关于中学数学知识和大学数学知识的一些比较.doc

关于中学数学知识和大学数学知识的一些比较关于中学数学知识和大学数学知识的一些比较中文摘要数学有着广泛的应用，尤其在当今的信息时代. 我们必须对数学的基本原理和方法有很好的理解. 本论文就一些中学数学知识和大学数学知识进行比较. 全文分为两个部分，分别对极限、不等式进行阐述，并通过典型的例子进行说明.关键词：极限，不等式A Comparison of Knowledge between College Mathematics and Middle School MathematicsAbstract Mathematics is used in varying degrees in every single aspect of our daily lives, especially in the information age. We need to have a strong understanding of the fundamentals and methods of mathematics. The purpose of this study is to compare the knowledge and understanding of college mathematics and middle school mathematics. This paper is divided into two sections, it discusses limit and inequality, some examples are also given to illustrate typicals methods for solving problems.Keywords: limit ,inequality; 引言在中学和大学数学课程中，都有极限、不等式这两部分的内容. 但是通过对大学数学的学习，我们的知识水平和理解能力都有很大的提高. 本文就上面提到的两个知识点,用大学的观点进行探讨，旨在培养自觉学习、勤于思考的习惯和勇于钻研的精神.同时，我研究此课题，不仅仅是想对自己大学四年所学的基础数学知识作一个比较简短的总结，更是想使未来从事中学教师岗位的大学生对中学教学内容中某些理论深度有进一步了解，对实质性的认识进一步深化，对不够完整的知识进一步充实，掌握初等数学方法，从而提高大学生对大学数学的重视.此次研究,我得到了牧立武老师的指导,他仔细审查和修改了我的课题,叫我受益匪浅,我表示衷心的感谢.一、极限学习极限是从一个“有限”到无限的飞跃.从数列极限或函数极限的变化趋势来理解极限问题是认识和解决问题的需要.极限又分数列极限及函数极限.下面将分别对它们作出一些简单的探讨.1.1 数列极限在高中，我们就已经开始接触了数列极限，总的来说，高中阶段的数列极限注重的是利用所给结论来求解所给数列的极限值，重点培养的是学生的解题能力，注重的是理性思维培养和备考能力提高.而大学的数列极限，更多的是利用抽象定义来证明某一命题的正确性，强化锻炼的是学生的抽象思维能力及逻辑思维能力.高中我们给出了数列极限的概念：如果当项数无限增大时，无穷数列的项无限地趋近于某个常数(即无限地趋近0)，那么就说数列以为极限，或者说是数列的极限.数学分析里边也给出了数列极限的概念：一般地说，对于数列，若当无限增大时，能无限地接近某一个常数，则称此数列为收敛数列，常数称为它的极限.不具有这种特性的数列就不是收敛数列.中学与大学的数列极限的概念虽相差不远，但大学的数列极限概念却引出了“收敛”这一词，也由此给出了收敛数列及其极限的精确定义.定义1.1 设为数列，为定数，若对,总存在正整数，使得当时，有,则称数列收敛于，定数称为数列的极限.并记作.若数列没有极限，则称不收敛或称为发散数列.有了数列极限的精确定义，我们便可以用定义（又称定义）来证明高中数列极限中所用的结论.例1-1 证明 .在中学，我们直观地知道，当时，=，.这仅仅局限于直观得出结论，然而，在大学，我们可以通过极限的定义来证明这个结论的正确性.