北师大版选修22 直接证明与间接证明 学案.doc

2018-2019学年北师大版选修2-2 直接证明与间接证明 学案1综合法的定义利用 和某些数 、 、 等，经过一系列的 ，最后推导出所要证明的结论成立，这种证明方法叫做综合法2综合法的特点从“已知”看“ ”，逐步推向“ ”，其逐步推理，是由 导 ，实际上是寻找“已知”的 条件3综合法的基本思路用 表示已知条件、已有的定义、定理、公理等， 表示所要证明的结论，则综合法的推理形式为其逻辑依据是三段论式演绎推理4分析法定义从要证明的 出发，逐步寻求使它成立的 条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件（已知条件、定理、定义、公理等）为止，这种证明方法叫做分析法.5分析法的特点分析法是综合法的逆过程，即从“未知”看“ ”，执果索因，逐步靠拢“ ”，其逐步推理，实际上是要寻找“结论”的 条件分析法的推理过程也属于演绎推理，每一步推理都是严密的逻辑推理6分析法的基本思路分析法的基本思路是“执果索因”，从待证结论或需求问题出发，一步一步地探索下去，最后得到一个明显成立的条件若用 表示要证明的结论，则分析法的推理形式为7分析法与综合法的区别与联系（1）区别：综合法是“由因导果”，而分析法则是“执果索因”，它们是截然相反的两种证明方法分析法便于我们去寻找思路，而综合法便于过程的叙述，两种方法各有所长，在解决具体的问题时，结合起来运用效果会更好（2）联系：在分析法中，从结论出发的每一步所得到的判断都是使结论成立的充分条件，最后的一步归结为已被证明了的事实因此从分析法的最后一步又可以倒推回去，直到结论，这个倒推的证明过程就是综合法（3）分析法便于思考，叙述较繁；综合法叙述条理清楚，不便于思考，综合法是分析法的逆向思维过程，表述简单，条理清楚所以实际证题时，可将分析法、综合法结合起来使用，即：分析找思路，综合写过程8反证法的定义一般地，假设原命题不成立（即在原命题的条件下，结论不成立），经过正确的推理，最后得出 ，因此说明假设 ，从而证明了原命题 ，这样的证明方法叫做反证法反证法是间接证明的一种基本方法学 9反证法证题的原理（1）反证法的原理是“否定之否定等于肯定”（2）用反证法解题的实质就是否定结论，导出矛盾，从而说明原结论正确10反证法常见的矛盾类型（1）反证法的关键是在正确的推理下得出矛盾这个矛盾可以是与已知条件矛盾，或与假设矛盾，或与定义、公理、定理、公认的简单事实矛盾等矛盾是在推理过程中发现的，不是推理之前设计的（2）反证法的适用对象作为一种间接证明方法，反证法尤其适合证明以下几类数学问题：直接证明需分多种情况的；结论本身是以否定形式出现的一类命题否定性命题；关于唯一性、存在性的命题；结论以“至多”、“至少”等形式出现的命题；条件与结论联系不够明显，直接由条件推结论的线索不够清晰，结论的反面是比原结论更具体、更容易研究的命题k知识参考答案：1已知条件 定义 公理 定理 推理论证2可知 未知 因 果 必要3p q4结论 充分学 5需知 已知 充分6p8矛盾 错误 成立k重点综合法和分析法的思维过程及特点，反证法的特点k难点综合法和分析法的应用，反证法的应用k易错忽视隐含条件导致错误综合法的应用综合法的证明步骤如下：（1）分析条件，选择方向：确定已知条件和结论间的联系，合理选择相关定义、定理等；（2）转化条件，组织过程：将条件合理转化，书写出严密的证明过程特别地，根据题目特点选取合适的证法可以简化解题过程设实数成等差数列，实数成等比数列，非零实数是与的等差中项.求证：.分析法的应用分析法的证明过程是：确定结论与已知条件间的联系，合理选择相关定义、定理对结论进行转化，直到获得一个显而易见的命题即可已知，利用分析法证明：.反证法的应用应用反证法的注意事项：（1）用反证法证题时，必须把结论的否定作为条件使用，否则就不是反证法有时在证明命题“若，则”的过程中，虽然否定了结论，但是在证明过程中没有把“”当作条件使用，也推出了矛盾或证得了结论，那么这种证明过程不是反证法（2）用反证法证题，最后要产生一个矛盾命题，常见的主要矛盾有：与数学公理、定理、公式、定义或已被证明了的结论相矛盾；与假设矛盾；与已知条件矛盾；与公认的简单事实矛盾（3）矛盾是在推理过程中发现的，不是推理之前设计的已知.