Maple6-ch2-线代数.doc

第二章 线性代数 2.1 向量运算2.1.1 向量的生成2.1.2 向量的运算2.1.3 向量的转化2.2 矩阵的生成与修改2.2.1 创建简单矩阵的几种方法 1 用array()2. 用Matrix()linalg函数库中函数3. 用菜单ViewPalletesMatrix Palletes4. 用for循环2.2.2 几种特殊矩阵的创建方法2.2.3 访问矩阵元 1 修改元素2 提取矩阵元素linalg库中的函数row()和col()（1）整行、整列的提取row(), col()（2）提取子矩阵submatrix2.2.4 矩阵的初等变换与修改2.3 矩阵的运算及其特征值求解2.3.1 基本运算2.3.2 行列式的求解2.3.3 矩阵的转置2.3.4 矩阵的秩 1. 最大无关组basis(v1,v2,) 2. 矩阵的行及列向量的最大无关组 3.矩阵行及列向量的规范最大无关组4.矩阵的秩2.3.5 逆矩阵2.3.6 矩阵的特征值和特征向量2.3.7 相似矩阵与矩阵的对角化1判断两个矩阵相似（B是A的相似矩阵，即存在可逆阵P，使P(-1)AP=B，并求相似变换矩阵P 2. 判断矩阵可对角化即与其对角形相似2.4 解线性方程组2.4.1Guass-Jordan消元法2.4.1Maple 6, P94第二章 线性代数 2.1 向量运算2.1.1 向量的生成在Maple中，用表示列表的“ ”符号标记向量。同时用户也可以将向量看做是一种特殊的列表，只是它的下标从1开始。因此有关列表的运算同样适用于向量间的运算。但通过一般过程定义的列表将不具备向量的性质。 array(1.3,1,2,3); 定义列表 type(%,vector); 判断是否向量 type(%,array); 判断是否列表 A:=array(0.3,a,b,c,d)； 下标从“0”开始，定义的不是向量 type(A,vector); A:=array(1.4,a,b,c,d); 下标从“1”开始，定义的是向量 type(A,vector); type(A,array);还可利用linalg程序包中的“linalgvector”, 或者直接作用系统自带的vector函数。 vector(1,2,3); v:=v: v:=vector(5,8); 生成5个相同的分量 linalgvectdim(v); 判断向量的维数 eval(v); 查看向量v的内容 print(v); v3:=0; print(v); linalgvector(4,1,x,x2,x3); 可以使用变量作为分量，其中的维数4可省 type(%,vector); v:=v: v:=linalgvector(4,1,x2,x3,x4); type(%,vector); map(diff,v,x); map(函数F，作用对象，函数F对应的参数) type(v,vector); u:=map(diff,v2,v3,v4,x); type(u,vector); 部分分量的导数的序列不是向量 w:=array(1.3,u); 改成向量的方法1 type(w,vector); s:=vector(w): 改成向量的方法2，后面还有方法3convert type(s,vector); with(plots): map(plot,w,x): plot(w,x=-5.5,-100.100,thickness=1,2,4); plotsdisplay(map(plot,w,x=-4.4); w必须是向量才能将曲线分画在不同坐标系中，否则就画在同一坐标系下练习： 仿上绘制没能上面没有转换成向量前的“w”对应的图像。2.1.2 向量的运算 作为复合结构的数据，用户不能直接对向量进行加减法运算，而需要调用函数“evalm()”(evaluate matrix对矩阵求值)，但它只能完成对向量的线性运算（加法、数乘），因此，对于已知的序列，要用“convert()”命令转换进行转换，或用向量命令去定义向量。如： v:=v: v:=vector(1,2,3): u:=u: u:=vector(x,x2,y): w:=w: w:=vector(a,b,c,d): evalm(v+u); evalm(5*u); evalm(v+w); 不同维数的向量不能相加Error, (in linalgmatadd) vector dimensions incompatible 向量的乘法运算涉及两种： 内积（又称数量积或点积）与外积（又称向量积或叉积），分别用函数库“linalg”中库函数“dotprod()”、“crossprod()”计算。如上例的进一步计算： with(linalg): 求向量积“crossprod()”时需调用函数库 dotprod(v,u); 注意下面代数式的表达形式与代数习惯不同 crossprod(v,u); 向量积是一个向量 type(%,vector); 练习： 将上述线性运算、乘法运算中的向量u,v改用列表形式运算，看出现什么结果。