求范围问题中的一种通法.doc

求范围问题中的一种通法在高考试题中经常出现“以含参数的不等式恒成立为条件，求参数范围问题”，这种问题大部分可以利用一种通法解决，即“分离参数法”。下面就此通法的有关原理，给出说明并列举几道典型的例题。一、分离参数法为了介绍“分离参数法”，先要介绍“最值原理”最大值原理：如果不等式恒成立，则，即最大值是中最小的。最小值原理：如果不等式恒成立，则，即最小值是中最大的。分离参数法：对于“不等式恒成立”问题若，则；若，则。二、典型例题例1（1990年高考压轴题），其中是实数，是正整数且n2如果当时有意义，求实数的取值范围。分析：因为“当时有意义”等价于“不等式在上恒成立”，而这个不等式很容易将参数分离出来，所以可用“分离参数法”来求参数的取值范围。解：f(x)当x(-,1时有意义的条件是，x(-,1,n2,即， 上都是增函数,在(-,1上也是增函数,从而它在x=1时取得最大值也就是a的取值范围为：评注：解决这个题目的关键是分离参数以后，利用单调性求所得函数的最大值。但求最值的方法还很多，其中最常用的有二次函数法、单调函数法、均值不等式法和三角函数法。例2 若不等式对一切成立，求的最小值分析：因为“不等式对一切成立”等价于“恒成立”，所以的最小值为函数的最大值。解：而，（或）即所以的最小值为评注：此例是利用均值不等式求的最值，但如果对于函数的定义域是区间，则只能利用函数的单调性求的最小值。例3 已知不等式，对恒成立，求实数的取值范围。解： 因为“不等式，对恒成立”等价于因为，而，所以当时，所以实数的取值范围是例4 定义在上的减函数也是奇函数，且对一切实数，不等式恒成立。求实数的取值范围。分析：根据题设，可以将等价转化为可分离参数的不等式形式。解：因为是奇函数所以不等式可化为又因为在上是减函数不等式可进一步化为即因为对一切实数，都有，所以进而得到令，则而，所以当时，所以实数的取值范围是例5 已知数列的通项公式为如果不等式对一切正整数恒成立求实数的取值范围分析：解决这个问题的关键就是求数列的前和，由于的通项公式给出，容易判断出是等差数列，所以可想到分母有理化。解：所以所以不等式等价于，即，由因为是增函数，所以，即实数的取值范围是三、本通法的局限性及注意点：1本通法的局限性如果恒成立的有关问题中，“分离参数法”不是万能的，有些含参数的问题没有办法分离参数时，就只能运用其他的办法去求参数的取值范围。比如：“不等式对一切实数恒成立，求实数的范围”问题，就只能运用二次函数的有关问题去求范围（不能只用判别式列不等式）。2运用本通法的注意点：如果没有完全分离参数前，将不等式转化为的结构，而在所给定的的范围内还不能确定的符号时，需要分类转化，但最后结果是分类所求范围的公共解部分。看如下的例题：例6 若不等式对一切成立，求的取值范围。解：不等式等价于因为所以（1）当时，而此时的最小值为2，所以此时；（2）当时，所以此时；（3）当时，由例2类似地得到。综上所述，求的取值范围是评注：虽然此例完全可以不用“分离参数法”，由二次不等式解法，由就解得的取值范围是，但为了说明注意点，特意运用“分离参数法”求的取值范围。四、同步练习题1（06年江西卷） 若不等式对一切成立，求的最小值。2不等式对一切正数都成立，求实数的取值范围。3已知不等式，对恒成立，求实数的取值范