证明：由，有，即，.对，则当时，有,即.利用”定义，同样可以证明在中学就常用的数列极限的四则运算法则.例1-2 证明 ，其中（）.证明：由于，故对于，分别存在正数，使得当 ; （1）当0 , 而且, .根据不等式,可知是递减正数列，是收敛数列.记其极限为，则在的两端，令,有，即 .1.2 函数极限与数列极限一样，中学同样给出了无限地趋于时的函数极限的定义，即：设为定义上的函数，为定数，当无限地趋于时，有极限式.但中学课本给出的函数极限定义，只是一种定性的解释，并没有给出精确的量的刻画和描述.因此,我们只能根据定义证明某一个常数是不是某一个函数的极限.当函数极限的精确定义定义1.3 （又称”定义）设函数在点的某个空心邻域内有定义，A为定数.若对，时，有,则称函数当以A为极限，并记作 或 .由于有两个方向，大学数学还给出了单侧极限的定义.单侧极限是讨论函数在某一点是否连续的重要定理，这里不做过多的论述.当函数极限精确定义定义1.4 设在区域上有定义，A是一个常数.若对，使得，当时，有,则称当趋于A，记为 或.函数极限所具有的性质与数列极限极为相似.与数列极限一样，可以用其精确定义证明函数极限的四则运算法则及一些常用结论.运用这两个结论，可以解决高中难以解答的问题.例1-7 设，定义,求.解：由于，故可取,于是有，因此有=.由于，,.例1-8 求 .解：,令 ,故.中学的函数中有提到过无穷大量，无穷小量以及它们之间的运算关系型.即 .但是在计算的时候，中学用的方法仍然只是运用简单的函数极限四则运算法则.其解答过程不免显得繁琐而又复杂.我们数学分析里引进了等价无穷小量代换及洛必达法则等重要解题方法，这使某些问题的解决显得更简便快捷.例1-8 求.解：由于当，,.因此=.例1-9 求的值.我们先用中学的方法来求解.解：.这是中学的最基本的求解极限值的方法. 当所给函数是连续函数时，先将复杂的分式通过因式分解的方法化为最简分式后，利用函数的连续性将数值代入得到答案。而站在大学的角度，通过观察，当时，所给分式的分子分母分别趋近于0，可以运用洛必达法则求解.运用洛必达法则，有.此题似乎没有体现洛必达法则的优越性，但下面一题就可以看出，洛必达法则在解决一些复杂的问题时显得及其方便简单.例1-10 求的值.在中学，我们可以这样求解：解：原式=.现在用洛必达法则解答，可以比较一下：解：由于当时，故是型.用洛必达法则，有=.在中学，关于数列极限与函数极限的讨论，我们基本上都是分开来讨论的，并没有特别强调其间的关系.但在大学，证明一些数列极限问题时，我们往往可以将数列问题先转化为函数问题，再利用归结原则使得问题快速得到解答.先介绍一下归结原则的定义：定理 1.5 ，存在的充要条件是：对于在内以为极限的任何数列，极限都存在，并且相等.下面看一下归结原则的具体应用.例1-11 利用归结原则计算下列极限：（1）、；（2）、.解：（1） 因为且数列严格递增无上界. 由归结原则，=0.（2）、另一方面，当时有,取，由归结原则，有；由迫敛性推得：=.注 归结原则有一个重要应用：若存在，但是，不存在.例1-12 证明极限不存在.证 设，则显然有故由归结原则即得结论.二、不等式不等式是刻画现实世界中的不等关系的数学模型，反映了事物在量上的区别.不等式是提升学生对函数思想的理解水平，体会优化思想和数学在解决优化问题中的广泛应用的良好素材，也是学生学习高等数学的重要基础.不等式的内容体现了数学思想的精深.不等式的性质贯穿于不等式的证明，求解和实际应用.充分理解不等式的性质是学习不等式的关键.不等式作为中学教学内容，大体可以分为四个部分：一、不等式的概念与性质；二、解不等式；三、不等式的证明；四、不等式的应用.大学虽然没有专门介绍不等式，但不等式的应用，特别是几个常见的有关不等式的定理的应用，在整个大学数学几乎随处可见。2.1 不等式的证明不等式的证明、方法灵活多变，有时要用多种方法，并且不等式的证明常和函数联系，这体现了数学素质的要求。在中学，我们所学的不等式证明所用的最基本的方法主要有比较法、分析法、综合法、归纳法以及放缩法、换元法、反证法、判别式法等。