代数中常需判断向量垂直、平行或求其模（norm()）、单位向量、夹角(angle()等： norm(w,1); norm(w,2); |w|向量w的模 norm(w,3); normalize(v); v的单位向量（向量的归一化） angle(v,u); 向量v,u的夹角 matadd(v,u,2,-2); 相当于线性运算evalm(2*v-2*u)，一般不用此令2.1.3 向量的转化 通过以下例子了解Maple是如何定义向量的数据类型，以及如何利用“convert()”将向量转化为其他类型的函数。 v:=1,2,3; type(v,vector); whattype(v); u:=convert(v,vector); type(u,vector); w:=convert(v,set); whattype(w);最后，对LinearAlgebra程序包中的Vector()函数作一简要介绍。Vector()函数所定义的向量是这个程序包的基础元素，它对应一种名为“rtable”的数据结构，另外还有maxtrix()函数也对应这种数据结构。此程序包中的函数将只处理此种类型的数据（这些函数的共同特点是首写字母大写，类似情况我们在介绍sum()函数时也曾遇到）。如： v:=Vectorrow(1,2,3); “row”定义出行向量 w:=Vector(1,2,1); 缺省定义出列向量用户可以在Vector()函数生成向量时添加多种限制条件，常用的有“Vector(n,expr)”和“Vector( ,readonly=ruly=true)”(其他参数请参考联机帮助)，同时，Vector()类型的向量之间可以直接进行线性运算，如： restart; F:=(j)-x(j-1): Vectorrow(3,F); A:=Vectorrow(1,2,3,readonly=true); A2:=2;Error, cannot assign to a read-only Vector B:=Vectorrow(5,6,7); C:=A+B; whattype(%); 利用Vector()函数定义的向量在linalg程序库的函数中调用时要注意是否可行。一般地，为保证正常运算可利用contert()函数使向量或矩阵在两种类型间转换，如继续上例： with(linalg): 调用linalg程序包计算Vector()函数定义的向量 dotprod(A,B); crossprod(A,B); with(LinearAlgebra): 用LinearAlgrbra程序包计算rtable数据 dotprod(A,B); crossprod(A,B); c:=convert(C,vector); type(c,vector); type(c,rtable);总体上说，LinearAlgebra函数库具备linalg函数库的所有功能，同时也具有更规范、更完善的数据存储格式，以及更准确、更迅速的数值计算能力。相对来说，linalg函数库存更适合于抽象的线性代数问题的推导工作，而LinearAlgebra则更适合于对数值型矩阵的处理与运算。练习： 分别用vectro()及Vector()计算两个向量v=1,2,3,u=5,6,7的线性运算、乘法运算的结果，再改用列向量算。2.2 矩阵的生成与修改2.2.1 创建简单矩阵的几种方法 1 用array() A:=array(1.3,1.3): print(A); B:=array(1.3,1.3,1,2,3,): print(B); 其中“,可缺省” C:=array(1,2,3,): print(C); 2. 用Matrix()linalg函数库中函数 matrix(3,3,1,%?,3,1,2,3); 以三种方式生成行 f:=(i,j)-x(i+j-1): A:=matrix(2,2,f); 学会给矩阵赋值的方法注意：生成矩阵时array()与 matrix()格式的不同。3. 用菜单ViewPalletesMatrix Palletes选出行数及列数均不大于4的矩阵，然后在高亮处填上表达式即可。4. 用for循环 restart; M:=matrix(3,3); for i to 3 do for j to 3 do Mi,j:=xi+j*x od od; print(M);2.2.3 几种特殊矩阵的创建方法 restart;/* symmetry * A:=array(symmetric,1.3,1.3); 定义对称矩阵 print(A); A1,1:=5: A1,2:=10: A1,3:=8: A2,2:=x: A2,3:=x2: A3,3:=x3: print(A);/* antisymmetry */ B:=array(antisymmetric,1.3,1.3); 定义非对称矩阵 print(B);/* sparse */ C:=array(sparse,1.3,1.3); 定义零矩阵 print(C);/* identity */ J:=array(identity,1.3,1.3); 定义单位矩阵 print(J);/* diagonal */ Dia:=array(diagonal,1.3,1.3); 定义对角形矩阵 print(Dia);2.2.3 访问矩阵元 1 修改元素 print(M); N:=matrix(3,3); for i to 3 do for j to 3 do Ni,j:=diff(Mi,j,x) od od; print(N); map(diff,M,x);前面已见过“map（）”的使用，它的完全形式为：map(函数f, 作用对象，函数f对应的参数)作用对象中的每个元素都使用同一函数作用。