二次函数有关综合问题(论文).doc

二次函数有关综合问题初中数学重点难点分析 东安县 易江学校 陈美华函数（主要是二次函数）与方程、不等式、几何图形及图形的面积相结合的综合问题，历年来都是各地中考试题的热点题型，这类综合问题，以直角坐标平面为背景，以二次函数为骨架，结合其他数形，以数形结合的形式进行综合应用，因此称之为函数型综合问题。由于中考兼有毕业与升学双重功能，因此中考数学试卷中除了以考查基础知识与基本技能为主的题型外，还有一两道综合性较强的较难题，而函数型综合题（主要是二次函数型综合题）首当其冲。纵观永州市近10年来的“初中毕业会考数学试卷”，几乎都是在最后一道压轴题或最后两道“附加题”中出现二次函数型综合题（2000年的第29题，2001年的第28题，2002年的第29题，2003年的第29题，2005年的第29题，2006年的第28题，2007年的第24题，2008年的第25题，2009年的第25题，2010年的第24题等）。这说明了二次函数型综合题在初中教学与初中毕业会考中举足轻重的地位，所以就我个人多年的教学经验、永州市近10年来的“初中毕业会考数学试卷”中的二次函数型综合题及近年来全国初中数学竞赛中有关试题等进行分析，以达到初中数学教学中的重点难点突破和适应重点中学招考之需要。一、二次函数的图象和性质 1、形如到yaxbxc（其中a、b、c为常数，a0）的函数，叫做二次函数，它的定义域是实数集R。当a0时，它在区间（-，- b/2 a 是单调递减的，在区间- b/2 a，+）是单调递增的；当a0时，它在区间（-，- b/2 a 是单调递增的，在区间- b/2 a，+）是单调递减的。 2、二次函数 yaxbxc （a0）变形为y = a（x + b/2 a）+（4ac-b）/4a ,其图象是一条抛物线,顶点为(- b/2 a , （4ac-b）/4a)，对称轴方程为x = - b/2 a 。 3、二次函数 yaxbxc（a0），当a0时，抛物线开口向上，当x = - b/2 a时，函数y有最小值(4ac-b)/4a；当a0时，抛物线开口向下，当x = - b/2 a时 ，函数y有最大值(4ac-b)/4a ；当| a | 越大时，抛物线开口越小，当| a | 越小时，抛物线开口越大。4、在求二次函数的顶点坐标、最小值或最大值时，常采用配方法。例1，已知二次函数y = - x+2x+2 ，求它的顶点坐标和最大值。解：配方得：y = -（x4x 4）+2 = -（x）+因此，函数开口向下，对称轴为x =，顶点为（，），当x =时，y有最大值求二次函数的最大值或最小值有着广泛的应用。例2，求正方形的最小面积的内接正方形（各顶点分别在原正方形的边上的正方形，称为原正方形的内接正方形）。解： 如图1所示，正方形ABCD，依次在各边上取点 E、F、G、H，使EFGH为正方形，根据三角形全等 F 可得AE=BF=CG=DH。 H 设AB= a ，AE= x，则正方形EFGH的面积为 S=EF= x+ （ax）xaxa G （xax）a（xa/2）a/2图所以，当AExa/2（即为的中点）时，正方形EFGH面积最小，且为a/2。 与一元二次方程 axbxc (a0 ) 二、二次函数与一元二次方程的综合。 这类题型主要是以二次函数为骨架，建立二次函数的图象及性质、一元二次方程有关根的理论的综合。解题时要注意二次函数的图象信息与一元二次方程的代数信息的互相转化。如：二次函数：yaxbxc（a0）的图象与x轴交点的横坐标就是相应的一元二次方程：axbxc (a0 )的两个根；二次函数yaxbxc（a0）与y轴的交点就是（，c）；点在函数图象上就是点的坐标满足函数的解析式，反之，点的坐标满足函数的解析式就是点在函数图象上；点的坐标与相应线段之间的关系；两个函数的交点坐标就是这两个函数的解析式所组成的方程组的解，等等。 