15年高考真题——理科数学(新课标II卷).doc

2015年高考真题理科数学（解析版） 新课标II卷2015年普通高等学校招生全国统一考试新课标II卷数学（理科）一选择题：共12小题，每小题5分，共60分。在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一项。1已知集合，则( )（A） （B） （C） （D）2若为实数且，则( )（A） （B）0 （C）1 （D）23根据下面给出的2004年至2013年我国二氧化硫排放量（单位：万吨）柱形图。以下结论不正确的是（ ） （A）逐年比较，2008年减少二氧化硫排放量的效果最显著（B）2007年我国治理二氧化硫排放显现 （C）2006年以来我国二氧化硫年排放量呈减少趋势 （D）2006年以来我国二氧化硫年排放量与年份正相关4等比数列满足，则( ) （A）21 （B）42 （C）63 （D）845设函数，则 ( ) （A）3 （B）6 （C）9 （D）126一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如右图，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为( ) （A） （B） （C） （D）7过三，的圆交于轴于两点，则( )（A）2 （B）8 （C）4 （D）108右边程序抗土的算法思路源于我国古代数学名著九章算术中的“更相减损术”。 执行该程序框图，若输入分别为，则输出的( ) （A）0 （B）2 （C）4 （D）149设是球的球面上两点，为该球面上的动点，若三棱锥体积的最大值为36，则球的表面积为( )（A） （B） （C） （D） 10如图，长方形的边，是的中点，点沿着边，与运动，记，将动点到两点距离之和表示为的函数，则的图像大致为（ ）11已知为双曲线的左，右顶点，点在上，为等腰三角形，且顶角为，则的离心率为( ) （A） （B）2 （C） （D）12设函数是奇函数的导函数，当时，则使得成立的的取值范围是( ) （A）（B） （C） （D）二填空题：本大题共四小题，每小题5分。13设向量不平行，向量与平行，则实数_。14若满足约束条件，则的最大值为_。15的展开式中的奇数次幂项的系数之和为32，则_。16设是数列的前n项和，且，则 _。三.解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。17（本小题满分12分）中，是上的点，平分，是面积的2倍。求；若，求和的长。地区6273819295857464537678869566977888827689地区7383625191465373648293486581745654766579满意度评分低于70分70分到89分不低于90分满意度等级不满意满意非常满意18（本小题满分12分）某公司为了解用户对其产品的满意度，从两地区分别随机调查了20个用户，得到用户对产品的满意度评分如右表所示。根据两组数据完成两地区用户满意度评分的茎叶图，并通过茎叶图比较两地区满意度评分的平均值及分散程度（不要求计算出具体值，得出结论即可）；根据用户满意度评分，将用户的满意度从低到高分为三个不等级（右表所示）。记事件：“地区用户的满意度等级高于地区用户的满意度等级”。假设两地区用户的评价结果相互独立。根据所给数据，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率，求的概率。19（本小题满分12分）长方体中（如图），点分别在上，过点的平面与此长方体的面相交，交线围成一个正方形。在图中画出这个正方形（不必说明画法和理由）；求直线与平面所成的角的正弦值。20（本小题满分12分）已知椭圆：，直线不过原点且不平行于坐标轴，与有两个交点，线段的中点为。证明：直线的斜率与的斜率的乘积为定值；若过点，延长线段与交于点，四边形能否为平行四边形？若能，求此时的斜率；若不能，说明理由。21（本小题满分共12分）设函数。证明：在单调递减，在单调递增；若对于任意，都有，求的取值范围。请考生在第（22）、（23）、（24）三题中任选一题作答。注意：只能做所选定的题目。如果多做，则按所做的第一个题目计分，作答时请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的 方框涂黑。22（本小题满分10分）如图，为等腰三角形内一点，与的底边交于两点，与底边上的高交于点，且与分别相切于两点。证明：；若等于的半径，且，求四边形的面积。23（本小题10分）在直角坐标系中，曲线：（为参数，），其中，在以为极点，轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线：，：。求与交点的直角坐标；若与相交于点，与相交于点，求的最大值。24（本小题满分10分）设均为正数，且，证明：若，则；是的充要条件。2015年普通高校招生全国统考数学试卷新课标II卷解答一ABDBC DCBCB DA二13；14；153；16 17解：由题，。因为，所以。由正弦定理可得； 因，故。在和中，由余弦定理可知，故。由知，所以。 18解：两地区用户满意度评分的茎叶图如右下表所示。通过茎叶图可以看出：地区用户满意度评分的平均值高于地区用户满意度评分的平均值，地区用户满意度评分比较集中，地区用户满意度评分比较分散；地区地区4683513646426245568864373346992865183217552913记为事件“地区用户满意度等级为满意或非常满意”，为事件“地区用户满意度等级为非常满意”，为事件“地区用户满意度等级为不满意”，为事件“地区用户满意度等级为满意”，则与独立，与独立，与互斥，故。由题发生的频率分别为，故，故。19解：交线围成的正方形如图所示；作于，则，。因为正方形，故，于是，所以。以为坐标原点，的方向为轴的正方向，建立空间直角坐标系，则，。设为平面的法向量，则，即。可取。又，故，所以与平面所成角的正弦值为。20解：设直线：，由得，故，因此，即。所以直线的斜率与的斜率的乘积为定值； 四边形能为平行四边形。因过点，故不过原点且与有两个交点的充要条件是，。由得：，设的横坐标为，由得，即。将点的坐标代入的方程得，因此。四边形为平行四边形当且仅当线段与线段互相平分，即，于是，解得，。因，所以当的斜率为或时，四边形为平行四边形。 21解：由题，因在上恒成立，所以在上单调递增。又，故当时，；当时，。因此在单调递减，在单调递增；由知，当时，在的最大值为2，故成立；当时，令，则，故在上单调递增。因，故当时，即；当时，即。因此当时，令，则，故在单调递增，从而可得；当时，故即。综上可知，的取值范围是。22解：因是等腰三角形， ，故为的平分线。又与分别相切于，故，因此，从而；由知，故为的中垂线。又为的弦，故在上。连，则。因等于的半径，故，因此，从而和都是正三角形。因，故，。因，故，于是，。所以四边形的面积为。