求证：，中至少有一个不小于6.【解析】假设，都小于6， 即，.，（当且仅当时取等号）.这与假设相矛盾,故假设不成立,从而原结论成立.学 【名师点睛】反证法证明“至少”“至多”型命题，可减少讨论情况，目标明确.否定结论时需弄清楚结论的否定是什么,避免出现错误.需注意“至少有一个”的否定为“一个都没有”，“至多有一个”的否定为“至少有两个”.设数列是公比为的等比数列，是它的前项和（1）求证：数列不是等比数列；（2）数列是等差数列吗？为什么？方法2：只需证明，因为，所以（2）当时，是等差数列当时，不是等差数列，否则有成等差数列即，所以由于，所以，因为，所以，与矛盾综上，当时，数列是等差数列，当时，不是等差数列忽视隐含条件导致错误设，为偶数，求证：【错解】为偶数，又和同号，【错因分析】这里题目中的条件为，而不是，因此，应分且和有一个为负值两种情况加以讨论【正解】当时，,，当中有一个为负值时，不妨设，且，故，由知结论成立学 / 【名师点睛】审题过程中注意将条件等价转化，要将所有可能情形找全，不要漏掉隐含的条件反证法证明的常见错误已知，求证：【错解】假设，则，与题设条件，矛盾假设不成立，原命题成立【错因分析】错解没有弄清原题待证的结论是什么，导致反设错误“求证：a0，b0，c0”的含义是“求证a、b、c三数都是正数”，故反设应为“假设a、b、c中至少有一个不大于0”【正解】证法1：假设中至少有一个不大于0，不妨设，若，则由，得，由得，这与已知矛盾又若，则与矛盾故“”不成立，同理可证证法2：假设是不全为正的实数，由于，所以中只能是两负一正，不妨设，这与矛盾，故假设不成立，原结论成立即全为正实数已知实数p满足不等式(2p+1)(p+2)0，用反证法证明:关于x的方程x2-2x+5-p2=0无实数根.【错解】假设方程x2-2x+5-p2=0有实数根，由已知实数p满足不等式(2p+1)(p+2)0，解得-2p，而关于x的方程x2-2x+5-p2=0的根的判别式=4(p2-4).-2p,p24,0,即关于x的方程x2-2x+5-p2=0无实数根.【错因分析】错解在解题的过程中并没有用到假设的结论,故不是反证法.【正解】假设方程x2-2x+5-p2=0有实数根,则该方程的根的判别式=4-4(5-p2)0,解得p2或p-2,而由已知实数p满足不等式(2p+1)(p+2)0,解得-2p.数轴上表示的图形无公共部分,故假设不成立,从而关于x的方程x2-2x+5-p2=0无实数根.1下列表述：综合法是由因导果法；综合法是顺推法；分析法是执果索因法；分析法是间接证明法；分析法是逆推法其中正确的表述有a2个b3个c4个d5个2在用反证法证明“已知，且，则，中至少有一个大于”时，假设应为a，中至多有一个大于 b，全都小于c，中至少有两个大于 d，均不大于3欲证成立，只需证a bc d4命题“若则”的证明过程：“要证明，即证因为即证，即证即证因为上式成立，故原等式成立应用了a分析法 b综合法c综合法与分析法结合使用 d演绎法5下列函数f(x)中，满足“对任意x1，x2(0，)，当x1f(x2)”的是af(x)bf(x)(x1)2cf(x)exdf(x)ln(x1)6有以下结论：已知，求证：，用反证法证明时，可假设；已知，求证方程的两根的绝对值都小于1，用反证法证明时可假设方程有一根的绝对值大于或等于1，即假设下列说法中正确的是a与的假设都错误 b与的假设都正确c的假设正确，的假设错误 d的假设错误，的假设正确7对一切实数x，不等式x2a|x|10恒成立，则实数a的取值范围是a(，2b2，2c2，)d0，)8用反证法证明命题“三角形的内角中最小角小于等于”时，假设命题的结论不成立的正确叙述是 (填序号)假设最小角不大于； 假设最小角大于；假设最大角大于； 假设最大角小于等于9等式“”的证明过程:“等式两边同时乘得,左边,右边=1,左边=右边,故原不等式成立”,应用的证明方法是 .(填“综合法”或“分析法”)10 (填“”或“”)11补足下面用分析法证明基本不等式的步骤：要证明，只需证明，只需证 ，只需证 ，由于 ，显然成立，因此原不等式成立12用综合法或分析法证明： （1）如果，那么； （2）设，求证：.13已知是正实数，且.