练习： 修改M的主对角线上元素为导数（或用subs()?）2 提取矩阵元素linalg库中的函数row()和col()（1）整行、整列的提取row(), col() T:=matrix(3,3,1,1,1,2,2,2,3,3,3); with(linalg): row(T,2); type(row(T,1),vector); col(T,2):=vectorcol(2,4,6); 准备给T的第二列赋值 print(T); 但T没有改变 注意： row(), col()不能改变修改行或列，只能提取。 （2）提取子矩阵submatrix submatrix(T,1.2,2.3); submatrix(T,2.2,1.3);2.2.5 矩阵的初等变换与修改 M:=matrix(3,3,1,2,3,4,5,6,7,8,9); 定义矩阵 with(linalg): 调用函数库Warning, the protected names norm and trace have been redefined and unprotected swaprow(M,1,2); 交换矩阵M的1、2两行 swapcol(M,1,2); 交换矩阵M的1、2两列 mulrow(M,2,k); 矩阵M的第2行乘非零数k mulcol(M,2,k); 矩阵M第2列乘非零数k addrow(M,1,2,-4); 矩阵M第1行的(-4)倍加到第2行 addcol(%,2,3,-2); 矩阵第2列的(-2)倍加到第3列注意： 以上变换均不会改变原始矩阵，若要连续作初等变换，或利用“%”，或将结果赋给其它符号代表的矩阵，再对此符号进行初等变换。Linalg程序库还提供了其他相关的函数： extend()(扩展矩阵), delrow()(删行)、delcol()(删列), augment/concat(0)(将两个矩阵横向连接), stackmatrix()（将两个矩阵纵向连接）, copylinto()（将一个矩阵拷贝到另一个矩阵）。 restart; A:=matrix(3,3,1,2,3,2,4,7,3,7,14); with(linalg): extend(A,1,3,x); 扩展矩阵 delrows(%,4.4); 删矩阵的行 delcols(%,4.6); 删矩阵的列 B:=matrix(3,2,4,5,11,16,25,41); augment(A,B); C:=vectorcol(3,3,3); E:=concat(B,C); F:=stackmatrix(A,E); copyinto(-1*A,F,3,1);由于LinearAlgebra程序库采用不同的数据结构，但同样包含了可以完成类似功能的函数。下面举例介绍几个简单的函数，读者可以通过联机帮助来获得进一步的信息。 with(LinearAlgebra): A:=|; LinearAlgebra下给矩阵 whattype(A); LinearAlgebra下的许多命令和符号均大写 B:=DeleteColumn(A,4); ColumnOperation(B,1,3); “（B,1,3）”也可为“(B,1,3)” C:=RowOperation(B,2,3,-2,inplace=true); print(B);注意： “inplace=true”意为将B的值一并改变。由上面的过程可见，两类函数库LinearAlgebra与linalg中的函数命令及参数位置不尽相同，留意区别.如上面的矩阵C也可以用addrow(B,3,2,-2)得到： addrow(B,3,2,-2);但它们的数据类型不同，可以适当转换。如： A1:=matrix(3,4,1,4,7,10,2,5,8,11,3,6,9,12); whattype(A1); A2:=convert(A1,Matrix); whattype(A2); A3:=convert(A2,array); whattype(A3); A4:=convert(A3,set); whattype(A4);2.3 矩阵的运算及其特征值求解2.3.1 基本运算 使用内部函数“evalm()”或linalg库中函数matadd(), scalarmul(),. Multiply(): A:=matrix(2,2,1,2,3,4); B:=matrix(2,2,1,2,2,4); evalm(A+B); 相当于“matadd(1*A,1*B);” evalm(2*A); 相当于“scalarmul(A,2);” evalm(A&*B); 相当于“multiply(A,B);” evalm(B&*A); evalm(A2); 相当于“multiply(A,A);”,但A须是方阵 注意： 当满足运算条件时，“multiply（）”还可以作“向量*矩阵”或“矩阵*向量”的运算，且系统会自动转换行或列向量。