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例谈坐标伸缩变换在解题中的应用胡浩鑫 （浙江省温州中学 325000）新课程在选修4系列的坐标系与参数方程中介绍了有关坐标伸缩变换的概念.定义：设点是平面直角坐标系中的任意一点，在变换的作用下，点对应到点，则称为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换。 若能充分挖掘伸缩变换的性质，并应用于解析几何的解题过程中，有时可以大大的减少计算量.伸缩变换的常见性质有：性质1 保持结合性不变，即若在的作用下点对应点，曲线对应到曲线，则点在曲线上的充要条件是点在曲线上性质2 若在的作用下两点对应到，若直线的斜率为，直线的斜率为，则性质3 若在的作用下，共线的三点对应到共线的三点，则点分的比等于点分的比性质4 若在的作用下，对应到，则 限于篇幅，只证明性质3和性质4性质3的证明设，则，设点分的比为，即，则设点分的比为，即，则性质4的证明设，则，则 所以 下面举例说明上述性质的应用.例1北京奥运会主体育场“鸟巢”的钢结构俯视图如图所示，内外两圈的钢骨架是离心率相同的椭圆，外层椭圆顶点向内层椭圆引切线，设内层椭圆方程为，外层椭圆方程可设为，若与的斜率之积为，求椭圆的离心率解：定义伸缩变换：，则在的作用下内外层椭圆分别对应圆和圆,点分别对应点 由性质1知是圆的切线.由已知，由圆的性质易知即由性质2得 从而，可得离心率例2已知是椭圆上的任意一点，O是坐标原点，过作直线交椭圆于两点，且，探索的面积是否为定值，若是，求出该定值；若不是，求出它的最大值解：定义伸缩变换：，则在的作用下椭圆对应圆，设点分别对应点 由性质3，故为的重心，又为的外心，从而为正三角形。易得圆的内接正三角形的面积为定值 由性质4，从而为定值.例3(2008年安徽省数学竞赛)设点，点在椭圆上，求的最大值，并求出取得最大值时直线的方程.解：显然点在椭圆上，为此椭圆的内接三角形定义伸缩变换：，则在的作用下椭圆对应圆，点对应点，设点对应点，则由性质1知为圆的内接三角形由性质4知，所以当最大时，取得最大值由平面几何中的常见结论：圆的内接三角形中，正三角形的面积最大，并注意到，易得当，时，为正三角形，取得最大值，故的最大值为，此时，直线的方为例4已知抛物线：，过点的直线与抛物线交于两点，且，过点向直线作垂线，垂足分别为，的面积分别记为，求解：定义伸缩变换：则抛物线：对应为抛物线：，点对应的点仍为，直线仍对应直线，设点分别对应，由知，故与直线仍垂直，同理，与直线也垂直。 易知点为抛物线的焦点，直线为抛物线的准线，则，；由性质3知 记的面积分别为和，则由性质4，总之，在求解解析几何问题的过程中，若能充分挖掘一些几何性质，必将减少计算量；上述的例子若用传统的方法计算量是很大的，
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