某些不等式，我们虽然可以用中学的知识解答，但是用大学所学的某些知识来解答，我们会发现明显简单得多.现在我们先来介绍一下定理2.1 (朗格朗日（Lagrange）中值定理：若函数满足如下条件：（i）在闭区间上连续；（ii）在开区间内可导，则在内至少存在一点，使得例2-1 证明：当时，不等式在时成立.在中学我们可以用作差法来证明此题，这里不再证明，下面我们就用大学所学的拉格朗日中值定理来证明此题.证明： 设.当时，对在区间上应用拉格朗日中值定理，有.其中.故有.例2-2 证明.证明：因为在整个数轴上是连续且可导，因此，在任何区间上都满足拉格朗日中值定理，所以存在，有.不等式的证明，除了用初等方法证明外，还可以用微分法，特别是证明超越不等式.把不等式问题转化为函数值的大小问题，从而可以借助于函数的导数，讨论函数的增减性与函数的极值.例2-3 证明：设,为正数，那么.证明均值不等式，除了用高中所用的假设归纳法外，我们还可以用微分法证明.在用微分法证明之前，我们先证明下面一个结论：设 ，当且仅当时取等号.证明：设=,则 =. 令 =,得 .，函数在在处有最小值. 又因为函数在定义域上只有一个极值点，因此在时有最小值. 于是有，即 .在有这个结论以后，我们取，则有将上面的个式子相乘，有因此有.当且仅当时等号成立. 即 时取等号.2. 2 解不等式不等式的解法在中学我们就已经介绍了很多，在大学我们在解不等时基本上也是沿用中学学过的方法.但是在解决一些问题时，为了更快捷地解答问题，我们还是引进了一些新的方法.定理2.2 (介值定理)：设函数在闭区间上连续，且.若为介于与之间的任何实数（或），则至少存在一点，使得.例2-4 解不等式.在中学，我们可以用常规解不等式的方法来求解此题，解答过程如下：解：不等式的定义域为，对于不等式通过移项，去根号，合并同类项，整理得，解不等式，得不等式的解集为.下面，我们再用刚介绍的介值定理来求解不等式，并对这两种方法进行比较.解：由，可知不等式的定义域为，方程在内有两个根 .由此可得三个小区间.设，取，故原不等式的解集为. 这两种方法各有千秋，常规解题方法，适用于次数比较低，未知数少，过程及结果较简单的不等式，而介值定理，除可以证明一般不等式外，更适用于证明某些抽象的定义、定理及其一些常用不等式结论。2.3 不等式的应用不等式的应用往往是用来解决生活中的最优化问题，也就是通过解不等式求得其极值.以往所讨论的极值问题，其极值点的搜索范围是目标函数的定义域，但是另外还有很多极值问题，其极值点的搜索范围还受到各自不同的条件的限制.附有约束条件的极值问题称为条件极值问题.条件极值问题的一般形式是在条件组 （1）的限制下，求目标函数 （2）的极值.过去在遇到极值问题时，我们只能用消元法化为无条件极值.如例2-5 求体积一定而表面积最小的长方体的面积.在中学，我们可以这样解解：设长方体的体积为，长、宽、高分别为，长方体的表面积为.即 =，=2，因此,根据均值不等式，有=2=6=6，当且仅当 ，即时等号成立.在微分学里，我们介绍了另一种解题方法，即拉格朗日乘数法.定理 3：设在条件（1）的限制下，求函数（2）的极值问题，其中与在区域内有连续的一阶偏导数.若的内点是上述问题的极值点，且雅可比矩阵的秩为，则存在个常数，使得为拉格朗日函数的稳定点，即为下述个方程：的解.解：设长方体的体积为，长、宽、高分别为，长方体的表面积为.即 =，则表面积为2，设，令解得 ，故体积一定而表面积最小的长方体是立方体，且表面积=6.结束语撰写本文的目的是通过对课题内容的研究提高数学和科学素养，并促进对数学分析、高等代数、解析几何、概率论等学科知识的进一步理解和掌握. 尽管我的水平还很有限，但通过这次训练，我有很大的进步，并且大大地激发了我的学习热情和钻研精神,同时也希望我这次研究的课题对广大喜欢数学的大学生有所帮助.参考文献1孙熙椿.从现代数学看中学数学M.北京：中国林业出版社，19912钟善.基初等数学概论M. 北京：知识出版社，19913慈昌，郑澄，徐洪逵，郁祖权，李祥亿.高中数学讲座M.安徽：安