如： v:=vector(5,6); multiply(A,v); multiply(v,A); 2.3.2 行列式的求解 A:=matrix(3,3,1,2,3,2,4,7,3,7,14); det(A);2.3.3 矩阵的转置 At:=transpose(A); 练习： 证明： (A*B)T=BT*AT.提示：transpose(multiply(A,B); multiply(transpose(A),transpose(B);2.3.4 矩阵的秩 1. 最大无关组basis(v1,v2,) with(linalg): v1:=vector(1,-1,2,4): v2:=vector(0,3,1,2): v3:=vector(3,0,7,14): v4:=vector(1,-1,2,0): v5:=vector(2,1,5,0): basis(v1,v2,v3,v4,v5); 2. 矩阵的行及列向量的最大无关组 M:=matrix(4,5,6,4,1,-1,2,1,0,2,3,-4,1,4,-9,-16,22,7,1,0,-1,3); basis(M,rowspace); basis(M,colspace); （3）矩阵行及列向量的规范最大无关组 rowspace(M); colspace(M); （3）矩阵的秩 rank(M);2.3.5 逆矩阵 with(linalg): A:=matrix(3,3,1,2,3,2,6,9,3,9,18); adj(A); 求A的伴随矩阵A* inverse(A); 求A的逆矩阵 evalm(A(-1); 求A的逆矩阵方法2练习： 用求方阵A的元素Ai,j的余子式命令“minor(A,i,j)”，求A的伴随矩阵B（=A*）。提示：B:=matrix(3,3); for i to 3 do for j to 3 do Bi,j:=(-1)(i+j)*det(minor(A,j,i) od od; print(B); C:=evalm(B/det(A); evalm(A&*C);2.3.6 矩阵的特征值和特征向量 A:=matrix(3,3,3,-1,1,2,0,1,1,-1,2);f:=charpoly(A,x); 求特征多项式 f:=factor(f); eigenvals(A); 求特征值 trace(A); 矩阵A的迹特征值的和=主对角线元素和 eigenvects(A); 求特征向量结果给出：特征值，个数，特征向量的并集。 练习： 用推导的方式求矩阵的特征多项式、特征值与特征向量。提示： A:=array(symmetric,1.3,1.3): A1,1:=2: A1,2:=2: A1,3:=-2: A2,2:=5: A2,3:=-4: A3,3:=5: print(A); J:=array(identity,1.3,1.3): print(J); f:=det(evalm(x*J-A); solve(f=0,x); eigenvects(A); 2.3.7 相似矩阵与矩阵的对角化判断两个矩阵相似（B是A的相似矩阵，即存在可逆阵P，使P(-1)AP=B，并求相似变换矩阵P A:=matrix(3,3,9,-5,4,-3,-1,-16,-6,6,-12); B:=matrix(3,3,4,4,4,8,-4,-4,-4,8,-4); with(linalg): issimilar(B,A,P); 判断A与B相似，但注意A、B的位置 print(P); 求相似变换矩阵P evalm(P(-1)&*A&*P); 验证，也要注意是对A还是对B？ 2. 判断矩阵可对角化即与其对角形相似 A:=matrix(3,3,1,2,2,2,1,2,2,2,1); B:=diag(eigenvals(A); 以特征值作对角形矩阵 issimilar(B,A,P); print(P); evalm(P(-1)&*A&*P); 练习： 设，求A100. 提示： 设P-1AP=B,则A=PBP-1,从而A100= (PBP-1) (PBP-1)(PBP-1)=PB100P-1。从而： evalm(P&*B(100)&*P(-1);分三个行向量给出矩阵：可否改用科学记数法给出结果？2.4 解线性方程组2.4.1Guass-Jordan消元法 x1+2*x2+3*x3=14; x1+3*x2+4*x3=19; x1+4*x2+2*x3=15; A:=matrix(3,3,1,2,3,1,3,4,1,4,2); b:=vector(14,19,15); G:=augment(A,b); # 用linalg库中augment用来扩充方程组的系数矩阵A，生成增广矩阵 gausselim(G); # linalg程序库中提供的高斯（Gauss）消元法，已按选主元 gaussjord(G); # linalg程序库中提供的Gauss-Jordan（约当）消元法 v:=backsub(%); # 说明如下： # v 已是列向量 evalm(A&*v); # 验解！注：（1）“backsub(A,v,n)”函数很有意思，它会自动判别用户输入参数的意义，如果输入的参数v是一个向量，则系统自动将A定义成方程组的系数矩阵，系统返回A*