关于采购煤的数学模型.doc

关于采购煤的数学模型问题重述：某单位采购员在秋季要决定冬季取暖用煤的贮量问题。已知在正常的冬季气温条件下要消耗15吨煤，在较暖与较冷的气温条件下要消耗10吨和20吨。假定冬季时的煤价随天气寒冷程度有所变化，在较暖、正常、较冷的气候条件下每吨煤价分别为10元，15元和20元，又设秋季时煤价为每吨10元，若贮煤多于实际用量，多出的部分每吨需要1元的贮存费。在没有关于当年冬季准确的气象预报的条件下，采购员要确定秋季贮煤多少吨总的支出最少。 1.试对该问题建立矩阵对策模型。 2.该对策模型在纯策略意义下是否有解？如果无解请写出求解最优混合策略的线性规划模型公式并用Lingo求解。问题分析及模型假设：该问题我们可以认为是一个博弈问题，博弈双方为采购员和气候，即采购员和气候为局中人，由于采购员要使自己的总支出最小，而气候我们可以认为它的目的是使采购员的总支出最大。由题意只采购员储煤量在1020吨之间，考虑采购员如果少储存一吨需要多支出5元或者10元，而多出一吨储存仅需支出1元储藏费，所以采购员采取的合理决策行动有三个：储煤10吨、储煤15吨、储煤20吨；气候的决策行动也有三个即：气候较暖、气候正常、气候较冷 博弈双方的决策行动极其产生的结果可以清晰地用表1描述（采购员的总支出）。 表1 采购员与气候的博弈及其产生的结果 气候 采购员 较暖 正常 较冷 储煤10吨支出100元 支出175元支出300元 储煤15吨 支出155元 支出150元 支出250元 储煤20吨 支出210元 支出205元 支出200元模型建立：由以上分析我们可以得到采购者的决策集S1=q1,q2,q3,q1、q2、q3分别表示储煤10吨、储煤15吨、储煤20吨，气候的决策集S2=w1,w2,w3,w1、w2、w3分别表示天气较暖、正常、较冷，则采购者的赢得矩阵为： 因：v1=max min aij=-210，i*=3；v2=min max aij=-200，j*=3 i j j i所以v1v2, 即在纯策略意义下矩阵对策G=S1 ， S2；A 不存在解。我们建立混合意义下的模型，有：采购者的混合策略集为： S1*=x=(x1,x2,x3)|气候的混合策略集为： S2*=y=(y1,y2,y3)| 则采购者的赢得函数为：E(x,y)=xAyT = 采购者希望获得最大期望效用，因而所面临的决策问题是： max xAyT (x S1*) 模型求解： 由于双方都希望优化自己的赢得，所以采购者面临的决策问题可以转化为： max min xA =VM （1）其中min是对xA中所有的元素取极小。类似的，气候的所面对的决策问题可转化为： min max AyT =VN （2）由于要达到纳什均衡所以有：VM = VN =V，则V即为对策G=S1 ， S2；A在混合意义下的最优值则转化为线性规划问题有：V, j=1,2,3 ； （3）将（3）转化为标准的线性规划形式，不妨假设V0，（考虑到A的值都为负值所以我们将A的每一元素都加上300，则将V最终变为正值且求得的值比实际值大300记为V）在（3）中令Xi=xi/V,则（3）变为：1, j=1,2,3 ； /V （3）由于V是采购员可能的最小赢得中最大的那个，所以我们的问题是求解在Xi未知的情况下求解其最大值。对此我们可以建立起线性规划模型（4）： V=1/z min z=X1+X2+X3200*X1+145*X2+90*X31125*X1+150*X2+95*X31 （4）0*X1+50*X2+100*X31X1、X2、X30 同理对于气候方，我们也可建立线性规划模型 V“=1/ max =Y1+Y2+Y3200*Y1+125*Y2+0*Y31145*Y1+150*Y2+50*Y31 （5）90*Y1+95*Y2+100*Y31Y1、Y2、Y30软件实现：利用lingo软件求解（4）其结果如下：由上可得min z =0.0105，X1=0.0005，X2=0，X3=0.01，故V=1/z=95.24，所以V= V-300=-204.76, S1*=0.0005/0.0105，0/0.0105，0.01/0.0105=1/21，0，20/21; 由上可得max=0.0105，X1=0.0005，X2=0，X3=0.01，故V“=1/=95.24，所以V= V“-300=-204.76, S2*=0.005/0.0105，0/0.0105，0.01/0.0055=10/21，0，11