孙膑庞涓精确解答鬼谷子问题.doc

我们先来论述一下这个问题：一天，鬼谷子随意从2-99中选取了两个数。他把这两个数的和告诉了庞涓，把这两个数的乘积告诉了孙膑。但孙膑和庞涓彼此不知到对方得到的数。第二天，庞涓很有自信的对孙膑说：虽然我不知到这两个数是什麽，但我知道你一定也不知道。随后，孙膑说：那我知道了。庞涓说：那我也知道了。 总体而言就是说庞涓根据手上的信息判断出来孙膑不知道，孙膑根据庞涓判断自己不知道的信息加上手中的两数之积得到这两个数字，庞涓根据孙膑得到了这两个数字的这个信息得到自己的两个数字。总体来说就是庞涓说“我不知道，你不知道”，孙膑用庞涓的“你不知道”而知道，庞涓利用孙膑的“知道”而知道。引号中是信息流的内容。这里最重要的就是庞涓的那句话，我们来仔细分析。庞涓说“虽然我不知到这两个数是什麽，但我知道你一定也不知道。”庞涓手中的数字是两个数之和，他不知道是很正常的，但是第二个信息就很重要，庞涓何以肯定孙膑不知道?也就是说庞涓手中的这个和数的任意可能拆分所构造出来的两个数字绝对不是孙膑手中的乘积的唯一分解，换句话说这两个数所构造的乘积绝对不是只能展开成这两个数的乘积。我们要仔细考虑这个信息。第一点，众所周知，庞涓手上的数必定不能化成两个素数之和，一旦庞涓手上的和数可以（注意，是可以）化成两个素数之和的话，庞涓就无法肯定孙膑一定不知道这两个数，因为素数的乘积只能唯一的分解成这两个素数，举个例子，比如说庞涓手上得到的和数是20,20=13+7（一种可能性），一旦孙膑手上的两数之积是13*7=91，那么孙膑看一眼瞬间就可以知道这两个数是什么数了，那么庞涓自然就无法肯定孙膑不知道。由此我们就得到本段开头的结论（同样的道理，2是素数，自然一切可以拆分成2+素数形式的和也不会出现在庞涓手上）。但是我们知道哥德巴赫猜想中有任意大于6的偶数都可以化成两个素数之和（有同学说这个猜想还没有被证明，但是至少200以内的偶数是可以穷尽的，所以这个猜想对于我们现在的这个问题是适用的），但是因为除了2以外的素数都是奇数，奇数之和是偶数，所以我们排除了庞涓手上的和数是一个偶数的可能性，并且这个和数减去2不能是一个素数，这是庞涓第一句话的第一个信息。第二点，很重要！但是很难想到！的一点如下。这两个数都是在2-99这样的区间内取的，这个区间和庞涓的第一句话在一起就是一个极其强有力的限制！我们瞬间就排除了庞涓手上的数大于53（53是乘以2最接近100的素数）的可能性。这是为什么呢？假如庞涓手上的数是100以上的一个数，那么我们必然可以把这个数拆成97和某个数之和（134=97+37/166=97+69），一旦我们做成这样的拆分，庞涓的话就不成立了，因为庞涓肯定孙膑不知道，那么庞涓手上的数不可拆成两个相乘唯一分解数。用刚才的例子，166虽然不能拆成两个小于99的素数之和，但是166=97+69（可能），一旦孙膑手上得到的数是97*69的话，孙膑就会立刻得到这两个数了，因为97是素数，所以97*69一定不能变成另外两个小于99的数之积（不相信的话可以去试一试，69可以分解成3*23，不管把3还是23和97相组合都明显超出99的范畴了）。于是庞涓手上一定不是一个大于100的数。如果是小于100大于53的数，那么这个数一定能被拆分成53和另外一个数之和，因为刚才一样的原因，这两个数的乘积只能被拆分成这两个数（小于99）相乘。所以现在我们得到结论，庞涓手上的必须是小于等于53的数字！（很神奇）庞涓首先说的两句话代表的信息，我们已经梳理完了，概括为以下三点，庞涓手上的和数必须是：一个小于等于53的数字；必须是奇数；这个数不能拆成两个素数之和（包括2+素数在内）。2到53总共有52个数，奇数的话只剩下26个数，除去所有的（素数+2）（在2到53之中，共16个素数，除去2和53），又排除掉14个数，还剩下12个数，去掉3，也就是说庞涓手上的数只有11种可能性，如下：11 17 23 27 29 35 37 41 47 51 53 我们称这11个数为11数集合，这些具体的数我们暂且不考虑，接下来我们只利用上面给出的一些条件来继续讨论孙膑和庞涓的话。现在我们要考虑孙膑说的话了，孙膑说“我知道了。”孙膑作为一个旁观者和我们一样，一听到庞涓的吹嘘立刻心算如上的步骤，就得到和我们一样的三点结论。结合自己手中的两个数之积，孙膑恍然大悟。那么孙膑知道了对这两个数的限制什么呢？如下因为庞涓手上的数是个奇数，必然可以变成奇数和一个偶数之和，那么孙膑手上的这个两数之积必然是一个偶数（偶数乘以奇数）。我们可以对这个乘积做一个分解变成（2n*奇数）的形式，如果这个奇数是一个奇合数的话，那么孙膑不可能立刻得到这两个数，因为比如4*27=36*3，也就是说孙膑手里的分解不唯一了，我们必须舍弃这个奇数是合数的可能性，那么孙膑手中的两个数之积一定是（2n*奇素数）的形式（在不考虑11数集合约束的条件下，我们暂且这么肯定的说：孙膑手中的两个数之积只可以采取（2n*奇素数）的形式）。