1.5 可测集与可测函数(讲义).doc

1.5 可测集与可测函数1.5.1 可测集与可测函数定义1.5.1 设是基本空间，是上的代数，且，则称是可测空间(measurable space)，中的元素是上的可测集(measurable set)。 特别地，当，时，称是Lebsgue可测空间；Lebsgue可测空间上的可测集称为Lebsgue可测集；当，时，称是Borel可测空间；Borel可测空间上的可测集（即：Borel集）称为Borel可测集.注 定义可测空间、可测集时，严格地说，并不要求在代数上已经具有某个测度，即把可测空间、可测集的概念本质上当作集合论范畴的概念，这已是通行的看法。定义1.5.2 设是可测空间，是定义在上的有限实函数。若对一切实数，集都是上的可测集（即：），则称是上关于的可测的函数，简称上的可测函数(measurable function)。特别地，当时，称是上关于的Lebsgue可测函数；当时，称是上关于的Borel可测函数。定理1.5.1 设是可测空间，是定义在上的有限实函数。则是上的可测函数的充分必要条件是：对任意实数，集是可测集。证 设是可测函数，由于，而和都是可测集，所以是可测集。反之，若已知对任意实数，集是可测集，则由立即得是可测集。 证毕！例1.5.1 定义在闭区间上的任何一个连续函数都是上的Lebsgue可测函数。证 对任意实数，由的连续性，集是中的闭集（自习），因此是可测集；故都是上的可测函数。 例1.5.2 设函数定义在上，是一组互不相交的区间，函数称为阶梯函数，它是上的Lebsgue可测函数。证 因为对任意实数，或是全直线，或是空集，或是有限个区间的并，而这些都是Lebsgue可测集，所以是上的可测函数。例1.5.3 设是可测空间，且. 是定义在上的函数，且则是上的可测函数。例1.5.4 (不可测函数的例) 是Lebsgue可测空间，是Lebsgue不可测集，是的特征函数，. 因为是Lebsgue不可测集，所以函数不是上的Lebsgue可测函数。例1.5.5 也有这样的可测空间，定义在上的所有函数都是可测函数。例如，取（此时是一个代数），是定义在上的任意一个有限实函数，对任意实数，显然，故是上的可测函数。1.5.2 可测函数的性质定理1.5.2 设是可测空间，是定义在上的有限实函数，则(1) 若是上的可测函数，则必是可测集；反之不然（为什么？）。(2) 若是上的可测函数，可测，当作为上的函数时，是上的可测函数；(3) 设，若是可测集，则是上的可测函数的充分必要条件是：是上的可测函数。(4) 集是可测集的充分必要条件是：集的特征函数是上可测函数。证 (1) 因为，而根据可测函数的定义，集是可测集，所以是可测集。反之不然。因为对且，都存在. 若，其任意子集都，则.(2) 对任意实数，由于，而和都是可测集，所以是可测集，即作为上的函数时，它是上的可测函数。(3) 设是上的可测函数，由(2)知：是上的可测函数。 反之，若是上的可测函数，对任意实数，由于，所以是可测集，即作为上的可测函数。(4) 必要性：设集是可测集。因为而都是可测集，所以是上的可测函数。 充分性：设是上的可测函数。由上面的式子知，当时，.而是上的可测函数，故是可测集，即是可测集。证毕！注 性质(3)可以推广到有限个或可列个可测集，并且的情况。定理1.5.3 设是可测空间，是定义在上的有限实函数，则下面三个条件中的任何一个都是是上的可测函数的充分必要条件：(1) 对任意实数，是可测集； (2) 对任意实数，是可测集；(3) 对任意实数，是可测集。定理1.5.4 设是可测空间，都是上的可测函数，则(1) 对任意实数，是上的可测函数；(2) 是上的可测函数； (3) 及（对）是上的可测函数；(4) 都是上的可测函数。推论1 设是可测空间，都是上的可测函数，则对任意实数，是上的可测函数。推论2 设是可测空间，是上的可测函数，则是上的可测函数。In fact 由知：是上的可测函数。1.5.3 可测函数的极限定理1.5.5 设是可测空间，若是上的一列可测函数，则当的上确界函数、下确界函数、上限函数、下限函数分别是有限函数时，它们都是上的可测函数。推论 设是可测空间，若是上的一列有限的可测函数，若对一切，存在，而且有有限值，则极限函数是上的可测函数。定理1.5.6 设是可测空间，若是上的有限可测函数，则必存在一列，每个是可测集的特征函数的线性组合，使得在上处处收敛于.注 定理1.5.6说明：用可测集的特征函数的线性组合可以逼近可测函数。 推论 设是可测空间，若是上有界的可测函数，则必存在可测集的特征函数的线性组合的函数序列，使得在上一致收敛于.注 是上的有界函数是指：，对，都有. 是上的有限函数是指：，都有. 即：函数值都是有限实数的函数称为有限函数。显然有界函数是有限函数，反之则不然。例如：在内的任意函数值都是有限的，但它是内的无界函数。1.5.4 Lebsgue积分及其性质定义1.5.3 设是测度空间，是一个可测集，是定义在上的可测函数，设是有界的（即：存在实数，使得），在中任取一分点组. 记，并任取，作和式，称它为在分点组下的一个“和数”. 若存在数，它满足如下条件：对，使得对任意分点组，当时，有 (即：),则称在上关于测度是可积（分）的，并称是在上关于测度的积分，记作.特别地，当测度空间是Lebsgue测度空间，关于测度可积时，称是Lebsgue可积函数；称是在上关于测度的Lebsgue积分，记作. 通常就简记作. 当时，Lebsgue积分又记作.定理1.5.7 设是测度空间，且，则上的一切有界可测函数（关于测度）必是可积的。定义1.5.4 设，是上的函数。设，若对，当，且 时，有，则称是的连续点；若中每个点都是的连续点，则称是上的连续函数。的孤立点都是的连续点。定理1.5.8 (鲁津定理) 设是Lebsgue可测集，是上的Lebsgue可测函数。则对，必有闭集，使得，且是上的连续函数。定义1.5.5 设是测度空间的测度有限的集，是上一列函数，如存在上的非负函数，使得在上，（即：在上几乎处处不大于）对一切成立，则称是的控制函数。定理1.5.9（Lebsgue的控制收敛定理） 设可测集上的一列可测函数，是的一个可积的控制函数（即：在上有 ，而在上可积）。若依测度收敛于可测函数，则在上可积，且.定理1.5.10（Lebsgue的控制收敛定理） 设可测集上的一列可测函数，是的一个可积的控制函数。若几乎处处收敛于