求证：（1）；（2）.14已知正数成等差数列，且公差，用反证法证明：不可能是等差数列15l1，l2，l3是空间三条不同的直线，则下列命题正确的是al1l2，l2l3l1l3bl1l2，l2l3l1l3cl1l2l3l1，l2，l3共面dl1，l2，l3共点l1，l2，l3共面16要使成立，则a，b应满足的条件是aab0且abbab0且abcab0且abdab0且ab或ab0且ab17若实数满足，给出以下说法：中至少有一个大于；中至少有一个小于；中至少有一个不大于1；中至少有一个不小于.其中正确说法的个数是a3 b2c1 d018若定义在上的二次函数f(x)ax24axb在区间0，2上是递增函数，且f(m)f(0)，则实数m的取值范围是a0m4b0m2cm0dm0或m419已知、为实数，给出下列三个论断：0；|5；|2，|2以其中的两个论断为条件，另一个论断为结论，写出你认为正确的命题是 (用序号及“”表示)20用反证法证明命题“若直线ab、cd是异面直线，则直线ac、bd也是异面直线”的过程归纳为以下三个步骤：则a、b、c、d四点共面，所以ab、cd共面，这与ab、cd是异面直线矛盾；所以假设错误，即直线ac、bd也是异面直线；假设直线ac、bd是共面直线则正确的序号顺序为 21设二次函数,关于的不等式的解集有且只有一个元素.（1）设数列的前项和,求数列的通项公式;（2）记,则数列中是否存在不同的三项成等比数列?若存在,求出这三项,若不存在,请说明理由.22如图，在四棱锥pabcd中，底面abcd是矩形，pa平面abcd，apab，bpbc2，e，f分别是pb，pc的中点（1）证明：ef平面pad；（2）求三棱锥eabc的体积v1【答案】c2【答案】d【解析】用反证法证明，应先假设要证命题的否定成立而要证命题的否定为：“假设，均不大于”，故选d3【答案】c【解析】要证，因为不等式两边为负数，所以变形为证明，此时不等式两边都为正数，故有分析法可得只需证即可，故选c4【答案】a【解析】题中的证明方法为执果索因，这是典型的分析法，即原等式成立应用了分析法.故选a.5【答案】a【解析】若满足题目中的条件，则f(x)在(0，)上为减函数，在a、b、c、d四个选项中，只有a满足，故选a6【答案】d【解析】用反证法证明问题时，其假设是原命题的否定，故的假设应为“”；的假设为“两根的绝对值不都小于1”，则假设错误，假设正确故选d学 7【答案】c【解析】用分离参数法可得a(|x|)(x0)，而|x|2，a2，当x0时原不等式显然成立故选c8【答案】【解析】用反证法证明命题：“三角形的内角中最小角小于等于”时，应假设命题的否定成立，而命题“三角形的内角中最小角小于等于”的否定是：三角形的内角中最小角大于，故答案为.9【答案】综合法【解析】从已知出发，根据公式进行等价变形，直至证得结论，所以是综合法.10【答案】11【答案】a2b22ab0 (ab)20 (ab)20【解析】要证明，只需证明a2b22ab，只需证a2b22ab0，只需证(ab)20，由于(ab)20显然成立，因此原不等式成立12【解析】（1）综合法：又分析法：要证只需证即证只需证即证即证而恒成立，故原不等式成立.13【解析】（1），.（2），三式相加，得.学 15【答案】b【解析】在空间中，垂直于同一直线的两条直线不一定平行，故a错；两平行线中的一条垂直于第三条直线，则另一条也垂直于第三条直线，b正确；相互平行的三条直线不一定共面，如三棱柱的三条侧棱，故c错；共点的三条直线不一定共面，如三棱锥的三条侧棱，故d错故选b16【答案】d【解析】用分析法寻求使不等式成立的条件，当ab0时，有，即ba；当ab0时，有，即ba故选d17【答案】b【解析】由题意满足，则在、中，当时，满足，所以命题不正确；对于，假设三个数都大于，则，这与已知条件是矛盾的，所以假设不成立，则中至少有一个不大于，所以是正确的；对于，假设三个数都小于，则，这与已知条件是矛盾的，所以假设不成立，则中至少有一个不小于，所以是正确的.综上可知，正确的命题有2个，故选b 18【答案】a【解析】二次函数f(x)ax24axb的对称轴为x2，f(x)在0，2上是递增函数，a0，f(m)f(0)，0m4，故选a学 19