庞涓紧接着说“我也知道了”，他也知道了在不考虑11数集合约束的条件下-孙膑手中的两个数之积一定是（2n*奇素数）的形式，为了让庞涓也立刻知道，也就是说这个（2n*奇素数）的形式必须是唯一的表达为两个数之和（也就是能够唯一确定的）。但是我们还需要记住：孙膑手中的两数之积有的时候是分解成（2n*奇合数）的形式，我们稍后（下面蓝色字体部分）再来排除掉（2n*奇合数）这种形式出现的可能性。现在我们可以来考虑刚才给的那11个数了。11=4+7=8+3 23=16+7=4+19 27=16+7=4+23 35=32+3=4+31 37=32+5=8+29 47=4+43=16+31 51=8+43=32+19（以上这7组数据都发生了：虽然两个数之积是（2n*奇素数）的形式，并且和数都符合11数集合约束，但是庞涓却不能够唯一确定的矛盾情况，因此必须排除）剩下的只有四组可能性了17= 4+13 4*13=5229= 16+13 16*13=20841= 4+37 4*37=14853= 16+37 16*37=592（以上这4组数据的两个数之积是（2n*奇素数）的形式，并且和数都符合11数集合约束，而且具有唯一的（2n*奇素数）组合形式，因此可以暂时保留，进行下一步分析，研究这4组数据是否存在其他潜在的漏洞）接下来对于这四组数据进一步研究：假设孙膑手中的两个数之积可以采用（2n*奇素数）或者也可以采用（2n*奇合数）的形式，同时考虑11数集合约束的条件。由于实际上孙膑手上的这个积的话分解的两个数有很多情况下都是两数之和不属于11数集合，这时候会出现孙膑可以唯一的确定、但是庞涓却不能通过和数来唯一确定的情况。或者出现了两数之和虽然属于11数集合约束的条件、但是孙膑却不能通过积数来唯一确定两个数字的情况。我们必须把这些可能性全部排除。现在我们再依次整理这4组数据，从大到小逐一分析此刻不考虑两个数之积一定是（2n*奇素数）的形式，而将其扩展到两数之积也许是分解成2n*奇合数的形式，或者也许是2n*奇素数的形式首先来看，举例53=16+37=6+47（假如两数之积分解成2n*奇合数，会发现什么样的矛盾呢？对于孙膑可以唯一的确定情况，庞涓是否同样能唯一确定？）,6*47=2*3*47=3*94，3+94=97，这个97不属于11数集合，那么孙膑就能根据和数是否属于11数集合，来唯一的确定这两个数是6和47、而不会是3和94，但是庞涓此时就不知道到底是16和37还是6和47了，所以53要排除。其次来看，举例41=4+37=10+31 ，10*31=2*5*31=5*62，62+5=67不属于11数集合，孙膑依然能唯一确定这两个数是10和31，但是庞涓此时就不知道到底是4和37还是10和31了。接着看，举例29=16+13=27+2,2*27=2*3*3*3=6*9=18*3，但是因为6+9=15,18+3=21。15和21都不属于11数集合，所以孙膑能依然确定，庞涓还是不能依然确定。以上只是举例，没有把所有可能加法情况全部分析（也无需全部分析），因为只要有一种可能性导致了庞涓或孙膑的不确定，这个数立刻就应该被排除了（29、41、53均存在潜在漏洞导致了不确定性）。但是要证明一个数是完美符合的，我们就得穷举该数字对应的所有可能加法，接下来我们就采用穷举法来分析17这个和数。17=4+13=3+14=2+15=5+12=6+11=7+10=8+9仔细考虑，只有4和13是两人都能唯一确定的，其他加法会出现矛盾情况，具体分析如下：3*14=3*2*7=6*7=21*2，因为21+2=23与3+14=17一样同属于11数集合，所以如果分解成3和14的话孙膑知道积数是42，就不能唯一确定到底是21、2还是3、14，故不能分解成3和14.2*15=2*3*5=6*5=10*3，因为6+5=11属于11数集合，故不能分解成5和6.5*12=5*3*4=20*3=15*4，因为20+3=23属于11数集合，故不能分解成5和12.6*11=2*3*11=2*33=22*3，因为2+33=35属于11数集合，故不能分解成6和11.7*10=7*2*5=14*5=2*35，因为2+35=37属于11数集合，故不能分解成7和10.8*9=2*2*2*3*3=6*12=4*18=36*2=24*3，因为24+3=27属于11数集合，故不能分解成8和9.所以这个和数只能是17，17=4+13，4*13=2*2*13=2*26，由于2+26=28不属于11数集合可以被孙膑排除，故而只能分解成4+13=17，乘积是4*13=52。那么鬼谷子选了4和13，给了庞涓17，给了孙膑52。以上是完全以懵然无知的旁观者的角度来分析此问题的，如果是当局者，问题就简单多了。比方说：阿拉是孙膑，手里的积数是52，正在犹豫是52=2*26还是52=4*13，发愁要不要找校长教授导师三位一体的鬼谷子潜规则白相一下呢？这时候，自作聪明的庞涓沉不住气发话了：次奥师弟噢，虽然俺不知到这两个数是什麽，但俺（通过牛叉的哥德巴赫猜想）确定知道汝一定也不知道。孙膑一听此言，通过长江