方程也具备类似的结论【答案】【解析】过圆上一点的切线方程是把圆的方程中的中的一个x和一个y分别用代替，圆和椭圆都是封闭曲线，类比圆上一点的切线方程可以得到，过椭圆上一点的切线方程是把椭圆方程中的中的一个x和一个y分别用代替，即得到切线方程为25在数列中，若存在一个非零常数，对任意的N*满足，则称是周期数 列，其中T叫它的周期已知数列满足，当数列 的周期为3时，则a 25【命题立意】以周期数列为背景的新定义问题，培养学生的知识迁移和阅读处理信息的能力【思路点拨】本题要抓住周期的定义，根据建立关于a的方程即可求出a【答案】0或1【解析】由题意可知，因为周期是3，所以有，即，解得或126根据要求证明下列各题：（1）用分析法证明：（2）用反证法证明：1，3不可能是一个等差数列中的三项；26（1）要证：；即证：；即证：；即证：；即证：；即证：；而显然成立，