例3，永州市2003年初中毕业会考数学试卷的第29题：已知二次函数ymx-16mx +10m+10 的图象与x轴交点的横坐标之差为2。求抛物线的解析式。设抛物线与x轴交点为A、B，以AB为斜边作等腰直角三角形ABC，那么C点是否落在抛物线上？为什么？解：设二次函数（抛物线）ymx-16mx +10m+10的图象与x轴的交点为（x，）和（x，），则x、x是一元二次方程mx-16mx +10m+10的两个根，且xx由一元二次方程根与系数的关系可得：xx16m2m xx(10m+10)2 m(m+)m 由得：（xx），即（xx）xx 将、代入得：64(m+)m解之得： 。 因此所求的抛物线的解析式为yx-x +。根据题意及抛物线的解析式画出有关图形， y如图所示。 解方程 C2 得 A（3，0），B（5，0），AB=2。 o x以AB为斜边作等腰直角三角形ABC，则C 有 C1两个位置C1 和C2，C在x轴下方，C2在x轴上方，图2则四边形A C1B C2为正方形，连接C1 C2交AB于D，则A B与 C1 C2互相垂直平分，且DA=DB=DC1=DC2=1，OD。C1 的坐标为（，），C2的坐标为（，）。 将 C1 和C2的坐标分别代入抛物线yx-x + 得： C1：右边左边（），C：右边左边（）。所以，点C1的坐标满足二次函数的解析式，点C的坐标不满足二次函数的解析式，则点C1在抛物线上，点C不在抛物线上。因此，当C点在x轴下方时，落在抛物线上，当C点在x轴上方时，不落在抛物线上。还有2000的第29题，2001的第28题，2002年的第29题也都属于这种类型。因2004年以后，考查的是新课程改革以后的试题，新的教学大刚已将“一元二次方程根与系数的关系”列为了课外内容，所以二次函数与一元二次方程综合型试题再没有正式出现在中考试卷中。但在高一级的选拔考试（特别是重点高中的入学考试）及全国性的初中竞赛中，二次函数与一元二次方程综合型试题，还是一种典型的热点试题。二次函数yaxbxc(a0 )与一元二次方程 axbxc (a0 )之间的内在联系，可由它们共同的判别式bac进一步明确化： 、当判别式bac时，抛物线与x轴有两个不同的交点，一元二次方程有两个不相等的实数根；、当判别式bac时，抛物线与x轴只有一个交点即抛物线的顶点在x轴上，一元二次方程有两个相等的实数根；、当判别式bac0）与坐标轴交于点A、B、C且OA1，OBOC3 （1）求此二次函数的解析式（2）写出顶点坐标和对称轴方程（3）点M、N在yax2bxc的图像上(点N在点M的右边)，且MNx轴，求以MN为直径且与x轴相切的圆的半径解： （1）依题意得：A（-1，0），B（3，0），C（0，-3）将它们分别代入抛物线yaxbxc（a0）得：a-bc=0 9a3bc=0 C=-3 由联立解得a=1，b=-2，c=-3， 所求的二次函数的解析式为yx-2x-3 （2）yx-2x-3=（x-1）-4 图8抛物线yx-2x-3的顶点坐标为（1，-4），对称轴x=1。 （3）设圆半径为r，因为M、N在抛物线上，且MNx轴，所以圆与抛物线有共同的对称轴x=1。当在轴下方时，N点坐标为（r+1，-r）把点N（r+1，r）代入yx-2x-3 得.当在轴上方时，N点坐标为（r+1，r）把点N（r+1，r）代入yx-2x-3 得。例14、“数学周报杯”2010年全国初中数学竞赛试题 第11（A）题：如图9所示，抛物线（a0）与双曲线相交于点A、B 。已知点A的坐标为（1，4），点B在第 图9 三象限内，且AOB的面积为3（O为坐标原点）.（1）求实数a，b，k的值；（2）过抛物线上点A作直线ACx轴，交抛物线于另一点C，求所有满足EOCAOB的点E的坐标.解：（1）因为点A（1，4）在双曲线上，所以k=4. 故双曲线的函数表达式为. 