用微积分理论证明不等式的几种方法.doc

哈尔滨师范大学 学 年 论 文 题 目 用微积分理论证明不等式的几种方法学 生 韩倩指导教师 李智华 副教授年 级 2005级8班专 业 数学与应用数学系 别 数学系学 院 数学与计算机科学学院哈 尔 滨 师 范 大 学 2007年06月 用微积分理论证明不等式的几种方法韩倩摘要：本文总结了利用微积分理论证明不等式的10种方法：导数定义法、单调性法、极值与最大最小值法、拉格朗日中值定理法、柯西中值定理法、函数的凹凸性法、泰勒公式法、幂级数展开式法、定积分理论法、参数法.关键词:不等式、导数、拉格朗日中值定理、柯西中值定理、泰勒公式.用微积分理论证明不等式的方法 高等数学中所涉及到的不等式，大致可分为两种:函数不等式(含变量)和数值不等式(不含变量)对于前者，一般可直接或稍加变形构造一函数，从而可通过研究所构造函数的性质，进而证明不等式；对于后者，我们也可根据数值不等式的特点，巧妙的构造辅助函数，从而将数值不等式问题转化为函数的问题，研究方法正好与前者相似微积分是高等数学中的重要内容，以它为工具能较好的研究函数的形态，有些常规方法难于证明的不等式，若能根据不等式的结构特征，巧妙的构造函数，将不等式问题转化为函数的问题，利用微积分理论研究函数的性质，应用函数的性质证明不等式一、用导数定义证明不等式法1证明方法：(1)找出，使得恰为结论中不等式的一边；(2)利用导数的定义并结合已知条件去研究2例例1:设函数，其中都为实数，为正整数，已知对于一切实数，有，试证：证明：因则得：由于所以即二用可导函数的单调性证明不等式法1.证明方法（1）构造辅助函数，取定闭区间；.(2)研究在上的单调性，从而证明不等式.2.例例2：证明不等式：.证明：令，易知在上连续，且有，由定理二可知在上严格单调增加，所以由单调性定义可知，即.因此.例3：求证：.证明：设辅助函数.易知在上连续，且有.则由定理二可知在上严格单调增加.由，有，得到，所以原不等式成立.三、函数的极值与最大、最小值证明不等式法1.证明方法（1）构造辅助函数，并取定区间. (2)求出在所设区间上的极值与最大、最小值.2.例例5：证明：当时有.证明：构造辅助函数，则有令，解得，其中只有在区间内，由，有在点连续因当时，则在上为减函数；当时，则在上为增函数；由定理四可知，在处取得极小值，即为区间上的最小值，所以当时，有故即四、用拉格朗日中值定理证明不等式法1.证明方法辅助函数，并确定施用拉格朗日中值定理的区间；对在上施用拉格朗日中值定理；利用与的关系，对拉格朗日公式进行加强不等式.2.例例6：证明：当.证明：构造函数，因在上连续，在上可导，在上满足拉格朗日条件，于是存在，使 ，因， .即.五、用柯西中值定理证明不等式法1.证明方法构造两个辅助函数和，并确定它们施用柯西中值定理的区间；对与在上施用柯西中值定理；利用与的关系，对柯西公式进行加强不等式.2.例例7：设，证明.证明：原不等式等价于，可构造函数，,因均在上连续，在上可导，且，由于，则，所以在上满足柯西中值条件，于是存在，使得，又因有，得： ,因此,即.六、用函数的凹凸性证明不等式命题（詹森不等式） 若在上为凸函数，对任意的且,则.该命题可用数学归纳法证明.2.证明方法：定义证明法：将不等式写成定义的形式，构造辅助函数，并讨论在所给区间上的凹凸性.詹森不等式法：对一些函数值的不等式，构造凸函数，应用詹森不等式能快速证此类不等式.3.例例8：证明：当时, .证明（定义证明法）：设.有.则在为凸函数.对任意，有(取).(要使与的系数相同，当且仅当时成立，即).因此.七、用泰勒公式证明不等式法1.证明方法根据已知条件，围绕证明目标，选取恰当的点将函数在这些点展成泰勒展式；根据已知条件，向着有利于证明目标不等式的方向对上面的展式作适当的处理，直到可以结合已知条件证出不等式为止.（注意具体的题目应用此方法时要灵活运用，有些题目在进行前，要先对已知条件或证明目标进行适当的转化，以更有利于证明的进行，使不会过于繁琐.）2.例例9：设函数在上二阶可导，,且，试证明：.证明：取，有：.由于则 因此原不等式成立.八、用定积分理论来证明不等式法1.证明方法根据定积分的性质和变上限辅助函数理论定积分性质之一：设与为定义在上的两个可积函数，若则.微积分学基本定理：若函数在上连续，则由变动上限积分，定义的函数在上可导，而且.也就是说，函数是被积函数在上的一个原函数.微积分学基本定理沟通了导数和定积分这两个从表面看去似不相干的概念之间的内在联系.2.证明方法利用定积分的性质证明不等式法：对可积函数，先证出，然后由定积分的性质可证（见例14）；构造变上限辅助函数证明不等式法：对于含有定积分的不等式，可把常数变为变数构造辅助函数，利用变上限积分及函数的单调性解决此类不等式（见例15）.3.例例11：证明：.证明（利用定积分性质）：当时，则.因，在上均为连续函数.则在均可导.由定积分性质可知：4.适用范围当不等式含有定积分（或被积函数时），可用定积分的性质来证明或构造上限辅助函数来证明.参考文献：1.同济大学数学教研室.高等数学.北京高等教育出版社.19962.华东师范大学数学系.数学分析.北京高等教育出版社.20013.常微分方程.北京高等教育出版社.2006学年论文（设计）成绩表论文题目 数学中的归纳法作 者