北师大版选修21 第二章§2　空间向量的运算(二) 学案 (1).doc

2空间向量的运算(二)学习目标1.掌握两个向量的数量积的概念、性质、计算与运算律.2.掌握两个向量的数量积在判断向量共线与垂直中的应用知识点数量积的概念及运算律1已知两个非零向量a，b，则|a|b|cosa，b叫作a，b的数量积，记作ab，即ab|a|b|cosa，b2空间向量数量积的性质(1)abab0.(2)|a|2aa，|a|.(3)cosa，b.3空间向量数量积的运算律(1)(a)b(ab)(r)(2)abba(交换律)(3)a(bc)abac(分配律)特别提醒：不满足结合律(ab)ca(bc)1对于非零向量b，由abbc，可得ac.()2对于向量a，b，c，有(ab)ca(bc)()3若非零向量a，b为共线且同向的向量，则ab|a|b|.()4对任意向量a，b，满足|ab|a|b|.()类型一数量积的计算例1如图所示，在棱长为1的正四面体abcd中，e，f分别是ab，ad的中点，求：(1)；(2)；(3)；(4).考点空间向量数量积的概念及性质题点用定义求数量积解(1)|cos，cos 60.(2)|2.(3)|cos，cos 120.(4)()|cos，|cos，cos 60cos 600.反思与感悟(1)已知a，b的模及a与b的夹角，直接代入数量积公式计算(2)如果要求的是关于a与b的多项式形式的数量积，可以先利用数量积的运算律将多项式展开，再利用aa|a|2及数量积公式进行计算跟踪训练1已知在长方体abcda1b1c1d1中，abaa12，ad4，e为侧面ab1的中心，f为a1d1的中点试计算：(1)；(2)；(3).考点空间向量数量积的概念及性质题点用定义求数量积解如图，设a，b，c，则|a|c|2，|b|4，abbcca0.(1)b|b|24216.(2)(ac)|c|2|a|222220.(3)(abc)|a|2|b|22.类型二利用数量积证明垂直问题例2(1)已知空间四边形abcd中，abcd，acbd，那么ad与bc的位置关系为_(填“平行”“垂直”)考点空间向量数量积的应用题点数量积的综合应用答案垂直解析()()2()0，ad与bc垂直(2)如图所示，在正方体abcda1b1c1d1中，o为ac与bd的交点，g为cc1的中点，求证：a1o平面gbd.考点空间向量数量积的应用题点数量积的综合应用证明设a，b，c，则ab0，bc0，ac0，|a|b|c|.()cab，ba，()abc(ba)cbcaaba2b2ba(b2a2)(|b|2|a|2)0.于是，即a1obd.同理可证，即a1oog.又ogbdo，og?平面gbd，bd?平面cbd，a1o平面gbd.反思与感悟(1)证明线线垂直的方法证明线线垂直的关键是确定直线的方向向量，根据方向向量的数量积是否为0来判断两直线是否垂直(2)证明与空间向量a，b，c有关的向量m，n垂直的方法先用向量a，b，c表示向量m，n，再判断向量m，n的数量积是否为0.跟踪训练2如图，在空间四边形oacb中，oboc，abac，求证：oabc.考点空间向量数量积的应用题点数量积的综合应用证明因为oboc，abac，oaoa，所以oacoab，所以aocaob.又()|cosaoc|cosaob0，所以，即oabc.类型三利用数量积解决空间角或两点间的距离问题命题角度1解决角度问题例3在空间四边形oabc中，连接ac，ob，oa8，ab6，ac4，bc5，oac45，oab60，求向量与bc所成角的余弦值考点空间向量数量积的应用题点利用数量积求角解，|cos，|cos，84cos13586cos1202416，cos，.反思与感悟求两个空间向量a，b夹角的方法类同平面内两向量夹角的求法，利用公式cosa，b，在具体的几何体中求两向量的夹角时，可把其中一个向量的起点平移至与另一个向量的起点重合，转化为求平面中的角度大小问题跟踪训练3如图所示，在正方体abcda1b1c1d1中，求异面直线a1b与ac所成的角考点空间向量数量积的应用题点利用数量积求解解不妨设正方体的棱长为1，设a，b，c，则|a|b|c|1，abbcca0，ac，ab.(ac)(ab)|a|2abacbc1，而|，cos，0，180，60.又异面直线所成角的范围是(0，90，因此，异面直线a1b与ac所成的角为60.命题角度2求空间中的两点间的距离例4如图，正三棱柱(底面是正三角形的直三棱柱)abca1b1c1的各棱长都为2，e，f分别是ab，a1c1的中点，求ef的长考点空间向量数量积的应用题点利用数量积求线段长解设a，b，c.由题意，知|a|b|c|2，且a，b60，a，cb，c90.因为abc，所以|22a2b2c22222222222cos 6011415，所以|，即ef.反思与感悟求解距离问题时，先选择以两点为端点的向量，将此向量表示为几个向量和的形式，求出这几个已知向量的两两之间的夹角以及它们的模，利用公式|a|求解即可跟踪训练4在平行六面体abcda1b1c1d1中，ab1，ad2，aa13，bad90，baa1daa160，求ac1的长考点空间向量数量积的应用题点利用数量积求线段长解因为，所以()2222()因为bad90，baa1daa160，所以1492(13cos 6023cos 60)23.