设点B（t，），AB所在直线的函数表达式为，则有 解得，.于是，直线AB与y轴的交点坐标为，故 ，整理得， 解得，或t（舍去）所以点B的坐标为（，）因为点A，B都在抛物线（）上，所以 解得 （） 如图10所示，因为ACx轴，所以C（，4），于是CO4. 又BO=2，所以. 设抛物线（a0）与x轴负半轴 图10相交于点D，则点D的坐标为（，0）.因为CODBOD，所以COB=.将绕点O顺时针旋转，得到.这时，点，2)是CO的中点，点的坐标为（4，）.延长到点，使得=，这时点（8）是符合条件的点.作关于x轴的对称图形，得到点（1，）；延长到点，使得，这时点E（2，）是符合条件的点所以，点的坐标是（8，），或（2，）. 五、二次函数与二次不等式的关系一元二次方程、一元二次不等式与二次函数是我们常用的数学模型，虽然一元二次不等式已经是高中教材的内容，但是初中数学中的一元二次方程与二次函数既是解决有关一元二次不等式问题的基础，又是关键，其中二次函数的图象是解决有关问题的最有效的直观工具。二次函数、一元二次方程和一元二次不等式是一个有机的整体，要深刻理解它们相互间的关系，能用函数思想来研究方程和不等式便抓住了问题的关键.一元二次不等式axbxc0或axbxc0，若a小于0，可以在不等式两边乘以-1，将它转化为大于0的情况)讨论的主要问题是：x取什么值时，二次多项式 axbxc(a0 ) 的值大于0（或小于0）。二次函数y=axbxc(a0 )反映的是变量x和y之间的数量关系及其变化规律，这个规律可以通过它的图象直观的反映出来：在图象上我们可以看出x等于什么时y=0，这就是一元二次方程axbxc=0的解；x取什么值时y0或y0或axbxc时，抛物线y= axbxc与x轴有两个不同的交点（x，0）和(x，0),一元二次方程axbxc=0有两个不相等的实数根x和x（x0的解集为xx；不等式axbxc0的解集为xx0的解集为不等于- b/2 a的全体实数；不等式axbxc0的解集为空集即无解。 3、当判别式bac0的解集为全体实数；不等式axbxc0的解集为空集即无解。 例15，画出函数y= x2x8的图象，根据图象回答下列问题：（1）当x取什么值时，y = 0？当x取什么值时，y 0？（2）能否用含有x的等式或不等式来描述（1）中的问题？解：（） 配方得：y= x2x8=（x1）9 y通过列表、描点、连线画出函数的图象， 如图14所示，由图可知：当x=-2或4时，Y=0；当-2x4时，y 0；当x4 -2 o 4 xy 0。（2）方程x2x8=0的解就是y =0时，对应的x的值，即抛物线与x轴交点的横坐标； 图14一元二次不等式x2x80的解集就是y 0的解集就是y 0时，对应的x的值。 此题的解法实际上是一元二次不等式的图象解法。例15，2007年全国初中数学联合竞赛试题的第二试（B）中的第一题：设m、n为正整数，且m ，二次函数yx（mt）xmt 的图象与x轴的两个交点的距离为d1，二次函数yx（tn）x+2nt 的图象与x轴的两个交点的距离为d2。如果d1d2对一切实数t恒成立，求m、n的值。解：一元二次方程x（mt）xmt=0的两个根分别为mt和3，d1=mt+3 。又一元二次方程x（tn）x+2nt=0的两个根分别为t和n，d2=t+n 。由d1d2 得：mt+3t+n 式两边平方得：（mt+3） （t+n） 化简得：（m-4）t+（6m-4n）t+9- n0 因m ，即m-40，所以式是一个关于t的一元二次不等式。 由题意知：式对一切实数t恒成立，则式对一切实数t也恒成立，那么式这个关于t的一元二次不等式的解集为一切实数，因此其对应的二次函数y=（m-4）t+（6m-4n）t+9- n 的图象必须开口向上，且与x轴只有一个交点或没有交点。 m-40=（6m-4n）-4（m-4）（9-