因为|2，所以|223，则|，即ac1.1对于向量a，b，c和实数，下列说法正确的是()a若ab0，则a0或b0b若a0，则0或a0c若a2b2，则ab或abd若abac，则bc考点空间向量数量积的概念及性质题点数量积的性质答案b解析结合向量的运算，只有b正确2已知向量a，b是平面内的两个不相等的非零向量，非零向量c是直线l的一个方向向量，则“ca0且cb0”是“l”的()a充分不必要条件b必要不充分条件c充要条件d既不充分又不必要条件考点空间向量数量积的应用题点数量积的综合应用答案b解析若ab，则不一定得到l，反之成立3已知|a|2，|b|3，a，b60，则|2a3b|等于()a.b97c.d61考点空间向量数量积的应用题点利用数量积求线段长答案c解析|2a3b|24a212ab9b24221223cos6093261，|2a3b|.4已知a，b为两个非零空间向量，若|a|2，|b|，ab，则a，b_.考点空间向量数量积的应用题点利用数量积求角答案解析cosa，b，a，b0，a，b.5已知正四面体abcd的棱长为2，e，f分别为bc，ad的中点，则ef的长为_考点空间向量数量积的应用题点利用数量积求线段长答案解析|22()22222()1222122(12cos120021cos120)2，|，ef的长为.1空间向量运算的两种方法(1)利用定义：利用ab|a|b|cosa，b并结合运算律进行计算(2)利用图形：计算两个数量的数量积，可先将各向量移到同一顶点，利用图形寻找夹角，再代入数量积公式进行运算2在几何体中求空间向量数量积的步骤(1)首先将各向量分解成已知模和夹角的向量的组合形式(2)利用向量的运算律将数量积展开，转化为已知模和夹角的向量的数量积(3)代入ab|a|b|cosa，b求解一、选择题1已知非零向量a，b不平行，并且其模相等，则ab与ab之间的关系是()a垂直b共线c不垂直d以上都可能考点空间向量数量积的概念与性质题点数量积的性质答案a解析由题意知|a|b|，(ab)(ab)|a|2|b|20，(ab)(ab)2已知向量a，b满足条件：|a|2，|b|，且a与2ba互相垂直，则a，b等于()a30b45c60d90考点空间向量数量积的应用题点利用数量积求角答案b解析根据a(2ba)0，即2ab|a|24，解得ab2，又cosa，b，又a，b0，180，a，b45，故选b.3若向量m垂直于向量a和b，向量nab(，r且，0)，则()amnbmncm不平行于n，m也不垂直于nd以上三种情况都有可能考点空间向量数量积的应用题点数量积的综合应用答案b4设平面上有四个互异的点a，b，c，d，已知(2)()0，则abc一定是()a直角三角形b等腰三角形c等腰直角三角形d等边三角形考点空间向量数量积的概念及性质题点用定义求数量积答案b解析由(2)()()()()()|2|20，得|，故abc为等腰三角形5已知a，b，c是两两垂直的单位向量，则|a2b3c|等于()a14b.c4d2考点空间向量数量积的应用题点利用数量积求线段长答案b解析|a2b3c|2|a|24|b|29|c|24ab6ac12bc14，|a2b3c|.6在长方体abcda1b1c1d1中，下列向量的数量积一定不为0的是()a.b.c.d.考点空间向量数量积的概念及性质题点数量积的性质答案d解析选项a，当四边形add1a1为正方形时，可得ad1a1d，而a1db1c，所以ad1b1c，此时有0；选项b，当四边形abcd为正方形时，可得acbd，又acbb1，bdbb1b，可得ac平面bb1d1d，故有acbd1，此时0；选项c，由长方体的性质可得ab平面add1a1，所以abad1，所以0，故选d.7在正方体abcda1b1c1d1中，有下列命题：()232；()0；与的夹角为60.其中真命题的个数为()a1b2c3d0考点空间向量数量积的概念及性质题点数量积的性质答案b解析正确；与的夹角为120，不正确，故选b.二、填空题8已知正方体abcda1b1c1d1的棱长为a，则_.考点空间向量数量积的应用题点数量积的综合应用答案a2解析如图，()()|2000a2a2.9已知空间向量a，b，|a|3，|b|5，mab，nab，a，b135，若mn，则的值为_考点空间向量数量积的应用题点数量积的综合应用答案解析由题意知ab|a|b|cosa，b3515，由mn，得(ab)(ab)0，即|a|2abab|b|21815(1)250.解得.10已知a，b是空间两个向量，若|a|2，|b|2，|ab|，则cosa，b_.考点空间向量数量积的应用题点利用数量积求角答案解析将|ab|化为(ab)27，求得ab，再由ab|a|b|cosa，b，求得cosa，b.11已知a，b均为单位向量，它们的夹角为60，那么|a3b|_.考点空间向量数量积的应用题点利用数量积求线段长答案解析|a3b|2(a3b)2a26ab9b216cos60913，|a3b|.三、解答题12如图，在直三棱柱abcabc中，acbcaa，acb90，d，e分别为棱ab，bb的中点(1)求证：cead；(2)求异面直线ce与ac所成角的余弦值考点空间向量数量积的应用题点利用数量积求角(1)证明设a，b，c，根据题意得|a|b|c|，且abbcca0，bc，cba，c2b20，即cead.(2)ac，|a|，|a|，(ac)c2|a|2，cos，即异面直线ce与ac所成角的余弦值为.13等边abc中，p在线段ab上，且，若，则实数的值为_考点空间向量数量积的概念及性质题点空间向量数量积定义答案1解析如图，故()|2|cos a，()(1)(1)|2，设|